/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 442 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 295 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 56 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 3587 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0, 0) -> true eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0 min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0, 0) -> true eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0 min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0, 0) -> true eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0 min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0' min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0' min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Types: le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: le, eq, minsort, min, rm, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: le < min le < encArg eq < rm eq < encArg min < minsort rm < minsort minsort < encArg min = if1 min < encArg rm = if2 rm < encArg if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0' min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Types: le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 Generator Equations: gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, eq, minsort, min, rm, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: le < min le < encArg eq < rm eq < encArg min < minsort rm < minsort minsort < encArg min = if1 min < encArg rm = if2 rm < encArg if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Induction Base: le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(n4_5, 1)), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1) le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n4_5)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0' min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Types: le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 Generator Equations: gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, eq, minsort, min, rm, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: le < min le < encArg eq < rm eq < encArg min < minsort rm < minsort minsort < encArg min = if1 min < encArg rm = if2 rm < encArg if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0' min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Types: le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 Lemmas: le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: eq, minsort, min, rm, if1, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: eq < rm eq < encArg min < minsort rm < minsort minsort < encArg min = if1 min < encArg rm = if2 rm < encArg if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n719_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n719_5)) -> true, rt in Omega(1 + n719_5) Induction Base: eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(n719_5, 1)), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(n719_5, 1))) ->_R^Omega(1) eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n719_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n719_5)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) minsort(nil) -> nil minsort(cons(x, xs)) -> cons(min(cons(x, xs)), minsort(rm(min(cons(x, xs)), cons(x, xs)))) min(nil) -> 0' min(cons(x, nil)) -> x min(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(le(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> min(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> min(cons(y, xs)) rm(x, nil) -> nil rm(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> rm(x, xs) if2(false, x, y, xs) -> cons(y, rm(x, xs)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minsort(x_1)) -> minsort(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minsort(x_1) -> minsort(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Types: le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_eq :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_minsort :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_nil :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_cons :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_min :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_rm :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if1 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 hole_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if2 Lemmas: le(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) eq(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n719_5), gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n719_5)) -> true, rt in Omega(1 + n719_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if2, minsort, min, rm, if1, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: min < minsort rm < minsort minsort < encArg min = if1 min < encArg rm = if2 rm < encArg if1 < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n1719_5)) -> gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n1719_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(+(n1719_5, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(n1719_5))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:nil:cons:cons_le:cons_eq:cons_minsort:cons_min:cons_if1:cons_rm:cons_if22_5(c1720_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)