/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(?, O(n^1)) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^1). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 31 ms] (4) CpxRelTRS (5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (6) CdtProblem (7) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) CdtProblem (9) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (10) CdtProblem (11) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (12) CdtProblem (13) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (14) CdtProblem (15) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (16) CdtProblem (17) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (18) CdtProblem (19) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (20) CdtProblem (21) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (22) CdtProblem (23) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (24) CdtProblem (25) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (26) CdtProblem (27) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (28) CdtProblem (29) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (30) CdtProblem (31) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (32) CdtProblem (33) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (34) CdtProblem (35) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (36) CdtProblem (37) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (38) CdtProblem (39) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (40) CdtProblem (41) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (42) CdtProblem (43) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (44) CdtProblem (45) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (46) CdtProblem (47) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (48) CdtProblem (49) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (50) CdtProblem (51) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (52) CdtProblem (53) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (54) CdtProblem (55) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (56) CdtProblem (57) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (58) CdtProblem (59) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (60) CdtProblem (61) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (62) CdtProblem (63) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (64) CdtProblem (65) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (66) CdtProblem (67) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (68) CdtProblem (69) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (70) CdtProblem (71) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (72) CdtProblem (73) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 18 ms] (74) CdtProblem (75) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (76) CdtProblem (77) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (78) CdtProblem (79) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (80) CdtProblem (81) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 18 ms] (82) CdtProblem (83) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (84) BOUNDS(1, 1) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^1). The TRS R consists of the following rules: b(b(x1)) -> a(a(a(x1))) a(a(b(x1))) -> b(x1) a(b(a(x1))) -> a(b(b(x1))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1). The TRS R consists of the following rules: b(b(x1)) -> a(a(a(x1))) a(a(b(x1))) -> b(x1) a(b(a(x1))) -> a(b(b(x1))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1). The TRS R consists of the following rules: b(b(x1)) -> a(a(a(x1))) a(a(b(x1))) -> b(x1) a(b(a(x1))) -> a(b(b(x1))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (6) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(z0)) -> c(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c1(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_B(z0) -> c2(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_A(z0) -> c3(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) S tuples: B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: b_1, a_1, encArg_1, encode_b_1, encode_a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1, B_1, A_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c4_3, c5_1, c6_3 ---------------------------------------- (7) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (8) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(z0)) -> c(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c1(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0))) ENCODE_B(z0) -> c7(ENCARG(z0)) ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) ENCODE_A(z0) -> c7(ENCARG(z0)) S tuples: B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: b_1, a_1, encArg_1, encode_b_1, encode_a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, B_1, A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c4_3, c5_1, c6_3, c7_1 ---------------------------------------- (9) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_B(z0) -> c7(ENCARG(z0)) ENCODE_A(z0) -> c7(ENCARG(z0)) ---------------------------------------- (10) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(z0)) -> c(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c1(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0))) ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) S tuples: B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: b_1, a_1, encArg_1, encode_b_1, encode_a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, B_1, A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c4_3, c5_1, c6_3, c7_1 ---------------------------------------- (11) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_b(z0) -> b(encArg(z0)) encode_a(z0) -> a(encArg(z0)) ---------------------------------------- (12) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(z0)) -> c(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_a(z0)) -> c1(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0))) ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) S tuples: B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, B_1, A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c4_3, c5_1, c6_3, c7_1 ---------------------------------------- (13) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_b(z0)) -> c(B(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_a(z0))) -> c(B(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) ---------------------------------------- (14) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_a(z0)) -> c1(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0))) ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_a(z0))) -> c(B(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) S tuples: B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, B_1, A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c1_2, c4_3, c5_1, c6_3, c7_1, c_2 ---------------------------------------- (15) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_a(z0)) -> c1(A(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_a(cons_b(z0))) -> c1(A(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) ---------------------------------------- (16) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0))) ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_a(z0))) -> c(B(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) ENCARG(cons_a(cons_b(z0))) -> c1(A(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) S tuples: B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: B_1, A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c4_3, c5_1, c6_3, c7_1, c_2, c1_2 ---------------------------------------- (17) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace B(b(z0)) -> c4(A(a(a(z0))), A(a(z0)), A(z0)) by B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ---------------------------------------- (18) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0))) ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_a(z0))) -> c(B(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) ENCARG(cons_a(cons_b(z0))) -> c1(A(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1, ENCARG_1, B_1 Compound Symbols: c5_1, c6_3, c7_1, c_2, c1_2, c4_3, c4_2 ---------------------------------------- (19) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace A(b(a(z0))) -> c6(A(b(b(z0))), B(b(z0)), B(z0)) by A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) ---------------------------------------- (20) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0))) ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_a(z0))) -> c(B(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) ENCARG(cons_a(cons_b(z0))) -> c1(A(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1, ENCARG_1, B_1 Compound Symbols: c5_1, c7_1, c_2, c1_2, c4_3, c4_2, c6_3 ---------------------------------------- (21) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_B(z0) -> c7(B(encArg(z0))) by ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (22) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_a(z0))) -> c(B(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) ENCARG(cons_a(cons_b(z0))) -> c1(A(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCODE_A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1 Compound Symbols: c5_1, c7_1, c_2, c1_2, c4_3, c4_2, c6_3 ---------------------------------------- (23) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_A(z0) -> c7(A(encArg(z0))) by ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (24) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_a(z0))) -> c(B(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) ENCARG(cons_a(cons_b(z0))) -> c1(A(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c1_2, c4_3, c4_2, c6_3, c7_1 ---------------------------------------- (25) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_b(cons_a(z0))) -> c(B(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) by ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ---------------------------------------- (26) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_b(z0))) -> c1(A(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c1_2, c4_3, c4_2, c6_3, c7_1 ---------------------------------------- (27) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_a(cons_b(z0))) -> c1(A(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) by ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ---------------------------------------- (28) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c1_2, c4_3, c4_2, c6_3, c7_1 ---------------------------------------- (29) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_a(cons_a(z0))) -> c1(A(a(encArg(z0))), ENCARG(cons_a(z0))) by ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ---------------------------------------- (30) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c4_3, c4_2, c6_3, c7_1, c1_2 ---------------------------------------- (31) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(a(a(b(z0)))), A(a(b(z0)))) by B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) ---------------------------------------- (32) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c4_2, c6_3, c7_1, c1_2, c4_3 ---------------------------------------- (33) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace A(b(a(z0))) -> c6(A(a(a(a(z0)))), B(b(z0)), B(z0)) by A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) ---------------------------------------- (34) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c4_2, c6_3, c7_1, c1_2, c4_3, c6_1 ---------------------------------------- (35) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) by A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(a(a(a(z0)))), B(b(z0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) ---------------------------------------- (36) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(a(a(a(z0)))), B(b(z0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(a(a(a(z0)))), B(b(z0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c4_2, c7_1, c1_2, c4_3, c6_3, c6_1 ---------------------------------------- (37) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (38) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c4_2, c7_1, c1_2, c4_3, c6_3, c6_1, c6_2 ---------------------------------------- (39) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_B(cons_a(z0)) -> c7(B(a(encArg(z0)))) by ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ---------------------------------------- (40) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c4_2, c7_1, c1_2, c4_3, c6_3, c6_1, c6_2 ---------------------------------------- (41) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_A(cons_b(z0)) -> c7(A(b(encArg(z0)))) by ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ---------------------------------------- (42) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c4_2, c7_1, c1_2, c4_3, c6_3, c6_1, c6_2 ---------------------------------------- (43) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_A(cons_a(z0)) -> c7(A(a(encArg(z0)))) by ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ---------------------------------------- (44) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) S tuples: A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: A_1, ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c5_1, c_2, c4_2, c7_1, c1_2, c4_3, c6_3, c6_1, c6_2 ---------------------------------------- (45) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A(a(b(z0))) -> c5(B(z0)) by A(a(b(b(y0)))) -> c5(B(b(y0))) A(a(b(b(a(b(y0)))))) -> c5(B(b(a(b(y0))))) ---------------------------------------- (46) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) A(a(b(b(y0)))) -> c5(B(b(y0))) A(a(b(b(a(b(y0)))))) -> c5(B(b(a(b(y0))))) S tuples: B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(a(b(b(y0)))) -> c5(B(b(y0))) A(a(b(b(a(b(y0)))))) -> c5(B(b(a(b(y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c_2, c4_2, c7_1, c1_2, c4_3, c6_3, c6_1, c6_2, c5_1 ---------------------------------------- (47) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: A(a(b(b(y0)))) -> c5(B(b(y0))) A(a(b(b(a(b(y0)))))) -> c5(B(b(a(b(y0))))) ---------------------------------------- (48) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) S tuples: B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(a(b(z0))), A(b(z0)), A(a(b(z0)))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(a(b(z0))), B(b(b(z0))), B(b(z0))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c_2, c4_2, c7_1, c1_2, c4_3, c6_3, c6_1, c6_2 ---------------------------------------- (49) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 3 trailing tuple parts ---------------------------------------- (50) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) S tuples: B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, B_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c_2, c4_2, c7_1, c1_2, c6_1, c6_2, c4_1 ---------------------------------------- (51) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace B(b(x0)) -> c4(A(a(x0)), A(x0)) by B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0)), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) ---------------------------------------- (52) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0)), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0)), A(a(b(z0)))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c_2, c7_1, c1_2, c6_1, c6_2, c4_1, c4_2 ---------------------------------------- (53) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (54) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c_2, c7_1, c1_2, c6_1, c6_2, c4_1 ---------------------------------------- (55) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) by B(b(a(b(a(y0))))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(a(b(a(b(y0)))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) ---------------------------------------- (56) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) B(b(a(b(a(y0))))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(a(b(a(b(y0)))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) B(b(a(b(a(y0))))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(a(b(a(b(y0)))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c_2, c7_1, c1_2, c6_1, c6_2, c4_1 ---------------------------------------- (57) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: B(b(a(b(a(y0))))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(a(b(a(b(y0)))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) ---------------------------------------- (58) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(x0)) -> c4(A(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c_2, c7_1, c1_2, c6_1, c6_2, c4_1 ---------------------------------------- (59) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace B(b(x0)) -> c4(A(x0)) by B(b(b(a(y0)))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(b(a(b(y0))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) ---------------------------------------- (60) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) B(b(b(a(y0)))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(b(a(b(y0))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(b(a(y0)))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(b(a(b(y0))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c_2, c7_1, c1_2, c6_1, c6_2, c4_1 ---------------------------------------- (61) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: B(b(b(a(y0)))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(b(a(b(y0))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) ---------------------------------------- (62) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_B_1, A_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c_2, c7_1, c1_2, c6_1, c6_2, c4_1 ---------------------------------------- (63) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_b(cons_b(z0))) -> c(B(b(encArg(z0))), ENCARG(cons_b(z0))) by ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(B(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(B(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ---------------------------------------- (64) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(B(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(B(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCODE_B_1, ENCARG_1, A_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c7_1, c_2, c1_2, c6_1, c6_2, c4_1 ---------------------------------------- (65) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_B(cons_b(z0)) -> c7(B(b(encArg(z0)))) by ENCODE_B(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(B(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(B(b(a(encArg(z0))))) ---------------------------------------- (66) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(B(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(B(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCODE_B(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(B(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(B(b(a(encArg(z0))))) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c6_1, c6_2, c7_1, c4_1 ---------------------------------------- (67) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace B(b(a(b(z0)))) -> c4(A(b(z0))) by B(b(a(b(a(y0))))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(a(b(a(b(y0)))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) ---------------------------------------- (68) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(B(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(B(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCODE_B(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(B(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(B(b(a(encArg(z0))))) B(b(a(b(a(y0))))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(a(b(a(b(y0)))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, ENCODE_B_1, ENCODE_A_1, B_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c6_1, c6_2, c7_1, c4_1 ---------------------------------------- (69) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: B(b(a(b(a(y0))))) -> c4(A(b(a(y0)))) B(b(a(b(a(b(y0)))))) -> c4(A(b(a(b(y0))))) Removed 4 trailing nodes: ENCODE_B(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(B(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(B(a(a(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(B(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_B(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(B(a(b(encArg(z0))))) ---------------------------------------- (70) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(B(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(B(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(B(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(B(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) S tuples: A(b(a(x0))) -> c6(B(b(x0))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(A(b(a(a(a(z0))))), B(b(z0))) A(b(a(b(z0)))) -> c6(B(b(b(z0))), B(b(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c6_1, c6_2, c7_1 ---------------------------------------- (71) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 8 trailing tuple parts ---------------------------------------- (72) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6 A(b(a(b(z0)))) -> c6 ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) S tuples: A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) A(b(a(x0))) -> c6 A(b(a(b(z0)))) -> c6 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c1_2, c6_1, c7_1, c_1, c6 ---------------------------------------- (73) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. A(b(a(x0))) -> c6 A(b(a(b(z0)))) -> c6 We considered the (Usable) Rules:none And the Tuples: ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6 A(b(a(b(z0)))) -> c6 ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(A(x_1)) = [1] POL(ENCARG(x_1)) = x_1 POL(ENCODE_A(x_1)) = [1] POL(a(x_1)) = 0 POL(b(x_1)) = 0 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c6) = 0 POL(c6(x_1)) = x_1 POL(c7(x_1)) = x_1 POL(cons_a(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_b(x_1)) = [1] + x_1 POL(encArg(x_1)) = [1] ---------------------------------------- (74) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6 A(b(a(b(z0)))) -> c6 ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) S tuples: A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) K tuples: A(b(a(x0))) -> c6 A(b(a(b(z0)))) -> c6 Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c1_2, c6_1, c7_1, c_1, c6 ---------------------------------------- (75) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) by ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) ---------------------------------------- (76) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(x0))) -> c6 A(b(a(b(z0)))) -> c6 ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) S tuples: A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) K tuples: A(b(a(x0))) -> c6 A(b(a(b(z0)))) -> c6 Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c1_2, c6_1, c7_1, c_1, c6 ---------------------------------------- (77) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: A(b(a(b(z0)))) -> c6 A(b(a(x0))) -> c6 ---------------------------------------- (78) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) S tuples: A(b(a(b(x0)))) -> c6(A(b(a(a(a(x0)))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, A_1, ENCODE_A_1 Compound Symbols: c1_2, c6_1, c7_1, c_1 ---------------------------------------- (79) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (80) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) A(b(a(b(x0)))) -> c6 S tuples: A(b(a(b(x0)))) -> c6 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_A_1, A_1 Compound Symbols: c1_2, c7_1, c_1, c6 ---------------------------------------- (81) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. A(b(a(b(x0)))) -> c6 We considered the (Usable) Rules:none And the Tuples: ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) A(b(a(b(x0)))) -> c6 The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(A(x_1)) = [1] POL(ENCARG(x_1)) = x_1 POL(ENCODE_A(x_1)) = [1] POL(a(x_1)) = 0 POL(b(x_1)) = 0 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c6) = 0 POL(c7(x_1)) = x_1 POL(cons_a(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_b(x_1)) = [1] + x_1 POL(encArg(x_1)) = [1] ---------------------------------------- (82) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_b(z0)) -> b(encArg(z0)) encArg(cons_a(z0)) -> a(encArg(z0)) b(b(z0)) -> a(a(a(z0))) a(a(b(z0))) -> b(z0) a(b(a(z0))) -> a(b(b(z0))) Tuples: ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(z0)))) -> c1(A(b(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(z0)))) -> c1(A(b(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_b(z0)))) -> c1(A(a(b(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_a(cons_a(cons_a(z0)))) -> c1(A(a(a(encArg(z0)))), ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCODE_A(cons_b(cons_b(z0))) -> c7(A(b(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_b(cons_a(z0))) -> c7(A(b(a(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_b(z0))) -> c7(A(a(b(encArg(z0))))) ENCODE_A(cons_a(cons_a(z0))) -> c7(A(a(a(encArg(z0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_b(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_b(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_b(cons_a(z0)))) -> c(ENCARG(cons_b(cons_a(z0)))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_b(y0))))) ENCARG(cons_b(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) -> c(ENCARG(cons_a(cons_b(cons_a(y0))))) A(b(a(b(x0)))) -> c6 S tuples:none K tuples: A(b(a(b(x0)))) -> c6 Defined Rule Symbols: encArg_1, b_1, a_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_A_1, A_1 Compound Symbols: c1_2, c7_1, c_1, c6 ---------------------------------------- (83) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The set S is empty ---------------------------------------- (84) BOUNDS(1, 1)