/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 189 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1396 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 134 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 61 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 62 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: O(0) -> 0 +(0, x) -> x +(x, 0) -> x +(O(x), O(y)) -> O(+(x, y)) +(O(x), I(y)) -> I(+(x, y)) +(I(x), O(y)) -> I(+(x, y)) +(I(x), I(y)) -> O(+(+(x, y), I(0))) *(0, x) -> 0 *(x, 0) -> 0 *(O(x), y) -> O(*(x, y)) *(I(x), y) -> +(O(*(x, y)), y) -(x, 0) -> x -(0, x) -> 0 -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1) -> 1 encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1 ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: O(0) -> 0 +(0, x) -> x +(x, 0) -> x +(O(x), O(y)) -> O(+(x, y)) +(O(x), I(y)) -> I(+(x, y)) +(I(x), O(y)) -> I(+(x, y)) +(I(x), I(y)) -> O(+(+(x, y), I(0))) *(0, x) -> 0 *(x, 0) -> 0 *(O(x), y) -> O(*(x, y)) *(I(x), y) -> +(O(*(x, y)), y) -(x, 0) -> x -(0, x) -> 0 -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1) -> 1 encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: O(0) -> 0 +(0, x) -> x +(x, 0) -> x +(O(x), O(y)) -> O(+(x, y)) +(O(x), I(y)) -> I(+(x, y)) +(I(x), O(y)) -> I(+(x, y)) +(I(x), I(y)) -> O(+(+(x, y), I(0))) *(0, x) -> 0 *(x, 0) -> 0 *(O(x), y) -> O(*(x, y)) *(I(x), y) -> +(O(*(x, y)), y) -(x, 0) -> x -(0, x) -> 0 -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1) -> 1 encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: O(0') -> 0' +'(0', x) -> x +'(x, 0') -> x +'(O(x), O(y)) -> O(+'(x, y)) +'(O(x), I(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), O(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), I(y)) -> O(+'(+'(x, y), I(0'))) *'(0', x) -> 0' *'(x, 0') -> 0' *'(O(x), y) -> O(*'(x, y)) *'(I(x), y) -> +'(O(*'(x, y)), y) -(x, 0') -> x -(0', x) -> 0' -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1'))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1') -> 1' encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: O(0') -> 0' +'(0', x) -> x +'(x, 0') -> x +'(O(x), O(y)) -> O(+'(x, y)) +'(O(x), I(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), O(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), I(y)) -> O(+'(+'(x, y), I(0'))) *'(0', x) -> 0' *'(x, 0') -> 0' *'(O(x), y) -> O(*'(x, y)) *'(I(x), y) -> +'(O(*'(x, y)), y) -(x, 0') -> x -(0', x) -> 0' -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1'))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1') -> 1' encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' Types: O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 0' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- +' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- *' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- - :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 1' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encArg :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_0 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_1 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- hole_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-1_3 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3 :: Nat -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: +', *', -, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < *' +' < encArg *' < encArg - < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: O(0') -> 0' +'(0', x) -> x +'(x, 0') -> x +'(O(x), O(y)) -> O(+'(x, y)) +'(O(x), I(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), O(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), I(y)) -> O(+'(+'(x, y), I(0'))) *'(0', x) -> 0' *'(x, 0') -> 0' *'(O(x), y) -> O(*'(x, y)) *'(I(x), y) -> +'(O(*'(x, y)), y) -(x, 0') -> x -(0', x) -> 0' -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1'))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1') -> 1' encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' Types: O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 0' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- +' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- *' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- - :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 1' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encArg :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_0 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_1 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- hole_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-1_3 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3 :: Nat -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- Generator Equations: gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0) <=> 0' gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(x, 1)) <=> I(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', *', -, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < *' +' < encArg *' < encArg - < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: +'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: +'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) Induction Step: +'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(n4_3, 1)), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) O(+'(+'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3)), I(0'))) ->_IH O(+'(*3_3, I(0'))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: O(0') -> 0' +'(0', x) -> x +'(x, 0') -> x +'(O(x), O(y)) -> O(+'(x, y)) +'(O(x), I(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), O(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), I(y)) -> O(+'(+'(x, y), I(0'))) *'(0', x) -> 0' *'(x, 0') -> 0' *'(O(x), y) -> O(*'(x, y)) *'(I(x), y) -> +'(O(*'(x, y)), y) -(x, 0') -> x -(0', x) -> 0' -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1'))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1') -> 1' encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' Types: O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 0' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- +' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- *' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- - :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 1' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encArg :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_0 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_1 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- hole_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-1_3 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3 :: Nat -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- Generator Equations: gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0) <=> 0' gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(x, 1)) <=> I(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', *', -, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < *' +' < encArg *' < encArg - < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: O(0') -> 0' +'(0', x) -> x +'(x, 0') -> x +'(O(x), O(y)) -> O(+'(x, y)) +'(O(x), I(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), O(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), I(y)) -> O(+'(+'(x, y), I(0'))) *'(0', x) -> 0' *'(x, 0') -> 0' *'(O(x), y) -> O(*'(x, y)) *'(I(x), y) -> +'(O(*'(x, y)), y) -(x, 0') -> x -(0', x) -> 0' -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1'))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1') -> 1' encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' Types: O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 0' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- +' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- *' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- - :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 1' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encArg :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_0 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_1 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- hole_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-1_3 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3 :: Nat -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- Lemmas: +'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0) <=> 0' gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(x, 1)) <=> I(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: *', -, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < encArg - < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: *'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n45337_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) -> gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0), rt in Omega(1 + n45337_3) Induction Base: *'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: *'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(n45337_3, 1)), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) ->_R^Omega(1) +'(O(*'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n45337_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0))), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) ->_IH +'(O(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) ->_R^Omega(1) +'(0', gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: O(0') -> 0' +'(0', x) -> x +'(x, 0') -> x +'(O(x), O(y)) -> O(+'(x, y)) +'(O(x), I(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), O(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), I(y)) -> O(+'(+'(x, y), I(0'))) *'(0', x) -> 0' *'(x, 0') -> 0' *'(O(x), y) -> O(*'(x, y)) *'(I(x), y) -> +'(O(*'(x, y)), y) -(x, 0') -> x -(0', x) -> 0' -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1'))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1') -> 1' encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' Types: O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 0' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- +' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- *' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- - :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 1' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encArg :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_0 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_1 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- hole_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-1_3 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3 :: Nat -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- Lemmas: +'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) *'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n45337_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) -> gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0), rt in Omega(1 + n45337_3) Generator Equations: gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0) <=> 0' gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(x, 1)) <=> I(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: -, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: - < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: -(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n51678_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n51678_3)) -> gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0), rt in Omega(1 + n51678_3) Induction Base: -(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0) Induction Step: -(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(n51678_3, 1)), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(n51678_3, 1))) ->_R^Omega(1) O(-(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n51678_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n51678_3))) ->_IH O(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: O(0') -> 0' +'(0', x) -> x +'(x, 0') -> x +'(O(x), O(y)) -> O(+'(x, y)) +'(O(x), I(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), O(y)) -> I(+'(x, y)) +'(I(x), I(y)) -> O(+'(+'(x, y), I(0'))) *'(0', x) -> 0' *'(x, 0') -> 0' *'(O(x), y) -> O(*'(x, y)) *'(I(x), y) -> +'(O(*'(x, y)), y) -(x, 0') -> x -(0', x) -> 0' -(O(x), O(y)) -> O(-(x, y)) -(O(x), I(y)) -> I(-(-(x, y), I(1'))) -(I(x), O(y)) -> I(-(x, y)) -(I(x), I(y)) -> O(-(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(I(x_1)) -> I(encArg(x_1)) encArg(1') -> 1' encArg(cons_O(x_1)) -> O(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_O(x_1) -> O(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_I(x_1) -> I(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' Types: O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 0' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- +' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- *' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- - :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- 1' :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encArg :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- cons_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_O :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_0 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_+ :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_I :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_* :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_- :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- encode_1 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- hole_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-1_3 :: 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3 :: Nat -> 0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_- Lemmas: +'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n4_3)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) *'(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n45337_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) -> gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0), rt in Omega(1 + n45337_3) -(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n51678_3), gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n51678_3)) -> gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0), rt in Omega(1 + n51678_3) Generator Equations: gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0) <=> 0' gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(x, 1)) <=> I(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n53932_3)) -> gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n53932_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(+(n53932_3, 1))) ->_R^Omega(0) I(encArg(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(n53932_3))) ->_IH I(gen_0':I:1':cons_O:cons_+:cons_*:cons_-2_3(c53933_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)