/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^3), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 581 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 6 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 254 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 116 ms] (18) BEST (19) proven lower bound (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (21) BOUNDS(n^3, INF) (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 90 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 105 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 5391 ms] (28) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). The TRS R consists of the following rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0) -> x plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0, y) -> 0 times(s(0), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0, y) -> 0 div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0, s(y), z) -> 0 quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0, s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0, 0) -> true eq(s(x), 0) -> false eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0)) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). The TRS R consists of the following rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0) -> x plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0, y) -> 0 times(s(0), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0, y) -> 0 div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0, s(y), z) -> 0 quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0, s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0, 0) -> true eq(s(x), 0) -> false eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0)) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). The TRS R consists of the following rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0) -> x plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0, y) -> 0 times(s(0), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0, y) -> 0 div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0, s(y), z) -> 0 quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0, s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0, 0) -> true eq(s(x), 0) -> false eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0)) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). The TRS R consists of the following rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if 0' :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encArg :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_0 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if hole_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if1_4 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4 :: Nat -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: plus, times, div, quot, eq, pr, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < times plus < encArg times < div times < encArg div = quot div < encArg quot < encArg eq < encArg pr = if pr < encArg if < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if 0' :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encArg :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_0 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if hole_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if1_4 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4 :: Nat -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, times, div, quot, eq, pr, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < times plus < encArg times < div times < encArg div = quot div < encArg quot < encArg eq < encArg pr = if pr < encArg if < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4_4)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4) Induction Base: plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(1) gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a) Induction Step: plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), p(s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4_4))))) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4_4))) ->_IH s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(a, c5_4))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if 0' :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encArg :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_0 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if hole_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if1_4 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4 :: Nat -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, times, div, quot, eq, pr, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < times plus < encArg times < div times < encArg div = quot div < encArg quot < encArg eq < encArg pr = if pr < encArg if < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if 0' :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encArg :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_0 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if hole_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if1_4 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4 :: Nat -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if Lemmas: plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4_4)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4) Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: times, div, quot, eq, pr, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: times < div times < encArg div = quot div < encArg quot < encArg eq < encArg pr = if pr < encArg if < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: times(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n1971_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(*(n1971_4, b)), rt in Omega(1 + b*n1971_4^2 + n1971_4) Induction Base: times(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: times(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n1971_4, 1)), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b)) ->_R^Omega(1) plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b), times(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n1971_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b))) ->_IH plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(*(c1972_4, b))) ->_L^Omega(1 + b*n1971_4) gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(*(n1971_4, b), b)) We have rt in Omega(n^3) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^3). ---------------------------------------- (18) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (19) Obligation: Proved the lower bound n^3 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if 0' :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encArg :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_0 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if hole_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if1_4 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4 :: Nat -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if Lemmas: plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4_4)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4) Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: times, div, quot, eq, pr, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: times < div times < encArg div = quot div < encArg quot < encArg eq < encArg pr = if pr < encArg if < encArg ---------------------------------------- (20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (21) BOUNDS(n^3, INF) ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if 0' :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encArg :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_0 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if hole_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if1_4 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4 :: Nat -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if Lemmas: plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4_4)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4) times(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n1971_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(*(n1971_4, b)), rt in Omega(1 + b*n1971_4^2 + n1971_4) Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: eq, div, quot, pr, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = quot div < encArg quot < encArg eq < encArg pr = if pr < encArg if < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: eq(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4280_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4280_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4280_4) Induction Base: eq(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: eq(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4280_4, 1)), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4280_4, 1))) ->_R^Omega(1) eq(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4280_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4280_4)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if 0' :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encArg :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_0 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if hole_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if1_4 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4 :: Nat -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if Lemmas: plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4_4)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4) times(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n1971_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(*(n1971_4, b)), rt in Omega(1 + b*n1971_4^2 + n1971_4) eq(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4280_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4280_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4280_4) Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, div, quot, pr, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = quot div < encArg quot < encArg pr = if pr < encArg if < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: quot(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n5449_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(1, n5449_4)), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(c)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0), rt in Omega(1 + n5449_4) Induction Base: quot(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(1, 0)), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(c)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: quot(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n5449_4, 1)), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(1, +(n5449_4, 1))), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(c)) ->_R^Omega(1) quot(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n5449_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(1, n5449_4)), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(c)) ->_IH gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: p(s(x)) -> x plus(x, 0') -> x plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y)) plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y)))) times(0', y) -> 0' times(s(0'), y) -> y times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) div(0', y) -> 0' div(x, y) -> quot(x, y, y) quot(0', s(y), z) -> 0' quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z) quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z))) div(div(x, y), z) -> div(x, times(y, z)) eq(0', 0') -> true eq(s(x), 0') -> false eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y)) prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x)) pr(x, s(0')) -> true pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y)) if(true, x, y) -> false if(false, x, y) -> pr(x, y) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1)) encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1)) encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if 0' :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encArg :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if cons_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_p :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_s :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_plus :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_0 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_times :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_div :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_quot :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_eq :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_true :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_false :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_divides :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_prime :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_pr :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if encode_if :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if hole_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if1_4 :: s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4 :: Nat -> s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if Lemmas: plus(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(a), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4_4)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4) times(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n1971_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(b)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(*(n1971_4, b)), rt in Omega(1 + b*n1971_4^2 + n1971_4) eq(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4280_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n4280_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4280_4) quot(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n5449_4), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(1, n5449_4)), gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(c)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0), rt in Omega(1 + n5449_4) Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: div, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = quot div < encArg quot < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n7328_4)) -> gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n7328_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(+(n7328_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(n7328_4))) ->_IH s(gen_s:0':true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if2_4(c7329_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (28) BOUNDS(1, INF)