/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 353 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1108 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 3264 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: din(der(plus(X, Y))) -> u21(din(der(X)), X, Y) u21(dout(DX), X, Y) -> u22(din(der(Y)), X, Y, DX) u22(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(DX, DY)) din(der(times(X, Y))) -> u31(din(der(X)), X, Y) u31(dout(DX), X, Y) -> u32(din(der(Y)), X, Y, DX) u32(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(times(X, DY), times(Y, DX))) din(der(der(X))) -> u41(din(der(X)), X) u41(dout(DX), X) -> u42(din(der(DX)), X, DX) u42(dout(DDX), X, DX) -> dout(DDX) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(der(x_1)) -> der(encArg(x_1)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dout(x_1)) -> dout(encArg(x_1)) encArg(times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_din(x_1)) -> din(encArg(x_1)) encArg(cons_u21(x_1, x_2, x_3)) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u22(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u31(x_1, x_2, x_3)) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u32(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u41(x_1, x_2)) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_u42(x_1, x_2, x_3)) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_din(x_1) -> din(encArg(x_1)) encode_der(x_1) -> der(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u21(x_1, x_2, x_3) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_dout(x_1) -> dout(encArg(x_1)) encode_u22(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u31(x_1, x_2, x_3) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_u32(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_u41(x_1, x_2) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u42(x_1, x_2, x_3) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: din(der(plus(X, Y))) -> u21(din(der(X)), X, Y) u21(dout(DX), X, Y) -> u22(din(der(Y)), X, Y, DX) u22(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(DX, DY)) din(der(times(X, Y))) -> u31(din(der(X)), X, Y) u31(dout(DX), X, Y) -> u32(din(der(Y)), X, Y, DX) u32(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(times(X, DY), times(Y, DX))) din(der(der(X))) -> u41(din(der(X)), X) u41(dout(DX), X) -> u42(din(der(DX)), X, DX) u42(dout(DDX), X, DX) -> dout(DDX) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(der(x_1)) -> der(encArg(x_1)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dout(x_1)) -> dout(encArg(x_1)) encArg(times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_din(x_1)) -> din(encArg(x_1)) encArg(cons_u21(x_1, x_2, x_3)) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u22(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u31(x_1, x_2, x_3)) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u32(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u41(x_1, x_2)) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_u42(x_1, x_2, x_3)) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_din(x_1) -> din(encArg(x_1)) encode_der(x_1) -> der(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u21(x_1, x_2, x_3) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_dout(x_1) -> dout(encArg(x_1)) encode_u22(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u31(x_1, x_2, x_3) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_u32(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_u41(x_1, x_2) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u42(x_1, x_2, x_3) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: din(der(plus(X, Y))) -> u21(din(der(X)), X, Y) u21(dout(DX), X, Y) -> u22(din(der(Y)), X, Y, DX) u22(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(DX, DY)) din(der(times(X, Y))) -> u31(din(der(X)), X, Y) u31(dout(DX), X, Y) -> u32(din(der(Y)), X, Y, DX) u32(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(times(X, DY), times(Y, DX))) din(der(der(X))) -> u41(din(der(X)), X) u41(dout(DX), X) -> u42(din(der(DX)), X, DX) u42(dout(DDX), X, DX) -> dout(DDX) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(der(x_1)) -> der(encArg(x_1)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dout(x_1)) -> dout(encArg(x_1)) encArg(times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_din(x_1)) -> din(encArg(x_1)) encArg(cons_u21(x_1, x_2, x_3)) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u22(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u31(x_1, x_2, x_3)) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u32(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u41(x_1, x_2)) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_u42(x_1, x_2, x_3)) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_din(x_1) -> din(encArg(x_1)) encode_der(x_1) -> der(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u21(x_1, x_2, x_3) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_dout(x_1) -> dout(encArg(x_1)) encode_u22(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u31(x_1, x_2, x_3) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_u32(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_u41(x_1, x_2) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u42(x_1, x_2, x_3) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: din(der(plus(X, Y))) -> u21(din(der(X)), X, Y) u21(dout(DX), X, Y) -> u22(din(der(Y)), X, Y, DX) u22(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(DX, DY)) din(der(times(X, Y))) -> u31(din(der(X)), X, Y) u31(dout(DX), X, Y) -> u32(din(der(Y)), X, Y, DX) u32(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(times(X, DY), times(Y, DX))) din(der(der(X))) -> u41(din(der(X)), X) u41(dout(DX), X) -> u42(din(der(DX)), X, DX) u42(dout(DDX), X, DX) -> dout(DDX) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(der(x_1)) -> der(encArg(x_1)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dout(x_1)) -> dout(encArg(x_1)) encArg(times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_din(x_1)) -> din(encArg(x_1)) encArg(cons_u21(x_1, x_2, x_3)) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u22(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u31(x_1, x_2, x_3)) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u32(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u41(x_1, x_2)) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_u42(x_1, x_2, x_3)) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_din(x_1) -> din(encArg(x_1)) encode_der(x_1) -> der(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u21(x_1, x_2, x_3) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_dout(x_1) -> dout(encArg(x_1)) encode_u22(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u31(x_1, x_2, x_3) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_u32(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_u41(x_1, x_2) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u42(x_1, x_2, x_3) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: din(der(plus(X, Y))) -> u21(din(der(X)), X, Y) u21(dout(DX), X, Y) -> u22(din(der(Y)), X, Y, DX) u22(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(DX, DY)) din(der(times(X, Y))) -> u31(din(der(X)), X, Y) u31(dout(DX), X, Y) -> u32(din(der(Y)), X, Y, DX) u32(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(times(X, DY), times(Y, DX))) din(der(der(X))) -> u41(din(der(X)), X) u41(dout(DX), X) -> u42(din(der(DX)), X, DX) u42(dout(DDX), X, DX) -> dout(DDX) encArg(der(x_1)) -> der(encArg(x_1)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dout(x_1)) -> dout(encArg(x_1)) encArg(times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_din(x_1)) -> din(encArg(x_1)) encArg(cons_u21(x_1, x_2, x_3)) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u22(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u31(x_1, x_2, x_3)) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u32(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u41(x_1, x_2)) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_u42(x_1, x_2, x_3)) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_din(x_1) -> din(encArg(x_1)) encode_der(x_1) -> der(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u21(x_1, x_2, x_3) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_dout(x_1) -> dout(encArg(x_1)) encode_u22(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u31(x_1, x_2, x_3) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_u32(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_u41(x_1, x_2) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u42(x_1, x_2, x_3) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 der :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 plus :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 dout :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 times :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encArg :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_der :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_plus :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_dout :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_times :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 hole_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u421_0 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0 :: Nat -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: din, u21, u31, u41, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: din = u21 din = u31 din = u41 din < encArg u21 = u31 u21 = u41 u21 < encArg u31 = u41 u31 < encArg u41 < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: din(der(plus(X, Y))) -> u21(din(der(X)), X, Y) u21(dout(DX), X, Y) -> u22(din(der(Y)), X, Y, DX) u22(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(DX, DY)) din(der(times(X, Y))) -> u31(din(der(X)), X, Y) u31(dout(DX), X, Y) -> u32(din(der(Y)), X, Y, DX) u32(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(times(X, DY), times(Y, DX))) din(der(der(X))) -> u41(din(der(X)), X) u41(dout(DX), X) -> u42(din(der(DX)), X, DX) u42(dout(DDX), X, DX) -> dout(DDX) encArg(der(x_1)) -> der(encArg(x_1)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dout(x_1)) -> dout(encArg(x_1)) encArg(times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_din(x_1)) -> din(encArg(x_1)) encArg(cons_u21(x_1, x_2, x_3)) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u22(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u31(x_1, x_2, x_3)) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u32(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u41(x_1, x_2)) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_u42(x_1, x_2, x_3)) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_din(x_1) -> din(encArg(x_1)) encode_der(x_1) -> der(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u21(x_1, x_2, x_3) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_dout(x_1) -> dout(encArg(x_1)) encode_u22(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u31(x_1, x_2, x_3) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_u32(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_u41(x_1, x_2) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u42(x_1, x_2, x_3) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 der :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 plus :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 dout :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 times :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encArg :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_der :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_plus :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_dout :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_times :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 hole_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u421_0 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0 :: Nat -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 Generator Equations: gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(0) <=> hole_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u421_0 gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(x, 1)) <=> der(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: u21, din, u31, u41, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: din = u21 din = u31 din = u41 din < encArg u21 = u31 u21 = u41 u21 < encArg u31 = u41 u31 < encArg u41 < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: din(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(2, n10_0))) -> *3_0, rt in Omega(n10_0) Induction Base: din(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(2, 0))) Induction Step: din(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(2, +(n10_0, 1)))) ->_R^Omega(1) u41(din(der(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(1, n10_0)))), gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(1, n10_0))) ->_IH u41(*3_0, gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(1, n10_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: din(der(plus(X, Y))) -> u21(din(der(X)), X, Y) u21(dout(DX), X, Y) -> u22(din(der(Y)), X, Y, DX) u22(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(DX, DY)) din(der(times(X, Y))) -> u31(din(der(X)), X, Y) u31(dout(DX), X, Y) -> u32(din(der(Y)), X, Y, DX) u32(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(times(X, DY), times(Y, DX))) din(der(der(X))) -> u41(din(der(X)), X) u41(dout(DX), X) -> u42(din(der(DX)), X, DX) u42(dout(DDX), X, DX) -> dout(DDX) encArg(der(x_1)) -> der(encArg(x_1)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dout(x_1)) -> dout(encArg(x_1)) encArg(times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_din(x_1)) -> din(encArg(x_1)) encArg(cons_u21(x_1, x_2, x_3)) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u22(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u31(x_1, x_2, x_3)) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u32(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u41(x_1, x_2)) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_u42(x_1, x_2, x_3)) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_din(x_1) -> din(encArg(x_1)) encode_der(x_1) -> der(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u21(x_1, x_2, x_3) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_dout(x_1) -> dout(encArg(x_1)) encode_u22(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u31(x_1, x_2, x_3) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_u32(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_u41(x_1, x_2) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u42(x_1, x_2, x_3) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 der :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 plus :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 dout :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 times :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encArg :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_der :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_plus :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_dout :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_times :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 hole_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u421_0 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0 :: Nat -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 Generator Equations: gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(0) <=> hole_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u421_0 gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(x, 1)) <=> der(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: din, u31, u41, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: din = u21 din = u31 din = u41 din < encArg u21 = u31 u21 = u41 u21 < encArg u31 = u41 u31 < encArg u41 < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: din(der(plus(X, Y))) -> u21(din(der(X)), X, Y) u21(dout(DX), X, Y) -> u22(din(der(Y)), X, Y, DX) u22(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(DX, DY)) din(der(times(X, Y))) -> u31(din(der(X)), X, Y) u31(dout(DX), X, Y) -> u32(din(der(Y)), X, Y, DX) u32(dout(DY), X, Y, DX) -> dout(plus(times(X, DY), times(Y, DX))) din(der(der(X))) -> u41(din(der(X)), X) u41(dout(DX), X) -> u42(din(der(DX)), X, DX) u42(dout(DDX), X, DX) -> dout(DDX) encArg(der(x_1)) -> der(encArg(x_1)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dout(x_1)) -> dout(encArg(x_1)) encArg(times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_din(x_1)) -> din(encArg(x_1)) encArg(cons_u21(x_1, x_2, x_3)) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u22(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u31(x_1, x_2, x_3)) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_u32(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_u41(x_1, x_2)) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_u42(x_1, x_2, x_3)) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_din(x_1) -> din(encArg(x_1)) encode_der(x_1) -> der(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u21(x_1, x_2, x_3) -> u21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_dout(x_1) -> dout(encArg(x_1)) encode_u22(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u31(x_1, x_2, x_3) -> u31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_u32(x_1, x_2, x_3, x_4) -> u32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_u41(x_1, x_2) -> u41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_u42(x_1, x_2, x_3) -> u42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 der :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 plus :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 dout :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 times :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encArg :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 cons_u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_din :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_der :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_plus :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u21 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_dout :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u22 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_times :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u31 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u32 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u41 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 encode_u42 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 hole_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u421_0 :: plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0 :: Nat -> plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u42 Lemmas: din(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(2, n10_0))) -> *3_0, rt in Omega(n10_0) Generator Equations: gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(0) <=> hole_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u421_0 gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(x, 1)) <=> der(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: u31, u21, u41, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: din = u21 din = u31 din = u41 din < encArg u21 = u31 u21 = u41 u21 < encArg u31 = u41 u31 < encArg u41 < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(1, n1162_0))) -> *3_0, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(1, +(n1162_0, 1)))) ->_R^Omega(0) der(encArg(gen_plus:der:dout:times:cons_din:cons_u21:cons_u22:cons_u31:cons_u32:cons_u41:cons_u422_0(+(1, n1162_0)))) ->_IH der(*3_0) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)