/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 217 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 213 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 206 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: isList(nil) -> tt isList(Cons(x, xs)) -> isList(xs) downfrom(0) -> nil downfrom(s(x)) -> Cons(s(x), downfrom(x)) f(x) -> cond(isList(downfrom(x)), s(x)) cond(tt, x) -> f(x) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(Cons(x_1, x_2)) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(cons_downfrom(x_1)) -> downfrom(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_tt -> tt encode_Cons(x_1, x_2) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_downfrom(x_1) -> downfrom(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: isList(nil) -> tt isList(Cons(x, xs)) -> isList(xs) downfrom(0) -> nil downfrom(s(x)) -> Cons(s(x), downfrom(x)) f(x) -> cond(isList(downfrom(x)), s(x)) cond(tt, x) -> f(x) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(Cons(x_1, x_2)) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(cons_downfrom(x_1)) -> downfrom(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_tt -> tt encode_Cons(x_1, x_2) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_downfrom(x_1) -> downfrom(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: isList(nil) -> tt isList(Cons(x, xs)) -> isList(xs) downfrom(0) -> nil downfrom(s(x)) -> Cons(s(x), downfrom(x)) f(x) -> cond(isList(downfrom(x)), s(x)) cond(tt, x) -> f(x) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(Cons(x_1, x_2)) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(cons_downfrom(x_1)) -> downfrom(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_tt -> tt encode_Cons(x_1, x_2) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_downfrom(x_1) -> downfrom(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: isList(nil) -> tt isList(Cons(x, xs)) -> isList(xs) downfrom(0') -> nil downfrom(s(x)) -> Cons(s(x), downfrom(x)) f(x) -> cond(isList(downfrom(x)), s(x)) cond(tt, x) -> f(x) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(Cons(x_1, x_2)) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(cons_downfrom(x_1)) -> downfrom(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_tt -> tt encode_Cons(x_1, x_2) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_downfrom(x_1) -> downfrom(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: isList(nil) -> tt isList(Cons(x, xs)) -> isList(xs) downfrom(0') -> nil downfrom(s(x)) -> Cons(s(x), downfrom(x)) f(x) -> cond(isList(downfrom(x)), s(x)) cond(tt, x) -> f(x) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(Cons(x_1, x_2)) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(cons_downfrom(x_1)) -> downfrom(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_tt -> tt encode_Cons(x_1, x_2) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_downfrom(x_1) -> downfrom(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond nil :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond tt :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond Cons :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond 0' :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond s :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encArg :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_nil :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_tt :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_Cons :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_0 :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_s :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond hole_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond1_3 :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3 :: Nat -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: isList, downfrom, f, cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: isList < f isList < encArg downfrom < f downfrom < encArg f = cond f < encArg cond < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: isList(nil) -> tt isList(Cons(x, xs)) -> isList(xs) downfrom(0') -> nil downfrom(s(x)) -> Cons(s(x), downfrom(x)) f(x) -> cond(isList(downfrom(x)), s(x)) cond(tt, x) -> f(x) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(Cons(x_1, x_2)) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(cons_downfrom(x_1)) -> downfrom(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_tt -> tt encode_Cons(x_1, x_2) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_downfrom(x_1) -> downfrom(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond nil :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond tt :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond Cons :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond 0' :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond s :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encArg :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_nil :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_tt :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_Cons :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_0 :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_s :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond hole_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond1_3 :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3 :: Nat -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond Generator Equations: gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(0) <=> nil gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(+(x, 1)) <=> Cons(nil, gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isList, downfrom, f, cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: isList < f isList < encArg downfrom < f downfrom < encArg f = cond f < encArg cond < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: isList(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(n4_3)) -> tt, rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: isList(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(0)) ->_R^Omega(1) tt Induction Step: isList(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) isList(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(n4_3)) ->_IH tt We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: isList(nil) -> tt isList(Cons(x, xs)) -> isList(xs) downfrom(0') -> nil downfrom(s(x)) -> Cons(s(x), downfrom(x)) f(x) -> cond(isList(downfrom(x)), s(x)) cond(tt, x) -> f(x) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(Cons(x_1, x_2)) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(cons_downfrom(x_1)) -> downfrom(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_tt -> tt encode_Cons(x_1, x_2) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_downfrom(x_1) -> downfrom(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond nil :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond tt :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond Cons :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond 0' :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond s :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encArg :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_nil :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_tt :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_Cons :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_0 :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_s :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond hole_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond1_3 :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3 :: Nat -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond Generator Equations: gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(0) <=> nil gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(+(x, 1)) <=> Cons(nil, gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isList, downfrom, f, cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: isList < f isList < encArg downfrom < f downfrom < encArg f = cond f < encArg cond < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: isList(nil) -> tt isList(Cons(x, xs)) -> isList(xs) downfrom(0') -> nil downfrom(s(x)) -> Cons(s(x), downfrom(x)) f(x) -> cond(isList(downfrom(x)), s(x)) cond(tt, x) -> f(x) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(Cons(x_1, x_2)) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(cons_downfrom(x_1)) -> downfrom(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_tt -> tt encode_Cons(x_1, x_2) -> Cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_downfrom(x_1) -> downfrom(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond nil :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond tt :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond Cons :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond 0' :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond s :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encArg :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond cons_cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_isList :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_nil :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_tt :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_Cons :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_downfrom :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_0 :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_s :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_f :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond encode_cond :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond hole_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond1_3 :: nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3 :: Nat -> nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond Lemmas: isList(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(n4_3)) -> tt, rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(0) <=> nil gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(+(x, 1)) <=> Cons(nil, gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: downfrom, f, cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: downfrom < f downfrom < encArg f = cond f < encArg cond < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(n296_3)) -> gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(n296_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(+(n296_3, 1))) ->_R^Omega(0) Cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(n296_3))) ->_R^Omega(0) Cons(nil, encArg(gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(n296_3))) ->_IH Cons(nil, gen_nil:tt:Cons:0':s:cons_isList:cons_downfrom:cons_f:cons_cond2_3(c297_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)