/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^3), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 213 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 296 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 79 ms] (18) BEST (19) proven lower bound (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (21) BOUNDS(n^2, INF) (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 679 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 5823 ms] (26) BEST (27) proven lower bound (28) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (29) BOUNDS(n^3, INF) (30) typed CpxTrs (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 18 ms] (32) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). The TRS R consists of the following rules: fac(0) -> 1 fac(s(x)) -> *(s(x), fac(x)) floop(0, y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *(s(x), y)) *(x, 0) -> 0 *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x) +(x, 0) -> x +(x, s(y)) -> s(+(x, y)) 1 -> s(0) fac(0) -> s(0) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1 encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_1 -> 1 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). The TRS R consists of the following rules: fac(0) -> 1 fac(s(x)) -> *(s(x), fac(x)) floop(0, y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *(s(x), y)) *(x, 0) -> 0 *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x) +(x, 0) -> x +(x, s(y)) -> s(+(x, y)) 1 -> s(0) fac(0) -> s(0) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1 encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_1 -> 1 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). The TRS R consists of the following rules: fac(0) -> 1 fac(s(x)) -> *(s(x), fac(x)) floop(0, y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *(s(x), y)) *(x, 0) -> 0 *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x) +(x, 0) -> x +(x, s(y)) -> s(+(x, y)) 1 -> s(0) fac(0) -> s(0) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1 encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_1 -> 1 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF). The TRS R consists of the following rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: fac, *', floop, +', encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < fac fac < encArg *' < floop +' < *' *' < encArg floop < encArg +' < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 Generator Equations: gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', fac, *', floop, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < fac fac < encArg *' < floop +' < *' *' < encArg floop < encArg +' < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a) Induction Step: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) s(+'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n4_3))) ->_IH s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(a, c5_3))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 Generator Equations: gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', fac, *', floop, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < fac fac < encArg *' < floop +' < *' *' < encArg floop < encArg +' < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 Lemmas: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: *', fac, floop, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < fac fac < encArg *' < floop *' < encArg floop < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: *'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n955_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(*(n955_3, a)), rt in Omega(1 + a*n955_3 + n955_3) Induction Base: *'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: *'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n955_3, 1))) ->_R^Omega(1) +'(*'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n955_3)), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a)) ->_IH +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(*(c956_3, a)), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a)) ->_L^Omega(1 + a) gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(a, *(n955_3, a))) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (18) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (19) Obligation: Proved the lower bound n^2 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 Lemmas: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: *', fac, floop, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < fac fac < encArg *' < floop *' < encArg floop < encArg ---------------------------------------- (20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (21) BOUNDS(n^2, INF) ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 Lemmas: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3) *'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n955_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(*(n955_3, a)), rt in Omega(1 + a*n955_3 + n955_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: fac, floop, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: fac < encArg floop < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: fac(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, n2095_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2095_3) Induction Base: fac(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, 0))) Induction Step: fac(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, +(n2095_3, 1)))) ->_R^Omega(1) *'(s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, n2095_3))), fac(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, n2095_3)))) ->_IH *'(s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, n2095_3))), *3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 Lemmas: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3) *'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n955_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(*(n955_3, a)), rt in Omega(1 + a*n955_3 + n955_3) fac(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, n2095_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2095_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: floop, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: floop < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: floop(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n3431_3), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(b*n3431_3 + b*n3431_3^2 + n3431_3) Induction Base: floop(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(b)) Induction Step: floop(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n3431_3, 1)), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(b)) ->_R^Omega(1) floop(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n3431_3), *'(s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n3431_3)), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(b))) ->_L^Omega(1 + 2*b + b*n3431_3) floop(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n3431_3), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(*(b, +(n3431_3, 1)))) ->_IH *3_3 We have rt in Omega(n^3) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^3). ---------------------------------------- (26) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (27) Obligation: Proved the lower bound n^3 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 Lemmas: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3) *'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n955_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(*(n955_3, a)), rt in Omega(1 + a*n955_3 + n955_3) fac(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, n2095_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2095_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: floop, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: floop < encArg ---------------------------------------- (28) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (29) BOUNDS(n^3, INF) ---------------------------------------- (30) Obligation: Innermost TRS: Rules: fac(0') -> 1' fac(s(x)) -> *'(s(x), fac(x)) floop(0', y) -> y floop(s(x), y) -> floop(x, *'(s(x), y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x) +'(x, 0') -> x +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y)) 1' -> s(0') fac(0') -> s(0') encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1)) encArg(cons_floop(x_1, x_2)) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_1) -> 1' encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_1 -> 1' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_floop(x_1, x_2) -> floop(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 0' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 1' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 *' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 +' :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encArg :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 cons_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_fac :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_0 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_1 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_s :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_* :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_floop :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 encode_+ :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 hole_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_11_3 :: 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3 :: Nat -> 0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_1 Lemmas: +'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3) *'(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(a), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n955_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(*(n955_3, a)), rt in Omega(1 + a*n955_3 + n955_3) fac(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(1, n2095_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2095_3) floop(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n3431_3), gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(b*n3431_3 + b*n3431_3^2 + n3431_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: encArg ---------------------------------------- (31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n12730_3)) -> gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n12730_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(+(n12730_3, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(n12730_3))) ->_IH s(gen_0':s:cons_fac:cons_floop:cons_*:cons_+:cons_12_3(c12731_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (32) BOUNDS(1, INF)