/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- KILLED proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 146 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 741 ms] (12) BOUNDS(1, INF) (13) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (14) TRS for Loop Detection (15) RelTrsToTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (16) CpxTRS (17) NonCtorToCtorProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (18) CpxRelTRS (19) RelTrsToWeightedTrsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (20) CpxWeightedTrs (21) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (22) CpxTypedWeightedTrs (23) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (24) CpxTypedWeightedCompleteTrs (25) NarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (26) CpxTypedWeightedCompleteTrs (27) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (28) CpxRNTS (29) InliningProof [UPPER BOUND(ID), 184 ms] (30) CpxRNTS (31) SimplificationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 8 ms] (32) CpxRNTS (33) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (34) CpxTypedWeightedCompleteTrs (35) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (36) CpxRNTS (37) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (38) CdtProblem (39) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (40) CdtProblem (41) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (42) CdtProblem (43) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (44) CdtProblem (45) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (46) CdtProblem (47) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 5 ms] (48) CdtProblem (49) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (50) CdtProblem (51) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (52) CdtProblem (53) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (54) CdtProblem (55) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (56) CdtProblem (57) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (58) CdtProblem (59) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (60) CdtProblem (61) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (62) CdtProblem (63) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (64) CdtProblem (65) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (66) CdtProblem (67) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (68) CdtProblem (69) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (70) CdtProblem (71) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 6 ms] (72) CdtProblem (73) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (74) CdtProblem (75) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (76) CdtProblem (77) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (78) CdtProblem ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(f(x)) -> f(g(f(x), x)) f(f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(f(x)) -> f(g(f(x), x)) f(f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(f(x)) -> f(g(f(x), x)) f(f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(f(x)) -> f(g(f(x), x)) f(f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0') The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: f(f(x)) -> f(g(f(x), x)) f(f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0') encArg(0') -> 0' encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' Types: f :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h g :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h h :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h 0' :: 0':cons_f:cons_g:cons_h encArg :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h cons_f :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h cons_g :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h cons_h :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h encode_f :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h encode_g :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h encode_h :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h encode_0 :: 0':cons_f:cons_g:cons_h hole_0':cons_f:cons_g:cons_h1_3 :: 0':cons_f:cons_g:cons_h gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3 :: Nat -> 0':cons_f:cons_g:cons_h ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: f < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: f(f(x)) -> f(g(f(x), x)) f(f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0') encArg(0') -> 0' encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' Types: f :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h g :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h h :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h 0' :: 0':cons_f:cons_g:cons_h encArg :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h cons_f :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h cons_g :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h cons_h :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h encode_f :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h encode_g :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h encode_h :: 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h -> 0':cons_f:cons_g:cons_h encode_0 :: 0':cons_f:cons_g:cons_h hole_0':cons_f:cons_g:cons_h1_3 :: 0':cons_f:cons_g:cons_h gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3 :: Nat -> 0':cons_f:cons_g:cons_h Generator Equations: gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3(0) <=> 0' gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3(+(x, 1)) <=> cons_f(gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: f < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3(n11_3)) -> *3_3, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3(0)) Induction Step: encArg(gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3(+(n11_3, 1))) ->_R^Omega(0) f(encArg(gen_0':cons_f:cons_g:cons_h2_3(n11_3))) ->_IH f(*3_3) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (12) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (13) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (14) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(f(x)) -> f(g(f(x), x)) f(f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (15) RelTrsToTrsProof (UPPER BOUND(ID)) transformed relative TRS to TRS ---------------------------------------- (16) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(f(x)) -> f(g(f(x), x)) f(f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0) encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (17) NonCtorToCtorProof (UPPER BOUND(ID)) transformed non-ctor to ctor-system ---------------------------------------- (18) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: g(x, y) -> y h(x, x) -> g(x, 0) f(c_f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) f(c_f(x)) -> f(g(f(x), x)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 f(x0) -> c_f(x0) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (19) RelTrsToWeightedTrsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Transformed relative TRS to weighted TRS ---------------------------------------- (20) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxWeightedTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: g(x, y) -> y [1] h(x, x) -> g(x, 0) [1] f(c_f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) [1] f(c_f(x)) -> f(g(f(x), x)) [1] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) [0] encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_0 -> 0 [0] f(x0) -> c_f(x0) [0] Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (21) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (22) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: g(x, y) -> y [1] h(x, x) -> g(x, 0) [1] f(c_f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) [1] f(c_f(x)) -> f(g(f(x), x)) [1] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) [0] encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_0 -> 0 [0] f(x0) -> c_f(x0) [0] The TRS has the following type information: g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h 0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h c_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encArg :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (23) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The transformation into a RNTS is sound, since: (a) The obligation is a constructor system where every type has a constant constructor, (b) The following defined symbols do not have to be completely defined, as they can never occur inside other defined symbols: none (c) The following functions are completely defined: g_2 h_2 encArg_1 encode_f_1 encode_g_2 encode_h_2 encode_0 f_1 Due to the following rules being added: encArg(v0) -> 0 [0] encode_f(v0) -> 0 [0] encode_g(v0, v1) -> 0 [0] encode_h(v0, v1) -> 0 [0] encode_0 -> 0 [0] f(v0) -> 0 [0] h(v0, v1) -> 0 [0] And the following fresh constants: none ---------------------------------------- (24) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: g(x, y) -> y [1] h(x, x) -> g(x, 0) [1] f(c_f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) [1] f(c_f(x)) -> f(g(f(x), x)) [1] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) [0] encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_0 -> 0 [0] f(x0) -> c_f(x0) [0] encArg(v0) -> 0 [0] encode_f(v0) -> 0 [0] encode_g(v0, v1) -> 0 [0] encode_h(v0, v1) -> 0 [0] encode_0 -> 0 [0] f(v0) -> 0 [0] h(v0, v1) -> 0 [0] The TRS has the following type information: g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h 0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h c_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encArg :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (25) NarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Narrowed the inner basic terms of all right-hand sides by a single narrowing step. ---------------------------------------- (26) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: g(x, y) -> y [1] h(x, x) -> g(x, 0) [1] f(c_f(c_f(x'))) -> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), f(h(f(x'), f(x'))))) [3] f(c_f(c_f(x'))) -> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), f(g(f(x'), x')))) [3] f(c_f(c_f(x'))) -> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), c_f(c_f(x')))) [2] f(c_f(c_f(x'))) -> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), 0)) [2] f(c_f(c_f(x''))) -> f(h(f(g(f(x''), x'')), f(h(f(x''), f(x''))))) [3] f(c_f(c_f(x''))) -> f(h(f(g(f(x''), x'')), f(g(f(x''), x'')))) [3] f(c_f(c_f(x''))) -> f(h(f(g(f(x''), x'')), c_f(c_f(x'')))) [2] f(c_f(c_f(x''))) -> f(h(f(g(f(x''), x'')), 0)) [2] f(c_f(c_f(x1))) -> f(h(c_f(c_f(x1)), f(h(f(x1), f(x1))))) [2] f(c_f(c_f(x2))) -> f(h(c_f(c_f(x2)), f(g(f(x2), x2)))) [2] f(c_f(x)) -> f(h(c_f(x), c_f(x))) [1] f(c_f(x)) -> f(h(c_f(x), 0)) [1] f(c_f(c_f(x3))) -> f(h(0, f(h(f(x3), f(x3))))) [2] f(c_f(c_f(x4))) -> f(h(0, f(g(f(x4), x4)))) [2] f(c_f(x)) -> f(h(0, c_f(x))) [1] f(c_f(x)) -> f(h(0, 0)) [1] f(c_f(c_f(x5))) -> f(g(f(h(f(x5), f(x5))), c_f(x5))) [2] f(c_f(c_f(x6))) -> f(g(f(g(f(x6), x6)), c_f(x6))) [2] f(c_f(x)) -> f(g(c_f(x), x)) [1] f(c_f(x)) -> f(g(0, x)) [1] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_f(0)) -> f(0) [0] encArg(cons_f(cons_f(x_1'))) -> f(f(encArg(x_1'))) [0] encArg(cons_f(cons_g(x_1'', x_2'))) -> f(g(encArg(x_1''), encArg(x_2'))) [0] encArg(cons_f(cons_h(x_11, x_2''))) -> f(h(encArg(x_11), encArg(x_2''))) [0] encArg(cons_f(x_1)) -> f(0) [0] encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_f(0) -> f(0) [0] encode_f(cons_f(x_138)) -> f(f(encArg(x_138))) [0] encode_f(cons_g(x_139, x_225)) -> f(g(encArg(x_139), encArg(x_225))) [0] encode_f(cons_h(x_140, x_226)) -> f(h(encArg(x_140), encArg(x_226))) [0] encode_f(x_1) -> f(0) [0] encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_0 -> 0 [0] f(x0) -> c_f(x0) [0] encArg(v0) -> 0 [0] encode_f(v0) -> 0 [0] encode_g(v0, v1) -> 0 [0] encode_h(v0, v1) -> 0 [0] encode_0 -> 0 [0] f(v0) -> 0 [0] h(v0, v1) -> 0 [0] The TRS has the following type information: g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h 0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h c_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encArg :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h cons_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h encode_0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (27) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: 0 => 0 ---------------------------------------- (28) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: encArg(z) -{ 0 }-> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(h(encArg(x_11), encArg(x_2''))) :|: x_11 >= 0, z = 1 + (1 + x_11 + x_2''), x_2'' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(g(encArg(x_1''), encArg(x_2'))) :|: x_1'' >= 0, z = 1 + (1 + x_1'' + x_2'), x_2' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(f(encArg(x_1'))) :|: z = 1 + (1 + x_1'), x_1' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z = 1 + 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0 -{ 0 }-> 0 :|: encode_f(z) -{ 0 }-> f(h(encArg(x_140), encArg(x_226))) :|: x_226 >= 0, z = 1 + x_140 + x_226, x_140 >= 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(g(encArg(x_139), encArg(x_225))) :|: z = 1 + x_139 + x_225, x_225 >= 0, x_139 >= 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(f(encArg(x_138))) :|: x_138 >= 0, z = 1 + x_138 encode_f(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z = 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_f(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_g(z, z') -{ 0 }-> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_g(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 encode_h(z, z') -{ 0 }-> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 f(z) -{ 3 }-> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), f(h(f(x'), f(x'))))) :|: x' >= 0, z = 1 + (1 + x') f(z) -{ 3 }-> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), f(g(f(x'), x')))) :|: x' >= 0, z = 1 + (1 + x') f(z) -{ 2 }-> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), 0)) :|: x' >= 0, z = 1 + (1 + x') f(z) -{ 2 }-> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), 1 + (1 + x'))) :|: x' >= 0, z = 1 + (1 + x') f(z) -{ 3 }-> f(h(f(g(f(x''), x'')), f(h(f(x''), f(x''))))) :|: x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') f(z) -{ 3 }-> f(h(f(g(f(x''), x'')), f(g(f(x''), x'')))) :|: x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') f(z) -{ 2 }-> f(h(f(g(f(x''), x'')), 0)) :|: x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') f(z) -{ 2 }-> f(h(f(g(f(x''), x'')), 1 + (1 + x''))) :|: x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') f(z) -{ 2 }-> f(h(0, f(h(f(x3), f(x3))))) :|: z = 1 + (1 + x3), x3 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(0, f(g(f(x4), x4)))) :|: x4 >= 0, z = 1 + (1 + x4) f(z) -{ 1 }-> f(h(0, 0)) :|: x >= 0, z = 1 + x f(z) -{ 1 }-> f(h(0, 1 + x)) :|: x >= 0, z = 1 + x f(z) -{ 1 }-> f(h(1 + x, 0)) :|: x >= 0, z = 1 + x f(z) -{ 1 }-> f(h(1 + x, 1 + x)) :|: x >= 0, z = 1 + x f(z) -{ 2 }-> f(h(1 + (1 + x1), f(h(f(x1), f(x1))))) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(1 + (1 + x2), f(g(f(x2), x2)))) :|: z = 1 + (1 + x2), x2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(g(f(h(f(x5), f(x5))), 1 + x5)) :|: x5 >= 0, z = 1 + (1 + x5) f(z) -{ 2 }-> f(g(f(g(f(x6), x6)), 1 + x6)) :|: x6 >= 0, z = 1 + (1 + x6) f(z) -{ 1 }-> f(g(0, x)) :|: x >= 0, z = 1 + x f(z) -{ 1 }-> f(g(1 + x, x)) :|: x >= 0, z = 1 + x f(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 f(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 g(z, z') -{ 1 }-> y :|: x >= 0, y >= 0, z = x, z' = y h(z, z') -{ 1 }-> g(x, 0) :|: z' = x, x >= 0, z = x h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 ---------------------------------------- (29) InliningProof (UPPER BOUND(ID)) Inlined the following terminating rules on right-hand sides where appropriate: g(z, z') -{ 1 }-> y :|: x >= 0, y >= 0, z = x, z' = y h(z, z') -{ 1 }-> g(x, 0) :|: z' = x, x >= 0, z = x h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 ---------------------------------------- (30) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: encArg(z) -{ 0 }-> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(h(encArg(x_11), encArg(x_2''))) :|: x_11 >= 0, z = 1 + (1 + x_11 + x_2''), x_2'' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(g(encArg(x_1''), encArg(x_2'))) :|: x_1'' >= 0, z = 1 + (1 + x_1'' + x_2'), x_2' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(f(encArg(x_1'))) :|: z = 1 + (1 + x_1'), x_1' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z = 1 + 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0 -{ 0 }-> 0 :|: encode_f(z) -{ 0 }-> f(h(encArg(x_140), encArg(x_226))) :|: x_226 >= 0, z = 1 + x_140 + x_226, x_140 >= 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(g(encArg(x_139), encArg(x_225))) :|: z = 1 + x_139 + x_225, x_225 >= 0, x_139 >= 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(f(encArg(x_138))) :|: x_138 >= 0, z = 1 + x_138 encode_f(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z = 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_f(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_g(z, z') -{ 0 }-> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_g(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 encode_h(z, z') -{ 0 }-> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 f(z) -{ 2 }-> f(y) :|: x >= 0, z = 1 + x, x' >= 0, y >= 0, 1 + x = x', x = y f(z) -{ 2 }-> f(y) :|: x >= 0, z = 1 + x, x' >= 0, y >= 0, 0 = x', x = y f(z) -{ 3 }-> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), f(h(f(x'), f(x'))))) :|: x' >= 0, z = 1 + (1 + x') f(z) -{ 3 }-> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), f(g(f(x'), x')))) :|: x' >= 0, z = 1 + (1 + x') f(z) -{ 2 }-> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), 0)) :|: x' >= 0, z = 1 + (1 + x') f(z) -{ 2 }-> f(h(f(h(f(x'), f(x'))), 1 + (1 + x'))) :|: x' >= 0, z = 1 + (1 + x') f(z) -{ 3 }-> f(h(f(g(f(x''), x'')), f(h(f(x''), f(x''))))) :|: x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') f(z) -{ 3 }-> f(h(f(g(f(x''), x'')), f(g(f(x''), x'')))) :|: x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') f(z) -{ 2 }-> f(h(f(g(f(x''), x'')), 0)) :|: x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') f(z) -{ 2 }-> f(h(f(g(f(x''), x'')), 1 + (1 + x''))) :|: x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') f(z) -{ 2 }-> f(h(0, f(h(f(x3), f(x3))))) :|: z = 1 + (1 + x3), x3 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(0, f(g(f(x4), x4)))) :|: x4 >= 0, z = 1 + (1 + x4) f(z) -{ 2 }-> f(h(1 + (1 + x1), f(h(f(x1), f(x1))))) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(1 + (1 + x2), f(g(f(x2), x2)))) :|: z = 1 + (1 + x2), x2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(g(x', 0)) :|: x >= 0, z = 1 + x, 1 + x = x', x' >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(g(x', 0)) :|: x >= 0, z = 1 + x, 0 = x', x' >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(g(f(h(f(x5), f(x5))), 1 + x5)) :|: x5 >= 0, z = 1 + (1 + x5) f(z) -{ 2 }-> f(g(f(g(f(x6), x6)), 1 + x6)) :|: x6 >= 0, z = 1 + (1 + x6) f(z) -{ 1 }-> f(0) :|: x >= 0, z = 1 + x, v0 >= 0, v1 >= 0, 1 + x = v0, 1 + x = v1 f(z) -{ 1 }-> f(0) :|: x >= 0, z = 1 + x, v0 >= 0, v1 >= 0, 1 + x = v0, 0 = v1 f(z) -{ 1 }-> f(0) :|: x >= 0, z = 1 + x, v0 >= 0, v1 >= 0, 0 = v0, 1 + x = v1 f(z) -{ 1 }-> f(0) :|: x >= 0, z = 1 + x, v0 >= 0, v1 >= 0, 0 = v0, 0 = v1 f(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 f(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 g(z, z') -{ 1 }-> y :|: x >= 0, y >= 0, z = x, z' = y h(z, z') -{ 2 }-> y :|: z' = x, x >= 0, z = x, x' >= 0, y >= 0, x = x', 0 = y h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 ---------------------------------------- (31) SimplificationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Simplified the RNTS by moving equalities from the constraints into the right-hand sides. ---------------------------------------- (32) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: encArg(z) -{ 0 }-> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(h(encArg(x_11), encArg(x_2''))) :|: x_11 >= 0, z = 1 + (1 + x_11 + x_2''), x_2'' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(g(encArg(x_1''), encArg(x_2'))) :|: x_1'' >= 0, z = 1 + (1 + x_1'' + x_2'), x_2' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(f(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z = 1 + 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z - 1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 encode_0 -{ 0 }-> 0 :|: encode_f(z) -{ 0 }-> f(h(encArg(x_140), encArg(x_226))) :|: x_226 >= 0, z = 1 + x_140 + x_226, x_140 >= 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(g(encArg(x_139), encArg(x_225))) :|: z = 1 + x_139 + x_225, x_225 >= 0, x_139 >= 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(f(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z = 0 encode_f(z) -{ 0 }-> f(0) :|: z >= 0 encode_f(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 encode_g(z, z') -{ 0 }-> g(encArg(z), encArg(z')) :|: z >= 0, z' >= 0 encode_g(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 encode_h(z, z') -{ 0 }-> h(encArg(z), encArg(z')) :|: z >= 0, z' >= 0 encode_h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(y) :|: z - 1 >= 0, x' >= 0, y >= 0, 1 + (z - 1) = x', z - 1 = y f(z) -{ 2 }-> f(y) :|: z - 1 >= 0, x' >= 0, y >= 0, 0 = x', z - 1 = y f(z) -{ 3 }-> f(h(f(h(f(z - 2), f(z - 2))), f(h(f(z - 2), f(z - 2))))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 3 }-> f(h(f(h(f(z - 2), f(z - 2))), f(g(f(z - 2), z - 2)))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(f(h(f(z - 2), f(z - 2))), 0)) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(f(h(f(z - 2), f(z - 2))), 1 + (1 + (z - 2)))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 3 }-> f(h(f(g(f(z - 2), z - 2)), f(h(f(z - 2), f(z - 2))))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 3 }-> f(h(f(g(f(z - 2), z - 2)), f(g(f(z - 2), z - 2)))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(f(g(f(z - 2), z - 2)), 0)) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(f(g(f(z - 2), z - 2)), 1 + (1 + (z - 2)))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(0, f(h(f(z - 2), f(z - 2))))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(0, f(g(f(z - 2), z - 2)))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(1 + (1 + (z - 2)), f(h(f(z - 2), f(z - 2))))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(h(1 + (1 + (z - 2)), f(g(f(z - 2), z - 2)))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(g(x', 0)) :|: z - 1 >= 0, 1 + (z - 1) = x', x' >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(g(x', 0)) :|: z - 1 >= 0, 0 = x', x' >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(g(f(h(f(z - 2), f(z - 2))), 1 + (z - 2))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 2 }-> f(g(f(g(f(z - 2), z - 2)), 1 + (z - 2))) :|: z - 2 >= 0 f(z) -{ 1 }-> f(0) :|: z - 1 >= 0, v0 >= 0, v1 >= 0, 1 + (z - 1) = v0, 1 + (z - 1) = v1 f(z) -{ 1 }-> f(0) :|: z - 1 >= 0, v0 >= 0, v1 >= 0, 1 + (z - 1) = v0, 0 = v1 f(z) -{ 1 }-> f(0) :|: z - 1 >= 0, v0 >= 0, v1 >= 0, 0 = v0, 1 + (z - 1) = v1 f(z) -{ 1 }-> f(0) :|: z - 1 >= 0, v0 >= 0, v1 >= 0, 0 = v0, 0 = v1 f(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 f(z) -{ 0 }-> 1 + z :|: z >= 0 g(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z >= 0, z' >= 0 h(z, z') -{ 2 }-> y :|: z' >= 0, z = z', y >= 0, 0 = y h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 ---------------------------------------- (33) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The TRS is a completely defined constructor system, as every type has a constant constructor and the following rules were added: encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_f(v0) -> null_encode_f [0] encode_g(v0, v1) -> null_encode_g [0] encode_h(v0, v1) -> null_encode_h [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] f(v0) -> null_f [0] h(v0, v1) -> null_h [0] And the following fresh constants: null_encArg, null_encode_f, null_encode_g, null_encode_h, null_encode_0, null_f, null_h ---------------------------------------- (34) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where all functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: g(x, y) -> y [1] h(x, x) -> g(x, 0) [1] f(c_f(x)) -> f(h(f(x), f(x))) [1] f(c_f(x)) -> f(g(f(x), x)) [1] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_h(x_1, x_2)) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) [0] encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_h(x_1, x_2) -> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_0 -> 0 [0] f(x0) -> c_f(x0) [0] encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_f(v0) -> null_encode_f [0] encode_g(v0, v1) -> null_encode_g [0] encode_h(v0, v1) -> null_encode_h [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] f(v0) -> null_f [0] h(v0, v1) -> null_h [0] The TRS has the following type information: g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h 0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h c_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h encArg :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h cons_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h cons_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h cons_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h encode_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h encode_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h encode_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h -> 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h encode_0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h null_encArg :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h null_encode_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h null_encode_g :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h null_encode_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h null_encode_0 :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h null_f :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h null_h :: 0:c_f:cons_f:cons_g:cons_h:null_encArg:null_encode_f:null_encode_g:null_encode_h:null_encode_0:null_f:null_h Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (35) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: 0 => 0 null_encArg => 0 null_encode_f => 0 null_encode_g => 0 null_encode_h => 0 null_encode_0 => 0 null_f => 0 null_h => 0 ---------------------------------------- (36) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: encArg(z) -{ 0 }-> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> f(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0 -{ 0 }-> 0 :|: encode_f(z) -{ 0 }-> f(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_f(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_g(z, z') -{ 0 }-> g(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_g(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 encode_h(z, z') -{ 0 }-> h(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 f(z) -{ 1 }-> f(h(f(x), f(x))) :|: x >= 0, z = 1 + x f(z) -{ 1 }-> f(g(f(x), x)) :|: x >= 0, z = 1 + x f(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 f(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 g(z, z') -{ 1 }-> y :|: x >= 0, y >= 0, z = x, z' = y h(z, z') -{ 1 }-> g(x, 0) :|: z' = x, x >= 0, z = x h(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 Only complete derivations are relevant for the runtime complexity. ---------------------------------------- (37) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (38) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0) -> f(encArg(z0)) encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encode_h(z0, z1) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(0) -> c ENCARG(cons_f(z0)) -> c1(F(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_F(z0) -> c4(F(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c5(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_H(z0, z1) -> c6(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_0 -> c7 F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) S tuples: F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_1, g_2, h_2, encArg_1, encode_f_1, encode_g_2, encode_h_2, encode_0 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, ENCODE_0, F_1, G_2, H_2 Compound Symbols: c, c1_2, c2_3, c3_3, c4_2, c5_3, c6_3, c7, c8_3, c9_4, c10, c11_1 ---------------------------------------- (39) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCARG(0) -> c ENCODE_0 -> c7 ---------------------------------------- (40) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0) -> f(encArg(z0)) encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encode_h(z0, z1) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_f(z0)) -> c1(F(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_F(z0) -> c4(F(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c5(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_H(z0, z1) -> c6(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) S tuples: F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_1, g_2, h_2, encArg_1, encode_f_1, encode_g_2, encode_h_2, encode_0 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, G_2, H_2 Compound Symbols: c1_2, c2_3, c3_3, c4_2, c5_3, c6_3, c8_3, c9_4, c10, c11_1 ---------------------------------------- (41) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (42) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0) -> f(encArg(z0)) encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encode_h(z0, z1) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_f(z0)) -> c1(F(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_F(z0) -> c(F(encArg(z0))) ENCODE_F(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_H(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) S tuples: F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_1, g_2, h_2, encArg_1, encode_f_1, encode_g_2, encode_h_2, encode_0 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_1, G_2, H_2, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2 Compound Symbols: c1_2, c2_3, c3_3, c8_3, c9_4, c10, c11_1, c_1 ---------------------------------------- (43) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 5 leading nodes: ENCODE_F(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_H(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_H(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ---------------------------------------- (44) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0) -> f(encArg(z0)) encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encode_h(z0, z1) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_f(z0)) -> c1(F(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_F(z0) -> c(F(encArg(z0))) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_1, g_2, h_2, encArg_1, encode_f_1, encode_g_2, encode_h_2, encode_0 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_1, G_2, H_2, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2 Compound Symbols: c1_2, c2_3, c3_3, c8_3, c9_4, c10, c11_1, c_1 ---------------------------------------- (45) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_f(z0) -> f(encArg(z0)) encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encode_h(z0, z1) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 ---------------------------------------- (46) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_f(z0)) -> c1(F(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_F(z0) -> c(F(encArg(z0))) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_1, G_2, H_2, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2 Compound Symbols: c1_2, c2_3, c3_3, c8_3, c9_4, c10, c11_1, c_1 ---------------------------------------- (47) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(z0)) -> c1(F(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_f(0)) -> c1(F(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1))) -> c1(F(g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_g(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) ---------------------------------------- (48) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_F(z0) -> c(F(encArg(z0))) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(0)) -> c1(F(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1))) -> c1(F(g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_g(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) S tuples: F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_1, G_2, H_2, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c8_3, c9_4, c10, c11_1, c_1, c1_2 ---------------------------------------- (49) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing nodes: ENCARG(cons_f(0)) -> c1(F(0), ENCARG(0)) ---------------------------------------- (50) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_F(z0) -> c(F(encArg(z0))) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1))) -> c1(F(g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_g(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) S tuples: F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_1, G_2, H_2, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c8_3, c9_4, c10, c11_1, c_1, c1_2 ---------------------------------------- (51) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace F(f(z0)) -> c8(F(g(f(z0), z0)), G(f(z0), z0), F(z0)) by F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) ---------------------------------------- (52) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_F(z0) -> c(F(encArg(z0))) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1))) -> c1(F(g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_g(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) S tuples: F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_1, G_2, H_2, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c9_4, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1 ---------------------------------------- (53) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace F(f(z0)) -> c9(F(h(f(z0), f(z0))), H(f(z0), f(z0)), F(z0), F(z0)) by F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ---------------------------------------- (54) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_F(z0) -> c(F(encArg(z0))) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1))) -> c1(F(g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_g(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_F_1, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_4, c9_2 ---------------------------------------- (55) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_F(z0) -> c(F(encArg(z0))) by ENCODE_F(0) -> c(F(0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCODE_F(cons_g(z0, z1)) -> c(F(g(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) ---------------------------------------- (56) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1))) -> c1(F(g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_g(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(0) -> c(F(0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCODE_F(cons_g(z0, z1)) -> c(F(g(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_4, c9_2 ---------------------------------------- (57) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing nodes: ENCODE_F(0) -> c(F(0)) ---------------------------------------- (58) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1))) -> c1(F(g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_g(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCODE_F(cons_g(z0, z1)) -> c(F(g(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_4, c9_2 ---------------------------------------- (59) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1))) -> c1(F(g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_g(z0, z1))) by ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ---------------------------------------- (60) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCODE_F(cons_g(z0, z1)) -> c(F(g(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_4, c9_2, c1_1 ---------------------------------------- (61) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(cons_h(z0, z1))) -> c1(F(h(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_h(z0, z1))) by ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) ---------------------------------------- (62) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCODE_F(cons_g(z0, z1)) -> c(F(g(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_4, c9_2, c1_1 ---------------------------------------- (63) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace F(f(x0)) -> c9(F(g(f(x0), 0)), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) by F(f(x0)) -> c9(F(0), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) ---------------------------------------- (64) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCODE_F(cons_g(z0, z1)) -> c(F(g(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) F(f(x0)) -> c9(F(0), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(0), H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_2, c1_1, c9_4, c9_3 ---------------------------------------- (65) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (66) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCODE_F(cons_g(z0, z1)) -> c(F(g(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_2, c1_1, c9_3 ---------------------------------------- (67) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_F(cons_g(z0, z1)) -> c(F(g(encArg(z0), encArg(z1)))) by ENCODE_F(cons_g(x0, x1)) -> c(F(encArg(x1))) ENCODE_F(cons_g(x0, 0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_f(z0))) -> c(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(0, x1)) -> c(F(g(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_f(z0), x1)) -> c(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ---------------------------------------- (68) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_g(x0, x1)) -> c(F(encArg(x1))) ENCODE_F(cons_g(x0, 0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_f(z0))) -> c(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(0, x1)) -> c(F(g(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_f(z0), x1)) -> c(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_2, c1_1, c9_3 ---------------------------------------- (69) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_F(cons_h(z0, z1)) -> c(F(h(encArg(z0), encArg(z1)))) by ENCODE_F(cons_h(x0, x0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, 0)) -> c(F(h(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_f(z0))) -> c(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(0, x1)) -> c(F(h(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_f(z0), x1)) -> c(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ---------------------------------------- (70) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_g(x0, x1)) -> c(F(encArg(x1))) ENCODE_F(cons_g(x0, 0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_f(z0))) -> c(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(0, x1)) -> c(F(g(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_f(z0), x1)) -> c(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(x0, x0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, 0)) -> c(F(h(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_f(z0))) -> c(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(0, x1)) -> c(F(h(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_f(z0), x1)) -> c(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c8(F(x0)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c8_1, c9_2, c1_1, c9_3 ---------------------------------------- (71) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace F(f(x0)) -> c8(F(x0)) by F(f(f(y0))) -> c8(F(f(y0))) ---------------------------------------- (72) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_g(x0, x1)) -> c(F(encArg(x1))) ENCODE_F(cons_g(x0, 0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_f(z0))) -> c(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(0, x1)) -> c(F(g(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_f(z0), x1)) -> c(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(x0, x0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, 0)) -> c(F(h(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_f(z0))) -> c(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(0, x1)) -> c(F(h(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_f(z0), x1)) -> c(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) F(f(f(y0))) -> c8(F(f(y0))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(f(y0))) -> c8(F(f(y0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c9_2, c1_1, c9_3, c8_1 ---------------------------------------- (73) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 1 leading nodes: F(f(f(y0))) -> c8(F(f(y0))) ---------------------------------------- (74) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_g(x0, x1)) -> c(F(encArg(x1))) ENCODE_F(cons_g(x0, 0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_f(z0))) -> c(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(0, x1)) -> c(F(g(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_f(z0), x1)) -> c(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(x0, x0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, 0)) -> c(F(h(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_f(z0))) -> c(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(0, x1)) -> c(F(h(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_f(z0), x1)) -> c(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c9_2, c1_1, c9_3 ---------------------------------------- (75) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace F(f(x0)) -> c9(F(x0), F(x0)) by F(f(f(y0))) -> c9(F(f(y0)), F(f(y0))) ---------------------------------------- (76) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_g(x0, x1)) -> c(F(encArg(x1))) ENCODE_F(cons_g(x0, 0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_f(z0))) -> c(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(0, x1)) -> c(F(g(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_f(z0), x1)) -> c(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(x0, x0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, 0)) -> c(F(h(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_f(z0))) -> c(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(0, x1)) -> c(F(h(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_f(z0), x1)) -> c(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) F(f(f(y0))) -> c9(F(f(y0)), F(f(y0))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) F(f(f(y0))) -> c9(F(f(y0)), F(f(y0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c1_1, c9_3, c9_2 ---------------------------------------- (77) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 1 leading nodes: F(f(f(y0))) -> c9(F(f(y0)), F(f(y0))) ---------------------------------------- (78) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(0) -> 0 encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0)) encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_h(z0, z1)) -> h(encArg(z0), encArg(z1)) f(f(z0)) -> f(g(f(z0), z0)) f(f(z0)) -> f(h(f(z0), f(z0))) g(z0, z1) -> z1 h(z0, z0) -> g(z0, 0) Tuples: ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c2(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_h(z0, z1)) -> c3(H(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_H(z0, z1) -> c(H(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0))) -> c1(F(f(encArg(z0))), ENCARG(cons_f(z0))) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) ENCODE_F(cons_f(z0)) -> c(F(f(encArg(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(F(encArg(x1)), ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, 0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_g(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_g(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_g(0, x1))) -> c1(F(g(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_g(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_g(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_g(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_g(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x0))) -> c1(F(g(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, x0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, 0))) -> c1(F(h(encArg(x0), 0)), ENCARG(cons_h(x0, 0))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_f(z0)))) -> c1(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_f(z0)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_g(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) -> c1(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_h(x0, cons_h(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(cons_h(0, x1))) -> c1(F(h(0, encArg(x1))), ENCARG(cons_h(0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_f(z0), x1))) -> c1(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_f(z0), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_g(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) -> c1(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))), ENCARG(cons_h(cons_h(z0, z1), x1))) ENCARG(cons_f(cons_h(x0, x1))) -> c1(ENCARG(cons_h(x0, x1))) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) ENCODE_F(cons_g(x0, x1)) -> c(F(encArg(x1))) ENCODE_F(cons_g(x0, 0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_f(z0))) -> c(F(g(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(g(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_g(0, x1)) -> c(F(g(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_f(z0), x1)) -> c(F(g(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(g(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_g(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(g(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(x0, x0)) -> c(F(g(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, 0)) -> c(F(h(encArg(x0), 0))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_f(z0))) -> c(F(h(encArg(x0), f(encArg(z0))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_g(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(x0, cons_h(z0, z1))) -> c(F(h(encArg(x0), h(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(cons_h(0, x1)) -> c(F(h(0, encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_f(z0), x1)) -> c(F(h(f(encArg(z0)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_g(z0, z1), x1)) -> c(F(h(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) ENCODE_F(cons_h(cons_h(z0, z1), x1)) -> c(F(h(h(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)))) S tuples: G(z0, z1) -> c10 H(z0, z0) -> c11(G(z0, 0)) F(f(z1)) -> c8(F(z1), G(f(z1), z1), F(z1)) F(f(x0)) -> c9(H(f(x0), f(x0)), F(x0), F(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_1, g_2, h_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, G_2, H_2, ENCODE_G_2, ENCODE_H_2, F_1, ENCODE_F_1 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c10, c11_1, c_1, c1_2, c8_3, c1_1, c9_3