/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 320 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 10.7 s]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 523 ms]
        (18) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   prime(0) -> false
   prime(s(0)) -> false
   prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
   prime1(x, 0) -> false
   prime1(x, s(0)) -> true
   prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
   divp(x, y) -> =(rem(x, y), 0)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(=(x_1, x_2)) -> =(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(rem(x_1, x_2)) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
   encArg(cons_prime1(x_1, x_2)) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divp(x_1, x_2)) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_prime1(x_1, x_2) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_divp(x_1, x_2) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_=(x_1, x_2) -> =(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_rem(x_1, x_2) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   prime(0) -> false
   prime(s(0)) -> false
   prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
   prime1(x, 0) -> false
   prime1(x, s(0)) -> true
   prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
   divp(x, y) -> =(rem(x, y), 0)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(=(x_1, x_2)) -> =(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(rem(x_1, x_2)) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
   encArg(cons_prime1(x_1, x_2)) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divp(x_1, x_2)) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_prime1(x_1, x_2) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_divp(x_1, x_2) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_=(x_1, x_2) -> =(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_rem(x_1, x_2) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   prime(0) -> false
   prime(s(0)) -> false
   prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
   prime1(x, 0) -> false
   prime1(x, s(0)) -> true
   prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
   divp(x, y) -> =(rem(x, y), 0)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(=(x_1, x_2)) -> =(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(rem(x_1, x_2)) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
   encArg(cons_prime1(x_1, x_2)) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divp(x_1, x_2)) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_prime1(x_1, x_2) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_divp(x_1, x_2) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_=(x_1, x_2) -> =(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_rem(x_1, x_2) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   prime(0') -> false
   prime(s(0')) -> false
   prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
   prime1(x, 0') -> false
   prime1(x, s(0')) -> true
   prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
   divp(x, y) -> ='(rem(x, y), 0')

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
   encArg(='(x_1, x_2)) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(rem(x_1, x_2)) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
   encArg(cons_prime1(x_1, x_2)) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divp(x_1, x_2)) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0'
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_prime1(x_1, x_2) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
   encode_divp(x_1, x_2) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_=(x_1, x_2) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_rem(x_1, x_2) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
prime(0') -> false
prime(s(0')) -> false
prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
prime1(x, 0') -> false
prime1(x, s(0')) -> true
prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
divp(x, y) -> ='(rem(x, y), 0')
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(='(x_1, x_2)) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(rem(x_1, x_2)) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_prime1(x_1, x_2)) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divp(x_1, x_2)) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_prime1(x_1, x_2) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_divp(x_1, x_2) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_=(x_1, x_2) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_rem(x_1, x_2) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
0' :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
false :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
s :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
true :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
and :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
not :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
=' :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
rem :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encArg :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_0 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_false :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_s :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_true :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_and :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_not :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_= :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_rem :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
hole_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp1_3 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3 :: Nat -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
prime1, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
prime1 < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
prime(0') -> false
prime(s(0')) -> false
prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
prime1(x, 0') -> false
prime1(x, s(0')) -> true
prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
divp(x, y) -> ='(rem(x, y), 0')
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(='(x_1, x_2)) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(rem(x_1, x_2)) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_prime1(x_1, x_2)) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divp(x_1, x_2)) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_prime1(x_1, x_2) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_divp(x_1, x_2) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_=(x_1, x_2) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_rem(x_1, x_2) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
0' :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
false :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
s :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
true :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
and :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
not :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
=' :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
rem :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encArg :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_0 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_false :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_s :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_true :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_and :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_not :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_= :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_rem :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
hole_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp1_3 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3 :: Nat -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp


Generator Equations:
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(0) <=> 0'
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
prime1, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
prime1 < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
prime1(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a), gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3)

Induction Base:
prime1(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a), gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(+(1, 0)))

Induction Step:
prime1(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a), gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(+(1, +(n4_3, 1)))) ->_R^Omega(1)
and(not(divp(s(s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(n4_3))), gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a))), prime1(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a), s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(n4_3)))) ->_R^Omega(1)
and(not(='(rem(s(s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(n4_3))), gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a)), 0')), prime1(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a), s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(n4_3)))) ->_IH
and(not(='(rem(s(s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(n4_3))), gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a)), 0')), *3_3)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
prime(0') -> false
prime(s(0')) -> false
prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
prime1(x, 0') -> false
prime1(x, s(0')) -> true
prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
divp(x, y) -> ='(rem(x, y), 0')
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(='(x_1, x_2)) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(rem(x_1, x_2)) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_prime1(x_1, x_2)) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divp(x_1, x_2)) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_prime1(x_1, x_2) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_divp(x_1, x_2) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_=(x_1, x_2) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_rem(x_1, x_2) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
0' :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
false :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
s :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
true :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
and :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
not :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
=' :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
rem :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encArg :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_0 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_false :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_s :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_true :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_and :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_not :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_= :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_rem :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
hole_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp1_3 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3 :: Nat -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp


Generator Equations:
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(0) <=> 0'
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
prime1, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
prime1 < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
prime(0') -> false
prime(s(0')) -> false
prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
prime1(x, 0') -> false
prime1(x, s(0')) -> true
prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
divp(x, y) -> ='(rem(x, y), 0')
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(not(x_1)) -> not(encArg(x_1))
encArg(='(x_1, x_2)) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(rem(x_1, x_2)) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_prime1(x_1, x_2)) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divp(x_1, x_2)) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_prime1(x_1, x_2) -> prime1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1))
encode_divp(x_1, x_2) -> divp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_=(x_1, x_2) -> ='(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_rem(x_1, x_2) -> rem(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
0' :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
false :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
s :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
true :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
and :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
not :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
=' :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
rem :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encArg :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
cons_divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_prime :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_0 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_false :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_s :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_prime1 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_true :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_and :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_not :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_divp :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_= :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
encode_rem :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
hole_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp1_3 :: 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3 :: Nat -> 0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp


Lemmas:
prime1(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(a), gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3)


Generator Equations:
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(0) <=> 0'
gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(n373355_3)) -> gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(n373355_3), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(+(n373355_3, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(n373355_3))) ->_IH
s(gen_0':false:s:true:not:and:rem:=':cons_prime:cons_prime1:cons_divp2_3(c373356_3))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(18)
BOUNDS(1, INF)