/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^3), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 368 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 302 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 63 ms]
        (18) BEST
            (19) proven lower bound
                (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (21) BOUNDS(n^2, INF)
            (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 599 ms]
                (24) typed CpxTrs
                (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 267 ms]
                (26) BEST
                    (27) proven lower bound
                        (28) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                        (29) BOUNDS(n^3, INF)
                    (30) typed CpxTrs
                        (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1045 ms]
                        (32) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   plus(0, x) -> x
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   p(s(x)) -> x
   p(0) -> 0
   minus(x, 0) -> x
   minus(0, x) -> 0
   minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
   isZero(0) -> true
   isZero(s(x)) -> false
   facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0)), y, times(y, x))
   if(true, x, y, z) -> y
   if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
   factorial(x) -> facIter(x, s(0))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
   encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   plus(0, x) -> x
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   p(s(x)) -> x
   p(0) -> 0
   minus(x, 0) -> x
   minus(0, x) -> 0
   minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
   isZero(0) -> true
   isZero(s(x)) -> false
   facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0)), y, times(y, x))
   if(true, x, y, z) -> y
   if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
   factorial(x) -> facIter(x, s(0))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
   encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   plus(0, x) -> x
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   p(s(x)) -> x
   p(0) -> 0
   minus(x, 0) -> x
   minus(0, x) -> 0
   minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
   isZero(0) -> true
   isZero(s(x)) -> false
   facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0)), y, times(y, x))
   if(true, x, y, z) -> y
   if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
   factorial(x) -> facIter(x, s(0))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
   encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   plus(0', x) -> x
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   times(0', y) -> 0'
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   p(s(x)) -> x
   p(0') -> 0'
   minus(x, 0') -> x
   minus(0', x) -> 0'
   minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
   isZero(0') -> true
   isZero(s(x)) -> false
   facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
   if(true, x, y, z) -> y
   if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
   factorial(x) -> facIter(x, s(0'))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
   encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
plus, times, minus, facIter, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < encArg
times < facIter
times < encArg
minus < facIter
minus < encArg
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times, minus, facIter, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < encArg
times < facIter
times < encArg
minus < facIter
minus < encArg
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n4_5, b)), rt in Omega(1 + n4_5)

Induction Base:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)

Induction Step:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n4_5, 1)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(b, c5_5)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times, minus, facIter, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < encArg
times < facIter
times < encArg
minus < facIter
minus < encArg
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n4_5, b)), rt in Omega(1 + n4_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
times, minus, facIter, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < facIter
times < encArg
minus < facIter
minus < encArg
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n1345_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(*(n1345_5, b)), rt in Omega(1 + b*n1345_5 + n1345_5)

Induction Base:
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n1345_5, 1)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) ->_R^Omega(1)
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n1345_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b))) ->_IH
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(*(c1346_5, b))) ->_L^Omega(1 + b)
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(b, *(n1345_5, b)))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(18)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(19)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n4_5, b)), rt in Omega(1 + n4_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
times, minus, facIter, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < facIter
times < encArg
minus < facIter
minus < encArg
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(21)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n4_5, b)), rt in Omega(1 + n4_5)
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n1345_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(*(n1345_5, b)), rt in Omega(1 + b*n1345_5 + n1345_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
minus, facIter, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < facIter
minus < encArg
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n3071_5))) -> *3_5, rt in Omega(n3071_5)

Induction Base:
minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, 0)))

Induction Step:
minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, +(n3071_5, 1)))) ->_R^Omega(1)
p(minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n3071_5)))) ->_IH
p(*3_5)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n4_5, b)), rt in Omega(1 + n4_5)
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n1345_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(*(n1345_5, b)), rt in Omega(1 + b*n1345_5 + n1345_5)
minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n3071_5))) -> *3_5, rt in Omega(n3071_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, facIter, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
facIter(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n11511_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> *3_5, rt in Omega(n11511_5 + n11511_5^2 + n11511_5^3)

Induction Base:
facIter(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b))

Induction Step:
facIter(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n11511_5, 1)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) ->_R^Omega(1)
if(isZero(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n11511_5, 1))), minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n11511_5, 1)), s(0')), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n11511_5, 1)))) ->_R^Omega(1)
if(false, minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n11511_5)), s(0')), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n11511_5)))) ->_R^Omega(1)
if(false, p(minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n11511_5)), 0')), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n11511_5)))) ->_R^Omega(1)
if(false, p(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n11511_5))), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n11511_5)))) ->_R^Omega(1)
if(false, gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n11511_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n11511_5)))) ->_L^Omega(3 + 3*n11511_5 + n11511_5^2)
if(false, gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n11511_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n11511_5)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(*(b, +(1, n11511_5)))) ->_R^Omega(1)
facIter(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n11511_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(b, *(b, n11511_5)))) ->_IH
*3_5

We have rt in Omega(n^3) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^3).
----------------------------------------

(26)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(27)
Obligation:
Proved the lower bound n^3 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n4_5, b)), rt in Omega(1 + n4_5)
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n1345_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(*(n1345_5, b)), rt in Omega(1 + b*n1345_5 + n1345_5)
minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n3071_5))) -> *3_5, rt in Omega(n3071_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
facIter, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(28) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(29)
BOUNDS(n^3, INF)

----------------------------------------

(30)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
p(s(x)) -> x
p(0') -> 0'
minus(x, 0') -> x
minus(0', x) -> 0'
minus(x, s(y)) -> p(minus(x, y))
isZero(0') -> true
isZero(s(x)) -> false
facIter(x, y) -> if(isZero(x), minus(x, s(0')), y, times(y, x))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> facIter(x, z)
factorial(x) -> facIter(x, s(0'))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1))
encArg(cons_facIter(x_1, x_2)) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_factorial(x_1)) -> factorial(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_facIter(x_1, x_2) -> facIter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_factorial(x_1) -> factorial(encArg(x_1))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
cons_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_p :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_minus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_isZero :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_facIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
encode_factorial :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial1_5 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n4_5, b)), rt in Omega(1 + n4_5)
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n1345_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(*(n1345_5, b)), rt in Omega(1 + b*n1345_5 + n1345_5)
minus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(1, n3071_5))) -> *3_5, rt in Omega(n3071_5)
facIter(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n11511_5), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(b)) -> *3_5, rt in Omega(n11511_5 + n11511_5^2 + n11511_5^3)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
facIter = if
facIter < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n18169_5)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n18169_5), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(+(n18169_5, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(n18169_5))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_p:cons_minus:cons_isZero:cons_facIter:cons_if:cons_factorial2_5(c18170_5))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(32)
BOUNDS(1, INF)