/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^2)) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 43 ms] (4) CpxRelTRS (5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (6) CdtProblem (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (8) CdtProblem (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (10) CdtProblem (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (12) CdtProblem (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 4 ms] (14) CdtProblem (15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 124 ms] (16) CdtProblem (17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 110 ms] (18) CdtProblem (19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 79 ms] (20) CdtProblem (21) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (22) BOUNDS(1, 1) (23) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (24) CpxRelTRS (25) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (26) typed CpxTrs (27) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 5 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1108 ms] (30) BEST (31) proven lower bound (32) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (33) BOUNDS(n^1, INF) (34) typed CpxTrs (35) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 643 ms] (36) typed CpxTrs (37) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 392 ms] (38) typed CpxTrs (39) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 47 ms] (40) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (6) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_c(z0) -> c(encArg(z0)) encode_d(z0) -> d(encArg(z0)) encode_e(z0) -> e(encArg(z0)) a(b(z0)) -> c(d(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) d(d(z0)) -> b(e(z0)) d(z0) -> z0 b(z0) -> d(c(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_A(z0) -> c6(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_C(z0) -> c8(ENCARG(z0)) ENCODE_D(z0) -> c9(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_E(z0) -> c10(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(b(z0)) -> c11(D(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(d(z0)) -> c13(B(e(z0)), E(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) S tuples: A(b(z0)) -> c11(D(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(d(z0)) -> c13(B(e(z0)), E(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: a_1, d_1, b_1, e_1, encArg_1, encode_a_1, encode_b_1, encode_c_1, encode_d_1, encode_e_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_C_1, ENCODE_D_1, ENCODE_E_1, A_1, D_1, B_1, E_1 Compound Symbols: c1_1, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c6_2, c7_2, c8_1, c9_2, c10_2, c11_1, c12_2, c13_2, c14, c15_1, c16_2 ---------------------------------------- (7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 3 leading nodes: ENCODE_C(z0) -> c8(ENCARG(z0)) A(b(z0)) -> c11(D(z0)) D(d(z0)) -> c13(B(e(z0)), E(z0)) ---------------------------------------- (8) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_c(z0) -> c(encArg(z0)) encode_d(z0) -> d(encArg(z0)) encode_e(z0) -> e(encArg(z0)) a(b(z0)) -> c(d(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) d(d(z0)) -> b(e(z0)) d(z0) -> z0 b(z0) -> d(c(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_A(z0) -> c6(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_D(z0) -> c9(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_E(z0) -> c10(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) S tuples: A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: a_1, d_1, b_1, e_1, encArg_1, encode_a_1, encode_b_1, encode_c_1, encode_d_1, encode_e_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_D_1, ENCODE_E_1, A_1, D_1, B_1, E_1 Compound Symbols: c1_1, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c6_2, c7_2, c9_2, c10_2, c12_2, c14, c15_1, c16_2 ---------------------------------------- (9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (10) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_c(z0) -> c(encArg(z0)) encode_d(z0) -> d(encArg(z0)) encode_e(z0) -> e(encArg(z0)) a(b(z0)) -> c(d(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) d(d(z0)) -> b(e(z0)) d(z0) -> z0 b(z0) -> d(c(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_A(z0) -> c8(ENCARG(z0)) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(ENCARG(z0)) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(ENCARG(z0)) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(ENCARG(z0)) S tuples: A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: a_1, d_1, b_1, e_1, encArg_1, encode_a_1, encode_b_1, encode_c_1, encode_d_1, encode_e_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, D_1, B_1, E_1, ENCODE_A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_D_1, ENCODE_E_1 Compound Symbols: c1_1, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c12_2, c14, c15_1, c16_2, c8_1 ---------------------------------------- (11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 4 leading nodes: ENCODE_A(z0) -> c8(ENCARG(z0)) ENCODE_B(z0) -> c8(ENCARG(z0)) ENCODE_D(z0) -> c8(ENCARG(z0)) ENCODE_E(z0) -> c8(ENCARG(z0)) ---------------------------------------- (12) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_c(z0) -> c(encArg(z0)) encode_d(z0) -> d(encArg(z0)) encode_e(z0) -> e(encArg(z0)) a(b(z0)) -> c(d(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) d(d(z0)) -> b(e(z0)) d(z0) -> z0 b(z0) -> d(c(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) S tuples: A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: a_1, d_1, b_1, e_1, encArg_1, encode_a_1, encode_b_1, encode_c_1, encode_d_1, encode_e_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, D_1, B_1, E_1, ENCODE_A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_D_1, ENCODE_E_1 Compound Symbols: c1_1, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c12_2, c14, c15_1, c16_2, c8_1 ---------------------------------------- (13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_c(z0) -> c(encArg(z0)) encode_d(z0) -> d(encArg(z0)) encode_e(z0) -> e(encArg(z0)) a(b(z0)) -> c(d(z0)) d(d(z0)) -> b(e(z0)) ---------------------------------------- (14) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) d(z0) -> z0 b(z0) -> d(c(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) S tuples: A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, a_1, d_1, b_1, e_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, D_1, B_1, E_1, ENCODE_A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_D_1, ENCODE_E_1 Compound Symbols: c1_1, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c12_2, c14, c15_1, c16_2, c8_1 ---------------------------------------- (15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. B(z0) -> c15(D(c(z0))) We considered the (Usable) Rules:none And the Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(A(x_1)) = [1] POL(B(x_1)) = [1] POL(D(x_1)) = 0 POL(E(x_1)) = [1] POL(ENCARG(x_1)) = x_1 POL(ENCODE_A(x_1)) = [1] POL(ENCODE_B(x_1)) = [1] + x_1 POL(ENCODE_D(x_1)) = 0 POL(ENCODE_E(x_1)) = [1] POL(a(x_1)) = [1] + x_1 POL(b(x_1)) = [1] + x_1 POL(c(x_1)) = [1] + x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c12(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c14) = 0 POL(c15(x_1)) = x_1 POL(c16(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c2(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(cons_a(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_b(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_d(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_e(x_1)) = [1] + x_1 POL(d(x_1)) = x_1 POL(e(x_1)) = [1] + x_1 POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1 ---------------------------------------- (16) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) d(z0) -> z0 b(z0) -> d(c(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) S tuples: A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) K tuples: B(z0) -> c15(D(c(z0))) Defined Rule Symbols: encArg_1, a_1, d_1, b_1, e_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, D_1, B_1, E_1, ENCODE_A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_D_1, ENCODE_E_1 Compound Symbols: c1_1, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c12_2, c14, c15_1, c16_2, c8_1 ---------------------------------------- (17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) We considered the (Usable) Rules: d(z0) -> z0 encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) b(z0) -> d(c(z0)) And the Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(A(x_1)) = [2] + [2]x_1 POL(B(x_1)) = 0 POL(D(x_1)) = 0 POL(E(x_1)) = [2]x_1 POL(ENCARG(x_1)) = [2]x_1 + x_1^2 POL(ENCODE_A(x_1)) = [2] + [2]x_1 + x_1^2 POL(ENCODE_B(x_1)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_D(x_1)) = [1] + [2]x_1^2 POL(ENCODE_E(x_1)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(a(x_1)) = 0 POL(b(x_1)) = [2] + x_1 POL(c(x_1)) = [2] + x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c12(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c14) = 0 POL(c15(x_1)) = x_1 POL(c16(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c2(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(cons_a(x_1)) = [2] + x_1 POL(cons_b(x_1)) = [2] + x_1 POL(cons_d(x_1)) = x_1 POL(cons_e(x_1)) = [1] + x_1 POL(d(x_1)) = x_1 POL(e(x_1)) = 0 POL(encArg(x_1)) = x_1 ---------------------------------------- (18) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) d(z0) -> z0 b(z0) -> d(c(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) S tuples: D(z0) -> c14 K tuples: B(z0) -> c15(D(c(z0))) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) Defined Rule Symbols: encArg_1, a_1, d_1, b_1, e_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, D_1, B_1, E_1, ENCODE_A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_D_1, ENCODE_E_1 Compound Symbols: c1_1, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c12_2, c14, c15_1, c16_2, c8_1 ---------------------------------------- (19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. D(z0) -> c14 We considered the (Usable) Rules: d(z0) -> z0 encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) b(z0) -> d(c(z0)) And the Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(A(x_1)) = [2] + [2]x_1 POL(B(x_1)) = [2] POL(D(x_1)) = [1] POL(E(x_1)) = [2]x_1 POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2 POL(ENCODE_A(x_1)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_B(x_1)) = [2] + x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_D(x_1)) = [2] + [2]x_1^2 POL(ENCODE_E(x_1)) = [2] + [2]x_1 + x_1^2 POL(a(x_1)) = 0 POL(b(x_1)) = [2] + x_1 POL(c(x_1)) = [2] + x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c12(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c14) = 0 POL(c15(x_1)) = x_1 POL(c16(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c2(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(cons_a(x_1)) = [2] + x_1 POL(cons_b(x_1)) = [2] + x_1 POL(cons_d(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_e(x_1)) = [2] + x_1 POL(d(x_1)) = x_1 POL(e(x_1)) = 0 POL(encArg(x_1)) = x_1 ---------------------------------------- (20) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(c(z0)) -> c(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encArg(cons_d(z0)) -> d(encArg(z0)) encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_e(z0)) -> e(encArg(z0)) a(z0) -> e(d(z0)) d(z0) -> z0 b(z0) -> d(c(z0)) e(c(z0)) -> d(a(z0)) Tuples: ENCARG(c(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c2(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_d(z0)) -> c3(D(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_b(z0)) -> c4(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_e(z0)) -> c5(E(encArg(z0)), ENCARG(z0)) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) D(z0) -> c14 B(z0) -> c15(D(c(z0))) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) ENCODE_A(z0) -> c8(A(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c8(B(encArg(z0))) ENCODE_D(z0) -> c8(D(encArg(z0))) ENCODE_E(z0) -> c8(E(encArg(z0))) S tuples:none K tuples: B(z0) -> c15(D(c(z0))) A(z0) -> c12(E(d(z0)), D(z0)) E(c(z0)) -> c16(D(a(z0)), A(z0)) D(z0) -> c14 Defined Rule Symbols: encArg_1, a_1, d_1, b_1, e_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, D_1, B_1, E_1, ENCODE_A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_D_1, ENCODE_E_1 Compound Symbols: c1_1, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c12_2, c14, c15_1, c16_2, c8_1 ---------------------------------------- (21) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The set S is empty ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, 1) ---------------------------------------- (23) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (24) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (25) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encArg :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0 :: Nat -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e ---------------------------------------- (27) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a, d, b, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = d a = b a = e a < encArg d = b d = e d < encArg b = e b < encArg e < encArg ---------------------------------------- (28) Obligation: Innermost TRS: Rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encArg :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0 :: Nat -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e Generator Equations: gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(0) <=> hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> c(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: d, a, b, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = d a = b a = e a < encArg d = b d = e d < encArg b = e b < encArg e < encArg ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n50_0))) -> *3_0, rt in Omega(n50_0) Induction Base: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, 0))) Induction Step: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, +(n50_0, 1)))) ->_R^Omega(1) d(a(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n50_0)))) ->_R^Omega(1) d(e(d(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n50_0))))) ->_R^Omega(1) d(e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n50_0)))) ->_IH d(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (30) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (31) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encArg :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0 :: Nat -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e Generator Equations: gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(0) <=> hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> c(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: e, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = d a = b a = e a < encArg d = b d = e d < encArg b = e b < encArg e < encArg ---------------------------------------- (32) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (33) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (34) Obligation: Innermost TRS: Rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encArg :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0 :: Nat -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e Lemmas: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n50_0))) -> *3_0, rt in Omega(n50_0) Generator Equations: gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(0) <=> hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> c(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a, d, b, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = d a = b a = e a < encArg d = b d = e d < encArg b = e b < encArg e < encArg ---------------------------------------- (35) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(n545_0)) -> *3_0, rt in Omega(n545_0) Induction Base: a(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(0)) Induction Step: a(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(n545_0, 1))) ->_R^Omega(1) e(d(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(n545_0, 1)))) ->_R^Omega(1) e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n545_0))) ->_R^Omega(1) d(a(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(n545_0))) ->_IH d(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (36) Obligation: Innermost TRS: Rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encArg :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0 :: Nat -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e Lemmas: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n50_0))) -> *3_0, rt in Omega(n50_0) a(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(n545_0)) -> *3_0, rt in Omega(n545_0) Generator Equations: gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(0) <=> hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> c(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: d, b, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a = d a = b a = e a < encArg d = b d = e d < encArg b = e b < encArg e < encArg ---------------------------------------- (37) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n1148_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1148_0) Induction Base: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, 0))) Induction Step: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, +(n1148_0, 1)))) ->_R^Omega(1) d(a(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n1148_0)))) ->_R^Omega(1) d(e(d(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n1148_0))))) ->_R^Omega(1) d(e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n1148_0)))) ->_IH d(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (38) Obligation: Innermost TRS: Rules: a(b(x1)) -> c(d(x1)) d(d(x1)) -> b(e(x1)) b(x1) -> d(c(x1)) d(x1) -> x1 e(c(x1)) -> d(a(x1)) a(x1) -> e(d(x1)) encArg(c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) Types: a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encArg :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e cons_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_a :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_b :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_c :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_d :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e encode_e :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 :: c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0 :: Nat -> c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e Lemmas: e(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n1148_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1148_0) a(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(n545_0)) -> *3_0, rt in Omega(n545_0) Generator Equations: gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(0) <=> hole_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e1_0 gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(x, 1)) <=> c(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: encArg ---------------------------------------- (39) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n1857_0))) -> *3_0, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, +(n1857_0, 1)))) ->_R^Omega(0) c(encArg(gen_c:cons_a:cons_d:cons_b:cons_e2_0(+(1, n1857_0)))) ->_IH c(*3_0) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (40) BOUNDS(1, INF)