/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 345 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 596 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 128 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1434 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0 ge(x, 0) -> true ge(0, s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0, y) -> false gt(s(x), 0) -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0), x, y) if1(false, x, y) -> 0 if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0 S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0 encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0 ge(x, 0) -> true ge(0, s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0, y) -> false gt(s(x), 0) -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0), x, y) if1(false, x, y) -> 0 if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0 The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0 encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0 ge(x, 0) -> true ge(0, s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0, y) -> false gt(s(x), 0) -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0), x, y) if1(false, x, y) -> 0 if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0 The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0 encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0' ge(x, 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0', y) -> false gt(s(x), 0') -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0'), x, y) if1(false, x, y) -> 0' if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0' The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0' ge(x, 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0', y) -> false gt(s(x), 0') -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0'), x, y) if1(false, x, y) -> 0' if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 0' :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encArg :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_0 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 hole_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if21_4 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4 :: Nat -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: minus, if, gt, ge, div, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus = if gt < minus minus < if2 minus < encArg if < encArg gt < if1 gt < encArg ge < div ge < encArg div = if1 div = if2 div < encArg if1 = if2 if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0' ge(x, 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0', y) -> false gt(s(x), 0') -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0'), x, y) if1(false, x, y) -> 0' if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 0' :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encArg :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_0 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 hole_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if21_4 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4 :: Nat -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 Generator Equations: gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(0) <=> true gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gt, minus, if, ge, div, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus = if gt < minus minus < if2 minus < encArg if < encArg gt < if1 gt < encArg ge < div ge < encArg div = if1 div = if2 div < encArg if1 = if2 if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: gt(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: gt(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, 0)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, 0))) Induction Step: gt(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) gt(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n4_4))) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0' ge(x, 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0', y) -> false gt(s(x), 0') -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0'), x, y) if1(false, x, y) -> 0' if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 0' :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encArg :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_0 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 hole_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if21_4 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4 :: Nat -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 Generator Equations: gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(0) <=> true gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gt, minus, if, ge, div, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus = if gt < minus minus < if2 minus < encArg if < encArg gt < if1 gt < encArg ge < div ge < encArg div = if1 div = if2 div < encArg if1 = if2 if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0' ge(x, 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0', y) -> false gt(s(x), 0') -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0'), x, y) if1(false, x, y) -> 0' if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 0' :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encArg :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_0 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 hole_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if21_4 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4 :: Nat -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 Lemmas: gt(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(0) <=> true gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, minus, if, div, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus = if minus < if2 minus < encArg if < encArg ge < div ge < encArg div = if1 div = if2 div < encArg if1 = if2 if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: ge(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n1362_4)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n1362_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1362_4) Induction Base: ge(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, 0)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, 0))) Induction Step: ge(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, +(n1362_4, 1))), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, +(n1362_4, 1)))) ->_R^Omega(1) ge(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n1362_4)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n1362_4))) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(s(x), y) -> if(gt(s(x), y), x, y) if(true, x, y) -> s(minus(x, y)) if(false, x, y) -> 0' ge(x, 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) gt(0', y) -> false gt(s(x), 0') -> true gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y) div(x, y) -> if1(ge(x, y), x, y) if1(true, x, y) -> if2(gt(y, 0'), x, y) if1(false, x, y) -> 0' if2(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y)) if2(false, x, y) -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 0' :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encArg :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 cons_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_minus :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_s :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_gt :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_true :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_false :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_0 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_ge :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_div :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if1 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 encode_if2 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 hole_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if21_4 :: s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4 :: Nat -> s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if2 Lemmas: gt(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) ge(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n1362_4)), gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(1, n1362_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1362_4) Generator Equations: gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(0) <=> true gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, minus, div, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus = if minus < if2 minus < encArg if < encArg div = if1 div = if2 div < encArg if1 = if2 if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(n9270_4)) -> gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(n9270_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(0)) ->_R^Omega(0) true Induction Step: encArg(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(+(n9270_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(n9270_4))) ->_IH s(gen_s:true:false:0':cons_minus:cons_if:cons_ge:cons_gt:cons_div:cons_if1:cons_if22_4(c9271_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)