/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


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WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^2))
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 176 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
    (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (8) CdtProblem
    (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (10) CdtProblem
    (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (12) CdtProblem
    (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (14) CdtProblem
    (15) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (16) CdtProblem
    (17) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (18) CdtProblem
    (19) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (20) CdtProblem
    (21) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (22) CdtProblem
    (23) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (24) CdtProblem
    (25) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (26) CdtProblem
    (27) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 52 ms]
    (28) CdtProblem
    (29) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 47 ms]
    (30) CdtProblem
    (31) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 49 ms]
    (32) CdtProblem
    (33) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 992 ms]
    (34) CdtProblem
    (35) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (36) BOUNDS(1, 1)
(37) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(38) CpxRelTRS
    (39) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (40) typed CpxTrs
    (41) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
    (42) typed CpxTrs
    (43) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 306 ms]
    (44) BEST
        (45) proven lower bound
            (46) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
            (47) BOUNDS(n^1, INF)
        (48) typed CpxTrs
            (49) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 30 ms]
            (50) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   f(x, 0) -> s(0)
   f(s(x), s(y)) -> s(f(x, y))
   g(0, x) -> g(f(x, x), x)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   f(x, 0) -> s(0)
   f(s(x), s(y)) -> s(f(x, y))
   g(0, x) -> g(f(x, x), x)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   f(x, 0) -> s(0)
   f(s(x), s(y)) -> s(f(x, y))
   g(0, x) -> g(f(x, x), x)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(0) -> c
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c4(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_0 -> c5
   ENCODE_S(z0) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c7(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_2, g_2, encArg_1, encode_f_2, encode_0, encode_s_1, encode_g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_2, ENCODE_0, ENCODE_S_1, ENCODE_G_2, F_2, G_2

Compound Symbols:   c, c1_1, c2_3, c3_3, c4_3, c5, c6_1, c7_3, c8, c9_1, c10_2


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 1 leading nodes:
   ENCODE_S(z0) -> c6(ENCARG(z0))
Removed 2 trailing nodes:
   ENCODE_0 -> c5
   ENCARG(0) -> c

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c4(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c7(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_2, g_2, encArg_1, encode_f_2, encode_0, encode_s_1, encode_g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2, F_2, G_2

Compound Symbols:   c1_1, c2_3, c3_3, c4_3, c7_3, c8, c9_1, c10_2


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_2, g_2, encArg_1, encode_f_2, encode_0, encode_s_1, encode_g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c1_1, c2_3, c3_3, c8, c9_1, c10_2, c_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 4 leading nodes:
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_2, g_2, encArg_1, encode_f_2, encode_0, encode_s_1, encode_g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c1_1, c2_3, c3_3, c8, c9_1, c10_2, c_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_g(z0, z1) -> g(encArg(z0), encArg(z1))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c1_1, c2_3, c3_3, c8, c9_1, c10_2, c_1


----------------------------------------

(15) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) by 
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c1_1, c3_3, c8, c9_1, c10_2, c_1, c2_3


----------------------------------------

(17) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 2 trailing tuple parts
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c1_1, c3_3, c8, c9_1, c10_2, c_1, c2_3, c2_2


----------------------------------------

(19) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Use narrowing to replace ENCARG(cons_g(z0, z1)) -> c3(G(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) by 
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(G(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(G(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c1_1, c8, c9_1, c10_2, c_1, c2_3, c2_2, c3_3


----------------------------------------

(21) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 3 trailing tuple parts
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2

Compound Symbols:   c1_1, c8, c9_1, c10_2, c_1, c2_3, c2_2, c3_3, c3_2


----------------------------------------

(23) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Use narrowing to replace G(0, z0) -> c10(G(f(z0, z0), z0), F(z0, z0)) by 
   G(0, 0) -> c10(G(s(0), 0), F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(G(s(f(z0, z0)), s(z0)), F(s(z0), s(z0)))

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(G(s(0), 0), F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(G(s(f(z0, z0)), s(z0)), F(s(z0), s(z0)))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, 0) -> c10(G(s(0), 0), F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(G(s(f(z0, z0)), s(z0)), F(s(z0), s(z0)))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2, G_2

Compound Symbols:   c1_1, c8, c9_1, c_1, c2_3, c2_2, c3_3, c3_2, c10_2


----------------------------------------

(25) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 2 trailing tuple parts
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2, G_2

Compound Symbols:   c1_1, c8, c9_1, c_1, c2_3, c2_2, c3_3, c3_2, c10_1


----------------------------------------

(27) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   f(z0, 0) -> s(0)
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = [1]
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_G(x_1, x_2)) = [1]
   POL(F(x_1, x_2)) = 0
   POL(G(x_1, x_2)) = x_2
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1)) = x_1
   POL(c2(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c3(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8) = 0
   POL(c9(x_1)) = x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = [1]
   POL(f(x_1, x_2)) = x_2
   POL(g(x_1, x_2)) = 0
   POL(s(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(28)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
S tuples:
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
K tuples:
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2, G_2

Compound Symbols:   c1_1, c8, c9_1, c_1, c2_3, c2_2, c3_3, c3_2, c10_1


----------------------------------------

(29) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   F(z0, 0) -> c8
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = [1]
   POL(ENCODE_G(x_1, x_2)) = [1]
   POL(F(x_1, x_2)) = [1]
   POL(G(x_1, x_2)) = [1]
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1)) = x_1
   POL(c2(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c3(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8) = 0
   POL(c9(x_1)) = x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1, x_2)) = 0
   POL(g(x_1, x_2)) = 0
   POL(s(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(30)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
S tuples:
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
K tuples:
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   F(z0, 0) -> c8
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2, G_2

Compound Symbols:   c1_1, c8, c9_1, c_1, c2_3, c2_2, c3_3, c3_2, c10_1


----------------------------------------

(31) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   f(z0, 0) -> s(0)
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = [1]
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_G(x_1, x_2)) = [1]
   POL(F(x_1, x_2)) = 0
   POL(G(x_1, x_2)) = x_1
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1)) = x_1
   POL(c2(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c3(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8) = 0
   POL(c9(x_1)) = x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = [1]
   POL(f(x_1, x_2)) = [1]
   POL(g(x_1, x_2)) = 0
   POL(s(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(32)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
S tuples:
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
K tuples:
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   F(z0, 0) -> c8
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2, G_2

Compound Symbols:   c1_1, c8, c9_1, c_1, c2_3, c2_2, c3_3, c3_2, c10_1


----------------------------------------

(33) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   f(z0, 0) -> s(0)
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = [1] + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_G(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(F(x_1, x_2)) = x_2
   POL(G(x_1, x_2)) = x_2
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1)) = x_1
   POL(c2(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c3(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8) = 0
   POL(c9(x_1)) = x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(f(x_1, x_2)) = [1] + x_2
   POL(g(x_1, x_2)) = 0
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(34)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0, z1)) -> g(encArg(z0), encArg(z1))
   f(z0, 0) -> s(0)
   f(s(z0), s(z1)) -> s(f(z0, z1))
   g(0, z0) -> g(f(z0, z0), z0)
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   F(z0, 0) -> c8
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0, z1) -> c(G(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, s(z0))) -> c2(F(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(x0, cons_g(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_f(s(z0), x1)) -> c2(F(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(cons_g(z0, z1), x1)) -> c2(F(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_f(x0, 0)) -> c2(F(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_f(0, x1)) -> c2(F(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, s(z0))) -> c3(G(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(s(z0)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_f(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(x0, cons_g(z0, z1))) -> c3(G(encArg(x0), g(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_g(z0, z1)))
   ENCARG(cons_g(cons_f(z0, z1), x1)) -> c3(G(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(cons_g(z0, z1), x1)) -> c3(G(g(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_g(z0, z1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(x0, 0)) -> c3(G(encArg(x0), 0), ENCARG(x0))
   ENCARG(cons_g(0, x1)) -> c3(G(0, encArg(x1)), ENCARG(x1))
   ENCARG(cons_g(s(z0), x1)) -> c3(ENCARG(s(z0)), ENCARG(x1))
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
S tuples:none
K tuples:
   G(0, 0) -> c10(F(0, 0))
   F(z0, 0) -> c8
   G(0, s(z0)) -> c10(F(s(z0), s(z0)))
   F(s(z0), s(z1)) -> c9(F(z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2, ENCODE_G_2, G_2

Compound Symbols:   c1_1, c8, c9_1, c_1, c2_3, c2_2, c3_3, c3_2, c10_1


----------------------------------------

(35) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
----------------------------------------

(36)
BOUNDS(1, 1)

----------------------------------------

(37) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(38)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   f(x, 0') -> s(0')
   f(s(x), s(y)) -> s(f(x, y))
   g(0', x) -> g(f(x, x), x)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(39) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(40)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(x, 0') -> s(0')
f(s(x), s(y)) -> s(f(x, y))
g(0', x) -> g(f(x, x), x)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
0' :: 0':s:cons_f:cons_g
s :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encArg :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
cons_f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
cons_g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_0 :: 0':s:cons_f:cons_g
encode_s :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
hole_0':s:cons_f:cons_g1_3 :: 0':s:cons_f:cons_g
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3 :: Nat -> 0':s:cons_f:cons_g

----------------------------------------

(41) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
f, g, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f < g
f < encArg
g < encArg

----------------------------------------

(42)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(x, 0') -> s(0')
f(s(x), s(y)) -> s(f(x, y))
g(0', x) -> g(f(x, x), x)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
0' :: 0':s:cons_f:cons_g
s :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encArg :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
cons_f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
cons_g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_0 :: 0':s:cons_f:cons_g
encode_s :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
hole_0':s:cons_f:cons_g1_3 :: 0':s:cons_f:cons_g
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3 :: Nat -> 0':s:cons_f:cons_g


Generator Equations:
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
f, g, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f < g
f < encArg
g < encArg

----------------------------------------

(43) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
f(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n4_3), gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(1, n4_3)), rt in Omega(1 + n4_3)

Induction Base:
f(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(0), gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(0)) ->_R^Omega(1)
s(0')

Induction Step:
f(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(n4_3, 1)), gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1)
s(f(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n4_3), gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n4_3))) ->_IH
s(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(1, c5_3)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(44)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(45)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
f(x, 0') -> s(0')
f(s(x), s(y)) -> s(f(x, y))
g(0', x) -> g(f(x, x), x)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
0' :: 0':s:cons_f:cons_g
s :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encArg :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
cons_f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
cons_g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_0 :: 0':s:cons_f:cons_g
encode_s :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
hole_0':s:cons_f:cons_g1_3 :: 0':s:cons_f:cons_g
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3 :: Nat -> 0':s:cons_f:cons_g


Generator Equations:
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
f, g, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f < g
f < encArg
g < encArg

----------------------------------------

(46) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(47)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(48)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(x, 0') -> s(0')
f(s(x), s(y)) -> s(f(x, y))
g(0', x) -> g(f(x, x), x)
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_g(x_1, x_2)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_g(x_1, x_2) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
0' :: 0':s:cons_f:cons_g
s :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encArg :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
cons_f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
cons_g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_f :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_0 :: 0':s:cons_f:cons_g
encode_s :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
encode_g :: 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g -> 0':s:cons_f:cons_g
hole_0':s:cons_f:cons_g1_3 :: 0':s:cons_f:cons_g
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3 :: Nat -> 0':s:cons_f:cons_g


Lemmas:
f(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n4_3), gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(1, n4_3)), rt in Omega(1 + n4_3)


Generator Equations:
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
g, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
g < encArg

----------------------------------------

(49) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n424_3)) -> gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n424_3), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(+(n424_3, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(n424_3))) ->_IH
s(gen_0':s:cons_f:cons_g2_3(c425_3))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(50)
BOUNDS(1, INF)