/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 49 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 10 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 373 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 100 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 95 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 381 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Types: r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encArg :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2 :: Nat -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: r0, 0, 1, m, r1, b, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 0 < r0 1 < r0 m < r0 r0 = r1 r0 = b r0 < encArg 0 < r1 0 < b 0 < encArg 1 < r1 1 < b 1 < encArg m < r1 m < encArg r1 = b r1 < encArg b < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Types: r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encArg :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2 :: Nat -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b Generator Equations: gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(0) <=> hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(x, 1)) <=> qr(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(x)) The following defined symbols remain to be analysed: 0, r0, 1, m, r1, b, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 0 < r0 1 < r0 m < r0 r0 = r1 r0 = b r0 < encArg 0 < r1 0 < b 0 < encArg 1 < r1 1 < b 1 < encArg m < r1 m < encArg r1 = b r1 < encArg b < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: 0(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n4_2))) -> *3_2, rt in Omega(n4_2) Induction Base: 0(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, 0))) Induction Step: 0(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, +(n4_2, 1)))) ->_R^Omega(1) qr(0(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n4_2)))) ->_IH qr(*3_2) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Types: r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encArg :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2 :: Nat -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b Generator Equations: gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(0) <=> hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(x, 1)) <=> qr(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(x)) The following defined symbols remain to be analysed: 0, r0, 1, m, r1, b, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 0 < r0 1 < r0 m < r0 r0 = r1 r0 = b r0 < encArg 0 < r1 0 < b 0 < encArg 1 < r1 1 < b 1 < encArg m < r1 m < encArg r1 = b r1 < encArg b < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Types: r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encArg :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2 :: Nat -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b Lemmas: 0(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n4_2))) -> *3_2, rt in Omega(n4_2) Generator Equations: gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(0) <=> hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(x, 1)) <=> qr(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(x)) The following defined symbols remain to be analysed: 1, r0, m, r1, b, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 1 < r0 m < r0 r0 = r1 r0 = b r0 < encArg 1 < r1 1 < b 1 < encArg m < r1 m < encArg r1 = b r1 < encArg b < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: 1(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n459_2))) -> *3_2, rt in Omega(n459_2) Induction Base: 1(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, 0))) Induction Step: 1(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, +(n459_2, 1)))) ->_R^Omega(1) qr(1(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n459_2)))) ->_IH qr(*3_2) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Types: r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encArg :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2 :: Nat -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b Lemmas: 0(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n4_2))) -> *3_2, rt in Omega(n4_2) 1(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n459_2))) -> *3_2, rt in Omega(n459_2) Generator Equations: gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(0) <=> hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(x, 1)) <=> qr(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(x)) The following defined symbols remain to be analysed: m, r0, r1, b, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: m < r0 r0 = r1 r0 = b r0 < encArg m < r1 m < encArg r1 = b r1 < encArg b < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: m(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n1015_2))) -> *3_2, rt in Omega(n1015_2) Induction Base: m(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, 0))) Induction Step: m(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, +(n1015_2, 1)))) ->_R^Omega(1) ql(m(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n1015_2)))) ->_IH ql(*3_2) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: r0(0(x1)) -> 0(r0(x1)) r0(1(x1)) -> 1(r0(x1)) r0(m(x1)) -> m(r0(x1)) r1(0(x1)) -> 0(r1(x1)) r1(1(x1)) -> 1(r1(x1)) r1(m(x1)) -> m(r1(x1)) r0(b(x1)) -> qr(0(b(x1))) r1(b(x1)) -> qr(1(b(x1))) 0(qr(x1)) -> qr(0(x1)) 1(qr(x1)) -> qr(1(x1)) m(qr(x1)) -> ql(m(x1)) 0(ql(x1)) -> ql(0(x1)) 1(ql(x1)) -> ql(1(x1)) b(ql(0(x1))) -> 0(b(r0(x1))) b(ql(1(x1))) -> 1(b(r1(x1))) encArg(qr(x_1)) -> qr(encArg(x_1)) encArg(ql(x_1)) -> ql(encArg(x_1)) encArg(cons_r0(x_1)) -> r0(encArg(x_1)) encArg(cons_r1(x_1)) -> r1(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(cons_m(x_1)) -> m(encArg(x_1)) encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encode_r0(x_1) -> r0(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_m(x_1) -> m(encArg(x_1)) encode_r1(x_1) -> r1(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_qr(x_1) -> qr(encArg(x_1)) encode_ql(x_1) -> ql(encArg(x_1)) Types: r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b 1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encArg :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b cons_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_0 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_m :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_r1 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_b :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_qr :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b encode_ql :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 :: qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2 :: Nat -> qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b Lemmas: 0(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n4_2))) -> *3_2, rt in Omega(n4_2) 1(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n459_2))) -> *3_2, rt in Omega(n459_2) m(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n1015_2))) -> *3_2, rt in Omega(n1015_2) Generator Equations: gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(0) <=> hole_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b1_2 gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(x, 1)) <=> qr(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(x)) The following defined symbols remain to be analysed: b, r0, r1, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: r0 = r1 r0 = b r0 < encArg r1 = b r1 < encArg b < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n1608_2))) -> *3_2, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, +(n1608_2, 1)))) ->_R^Omega(0) qr(encArg(gen_qr:ql:cons_r0:cons_r1:cons_0:cons_1:cons_m:cons_b2_2(+(1, n1608_2)))) ->_IH qr(*3_2) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)