/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 45 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 2 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 394 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 123 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 108 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 164 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encArg :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0 :: Nat -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: t, c, n, o, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c < t n < t t < encArg n < c o < c c < encArg n < encArg o < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encArg :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0 :: Nat -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c Generator Equations: gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(0) <=> hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(x, 1)) <=> f(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: n, t, c, o, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c < t n < t t < encArg n < c o < c c < encArg n < encArg o < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: n(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Induction Base: n(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, 0))) Induction Step: n(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, +(n4_0, 1)))) ->_R^Omega(1) f(n(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n4_0)))) ->_IH f(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encArg :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0 :: Nat -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c Generator Equations: gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(0) <=> hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(x, 1)) <=> f(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: n, t, c, o, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c < t n < t t < encArg n < c o < c c < encArg n < encArg o < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encArg :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0 :: Nat -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c Lemmas: n(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Generator Equations: gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(0) <=> hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(x, 1)) <=> f(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: o, t, c, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c < t t < encArg o < c c < encArg o < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: o(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n399_0))) -> *3_0, rt in Omega(n399_0) Induction Base: o(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, 0))) Induction Step: o(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, +(n399_0, 1)))) ->_R^Omega(1) f(o(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n399_0)))) ->_IH f(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encArg :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0 :: Nat -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c Lemmas: n(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) o(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n399_0))) -> *3_0, rt in Omega(n399_0) Generator Equations: gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(0) <=> hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(x, 1)) <=> f(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: c, t, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c < t t < encArg c < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: c(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n895_0))) -> *3_0, rt in Omega(n895_0) Induction Base: c(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, 0))) Induction Step: c(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, +(n895_0, 1)))) ->_R^Omega(1) f(c(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n895_0)))) ->_IH f(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: t(f(x1)) -> t(c(n(x1))) n(f(x1)) -> f(n(x1)) o(f(x1)) -> f(o(x1)) n(s(x1)) -> f(s(x1)) o(s(x1)) -> f(s(x1)) c(f(x1)) -> f(c(x1)) c(n(x1)) -> n(c(x1)) c(o(x1)) -> o(c(x1)) c(o(x1)) -> o(x1) encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_t(x_1)) -> t(encArg(x_1)) encArg(cons_n(x_1)) -> n(encArg(x_1)) encArg(cons_o(x_1)) -> o(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encode_t(x_1) -> t(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_n(x_1) -> n(encArg(x_1)) encode_o(x_1) -> o(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encArg :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c cons_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_t :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_f :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_c :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_n :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_o :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c encode_s :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 :: f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0 :: Nat -> f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c Lemmas: n(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) o(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n399_0))) -> *3_0, rt in Omega(n399_0) c(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n895_0))) -> *3_0, rt in Omega(n895_0) Generator Equations: gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(0) <=> hole_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c1_0 gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(x, 1)) <=> f(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: t, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: t < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n2932_0))) -> *3_0, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, +(n2932_0, 1)))) ->_R^Omega(0) f(encArg(gen_f:s:cons_t:cons_n:cons_o:cons_c2_0(+(1, n2932_0)))) ->_IH f(*3_0) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)