/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


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WORST_CASE(?, O(n^1))
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^1).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 178 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
(7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
(8) CdtProblem
(9) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(10) CdtProblem
(11) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(12) CdtProblem
(13) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
(14) CdtProblem
(15) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(16) CdtProblem
(17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 188 ms]
(18) CdtProblem
(19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 75 ms]
(20) CdtProblem
(21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 67 ms]
(22) CdtProblem
(23) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(24) BOUNDS(1, 1)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   f(x, y, z) -> g(<=(x, y), x, y, z)
   g(true, x, y, z) -> z
   g(false, x, y, z) -> f(f(p(x), y, z), f(p(y), z, x), f(p(z), x, y))
   p(0) -> 0
   p(s(x)) -> x

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_g(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_g(x_1, x_2, x_3, x_4) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   f(x, y, z) -> g(<=(x, y), x, y, z)
   g(true, x, y, z) -> z
   g(false, x, y, z) -> f(f(p(x), y, z), f(p(y), z, x), f(p(z), x, y))
   p(0) -> 0
   p(s(x)) -> x

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_g(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_g(x_1, x_2, x_3, x_4) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   f(x, y, z) -> g(<=(x, y), x, y, z)
   g(true, x, y, z) -> z
   g(false, x, y, z) -> f(f(p(x), y, z), f(p(y), z, x), f(p(z), x, y))
   p(0) -> 0
   p(s(x)) -> x

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_g(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_g(x_1, x_2, x_3, x_4) -> g(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_g(z0, z1, z2, z3) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_<=(z0, z1) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(z0) -> p(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(true) -> c1
   ENCARG(false) -> c2
   ENCARG(0) -> c3
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c8(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c9(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCODE_<=(z0, z1) -> c10(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_TRUE -> c11
   ENCODE_FALSE -> c12
   ENCODE_P(z0) -> c13(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_0 -> c14
   ENCODE_S(z0) -> c15(ENCARG(z0))
   F(z0, z1, z2) -> c16(G(<=(z0, z1), z0, z1, z2))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   G(false, z0, z1, z2) -> c18(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)), F(p(z0), z1, z2), P(z0), F(p(z1), z2, z0), P(z1), F(p(z2), z0, z1), P(z2))
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
S tuples:
   F(z0, z1, z2) -> c16(G(<=(z0, z1), z0, z1, z2))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   G(false, z0, z1, z2) -> c18(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)), F(p(z0), z1, z2), P(z0), F(p(z1), z2, z0), P(z1), F(p(z2), z0, z1), P(z2))
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_4, p_1, encArg_1, encode_f_3, encode_g_4, encode_<=_2, encode_true, encode_false, encode_p_1, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_<=_2, ENCODE_TRUE, ENCODE_FALSE, ENCODE_P_1, ENCODE_0, ENCODE_S_1, F_3, G_4, P_1

Compound Symbols:   c_2, c1, c2, c3, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c8_4, c9_5, c10_2, c11, c12, c13_2, c14, c15_1, c16_1, c17, c18_7, c19, c20


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 2 leading nodes:
   ENCODE_<=(z0, z1) -> c10(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_S(z0) -> c15(ENCARG(z0))
Removed 6 trailing nodes:
   ENCARG(0) -> c3
   ENCARG(true) -> c1
   ENCARG(false) -> c2
   ENCODE_FALSE -> c12
   ENCODE_TRUE -> c11
   ENCODE_0 -> c14

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_g(z0, z1, z2, z3) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_<=(z0, z1) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(z0) -> p(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c8(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c9(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCODE_P(z0) -> c13(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1, z2) -> c16(G(<=(z0, z1), z0, z1, z2))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   G(false, z0, z1, z2) -> c18(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)), F(p(z0), z1, z2), P(z0), F(p(z1), z2, z0), P(z1), F(p(z2), z0, z1), P(z2))
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
S tuples:
   F(z0, z1, z2) -> c16(G(<=(z0, z1), z0, z1, z2))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   G(false, z0, z1, z2) -> c18(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)), F(p(z0), z1, z2), P(z0), F(p(z1), z2, z0), P(z1), F(p(z2), z0, z1), P(z2))
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_4, p_1, encArg_1, encode_f_3, encode_g_4, encode_<=_2, encode_true, encode_false, encode_p_1, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_P_1, F_3, G_4, P_1

Compound Symbols:   c_2, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c8_4, c9_5, c13_2, c16_1, c17, c18_7, c19, c20


----------------------------------------

(9) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 1 trailing tuple parts
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_g(z0, z1, z2, z3) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_<=(z0, z1) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(z0) -> p(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c8(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c9(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCODE_P(z0) -> c13(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   G(false, z0, z1, z2) -> c18(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)), F(p(z0), z1, z2), P(z0), F(p(z1), z2, z0), P(z1), F(p(z2), z0, z1), P(z2))
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
S tuples:
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   G(false, z0, z1, z2) -> c18(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)), F(p(z0), z1, z2), P(z0), F(p(z1), z2, z0), P(z1), F(p(z2), z0, z1), P(z2))
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_4, p_1, encArg_1, encode_f_3, encode_g_4, encode_<=_2, encode_true, encode_false, encode_p_1, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_P_1, G_4, P_1, F_3

Compound Symbols:   c_2, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c8_4, c9_5, c13_2, c17, c18_7, c19, c20, c16


----------------------------------------

(11) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_g(z0, z1, z2, z3) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_<=(z0, z1) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(z0) -> p(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z1))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(ENCARG(z3))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(ENCARG(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
S tuples:
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_4, p_1, encArg_1, encode_f_3, encode_g_4, encode_<=_2, encode_true, encode_false, encode_p_1, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_4, P_1, F_3, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_P_1

Compound Symbols:   c_2, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c17, c19, c20, c16, c1_1


----------------------------------------

(13) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 8 leading nodes:
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z1))
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(ENCARG(z2))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(ENCARG(z3))
   ENCODE_P(z0) -> c1(ENCARG(z0))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_g(z0, z1, z2, z3) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_<=(z0, z1) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(z0) -> p(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
S tuples:
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_3, g_4, p_1, encArg_1, encode_f_3, encode_g_4, encode_<=_2, encode_true, encode_false, encode_p_1, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_4, P_1, F_3, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_P_1

Compound Symbols:   c_2, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c17, c19, c20, c16, c1_1


----------------------------------------

(15) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_f(z0, z1, z2) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_g(z0, z1, z2, z3) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_<=(z0, z1) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_p(z0) -> p(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
S tuples:
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_4, p_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_4, P_1, F_3, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_P_1

Compound Symbols:   c_2, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c17, c19, c20, c16, c1_1


----------------------------------------

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = [1]
   POL(<=(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2, x_3)) = 0
   POL(ENCODE_G(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_3 + x_4
   POL(ENCODE_P(x_1)) = [1]
   POL(F(x_1, x_2, x_3)) = 0
   POL(G(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1]
   POL(P(x_1)) = [1]
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c20) = 0
   POL(c4(x_1)) = x_1
   POL(c5(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(c7(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_f(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_g(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_p(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(f(x_1, x_2, x_3)) = 0
   POL(false) = [1]
   POL(g(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(p(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(true) = [1]

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
S tuples:
   F(z0, z1, z2) -> c16
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
K tuples:
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_4, p_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_4, P_1, F_3, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_P_1

Compound Symbols:   c_2, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c17, c19, c20, c16, c1_1


----------------------------------------

(19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = [1]
   POL(<=(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2, x_3)) = x_2
   POL(ENCODE_G(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_3 + x_4
   POL(ENCODE_P(x_1)) = 0
   POL(F(x_1, x_2, x_3)) = 0
   POL(G(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1]
   POL(P(x_1)) = 0
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c20) = 0
   POL(c4(x_1)) = x_1
   POL(c5(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(c7(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_f(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_g(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_p(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1, x_2, x_3)) = 0
   POL(false) = [1]
   POL(g(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(p(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(true) = [1]

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
S tuples:
   F(z0, z1, z2) -> c16
K tuples:
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_4, p_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_4, P_1, F_3, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_P_1

Compound Symbols:   c_2, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c17, c19, c20, c16, c1_1


----------------------------------------

(21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   F(z0, z1, z2) -> c16
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = [1]
   POL(<=(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(ENCODE_G(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(ENCODE_P(x_1)) = [1]
   POL(F(x_1, x_2, x_3)) = [1]
   POL(G(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1]
   POL(P(x_1)) = [1]
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c20) = 0
   POL(c4(x_1)) = x_1
   POL(c5(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(c7(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_f(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_g(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_p(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(f(x_1, x_2, x_3)) = 0
   POL(false) = [1]
   POL(g(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(p(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(true) = [1]

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(<=(z0, z1)) -> <=(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1, z2)) -> f(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> g(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0))
   f(z0, z1, z2) -> g(<=(z0, z1), z0, z1, z2)
   g(true, z0, z1, z2) -> z2
   g(false, z0, z1, z2) -> f(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1))
   p(0) -> 0
   p(s(z0)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(<=(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1, z2)) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_g(z0, z1, z2, z3)) -> c6(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCARG(cons_p(z0)) -> c7(P(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   F(z0, z1, z2) -> c16
   ENCODE_F(z0, z1, z2) -> c1(F(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_G(z0, z1, z2, z3) -> c1(G(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_P(z0) -> c1(P(encArg(z0)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
S tuples:none
K tuples:
   G(true, z0, z1, z2) -> c17
   P(0) -> c19
   P(s(z0)) -> c20
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(f(p(z0), z1, z2), f(p(z1), z2, z0), f(p(z2), z0, z1)))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z0), z1, z2))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z1), z2, z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(F(p(z2), z0, z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z0))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z1))
   G(false, z0, z1, z2) -> c1(P(z2))
   F(z0, z1, z2) -> c16
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_3, g_4, p_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, G_4, P_1, F_3, ENCODE_F_3, ENCODE_G_4, ENCODE_P_1

Compound Symbols:   c_2, c4_1, c5_4, c6_5, c7_2, c17, c19, c20, c16, c1_1


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(23) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
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(24)
BOUNDS(1, 1)