/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 304 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 433 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 189 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 137 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1312 ms]
        (22) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   ge(0, 0) -> true
   ge(s(x), 0) -> ge(x, 0)
   ge(0, s(0)) -> false
   ge(0, s(s(x))) -> ge(0, s(x))
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   minus(0, 0) -> 0
   minus(0, s(x)) -> minus(0, x)
   minus(s(x), 0) -> s(minus(x, 0))
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   plus(0, 0) -> 0
   plus(0, s(x)) -> s(plus(0, x))
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   div(x, y) -> ify(ge(y, s(0)), x, y)
   ify(false, x, y) -> divByZeroError
   ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
   if(false, x, y) -> 0
   if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
   div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_divByZeroError -> divByZeroError
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   ge(0, 0) -> true
   ge(s(x), 0) -> ge(x, 0)
   ge(0, s(0)) -> false
   ge(0, s(s(x))) -> ge(0, s(x))
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   minus(0, 0) -> 0
   minus(0, s(x)) -> minus(0, x)
   minus(s(x), 0) -> s(minus(x, 0))
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   plus(0, 0) -> 0
   plus(0, s(x)) -> s(plus(0, x))
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   div(x, y) -> ify(ge(y, s(0)), x, y)
   ify(false, x, y) -> divByZeroError
   ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
   if(false, x, y) -> 0
   if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
   div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_divByZeroError -> divByZeroError
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   ge(0, 0) -> true
   ge(s(x), 0) -> ge(x, 0)
   ge(0, s(0)) -> false
   ge(0, s(s(x))) -> ge(0, s(x))
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   minus(0, 0) -> 0
   minus(0, s(x)) -> minus(0, x)
   minus(s(x), 0) -> s(minus(x, 0))
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   plus(0, 0) -> 0
   plus(0, s(x)) -> s(plus(0, x))
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   div(x, y) -> ify(ge(y, s(0)), x, y)
   ify(false, x, y) -> divByZeroError
   ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
   if(false, x, y) -> 0
   if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
   div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_divByZeroError -> divByZeroError
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   ge(0', 0') -> true
   ge(s(x), 0') -> ge(x, 0')
   ge(0', s(0')) -> false
   ge(0', s(s(x))) -> ge(0', s(x))
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   minus(0', 0') -> 0'
   minus(0', s(x)) -> minus(0', x)
   minus(s(x), 0') -> s(minus(x, 0'))
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   plus(0', 0') -> 0'
   plus(0', s(x)) -> s(plus(0', x))
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   div(x, y) -> ify(ge(y, s(0')), x, y)
   ify(false, x, y) -> divByZeroError
   ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
   if(false, x, y) -> 0'
   if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
   div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_divByZeroError -> divByZeroError
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
ge(0', 0') -> true
ge(s(x), 0') -> ge(x, 0')
ge(0', s(0')) -> false
ge(0', s(s(x))) -> ge(0', s(x))
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
minus(0', 0') -> 0'
minus(0', s(x)) -> minus(0', x)
minus(s(x), 0') -> s(minus(x, 0'))
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
plus(0', 0') -> 0'
plus(0', s(x)) -> s(plus(0', x))
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
div(x, y) -> ify(ge(y, s(0')), x, y)
ify(false, x, y) -> divByZeroError
ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(false, x, y) -> 0'
if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_divByZeroError -> divByZeroError
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
0' :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encArg :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_0 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
hole_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if1_4 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
ge, minus, plus, div, ify, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < div
ge < ify
ge < encArg
minus < if
minus < encArg
plus < div
plus < encArg
div = ify
div = if
div < encArg
ify = if
ify < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
ge(0', 0') -> true
ge(s(x), 0') -> ge(x, 0')
ge(0', s(0')) -> false
ge(0', s(s(x))) -> ge(0', s(x))
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
minus(0', 0') -> 0'
minus(0', s(x)) -> minus(0', x)
minus(s(x), 0') -> s(minus(x, 0'))
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
plus(0', 0') -> 0'
plus(0', s(x)) -> s(plus(0', x))
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
div(x, y) -> ify(ge(y, s(0')), x, y)
ify(false, x, y) -> divByZeroError
ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(false, x, y) -> 0'
if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_divByZeroError -> divByZeroError
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
0' :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encArg :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_0 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
hole_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if1_4 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
ge, minus, plus, div, ify, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < div
ge < ify
ge < encArg
minus < if
minus < encArg
plus < div
plus < encArg
div = ify
div = if
div < encArg
ify = if
ify < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
ge(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)

Induction Base:
ge(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
ge(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(n4_4, 1)), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(1)
ge(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n4_4), 0') ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
ge(0', 0') -> true
ge(s(x), 0') -> ge(x, 0')
ge(0', s(0')) -> false
ge(0', s(s(x))) -> ge(0', s(x))
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
minus(0', 0') -> 0'
minus(0', s(x)) -> minus(0', x)
minus(s(x), 0') -> s(minus(x, 0'))
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
plus(0', 0') -> 0'
plus(0', s(x)) -> s(plus(0', x))
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
div(x, y) -> ify(ge(y, s(0')), x, y)
ify(false, x, y) -> divByZeroError
ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(false, x, y) -> 0'
if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_divByZeroError -> divByZeroError
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
0' :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encArg :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_0 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
hole_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if1_4 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
ge, minus, plus, div, ify, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < div
ge < ify
ge < encArg
minus < if
minus < encArg
plus < div
plus < encArg
div = ify
div = if
div < encArg
ify = if
ify < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
ge(0', 0') -> true
ge(s(x), 0') -> ge(x, 0')
ge(0', s(0')) -> false
ge(0', s(s(x))) -> ge(0', s(x))
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
minus(0', 0') -> 0'
minus(0', s(x)) -> minus(0', x)
minus(s(x), 0') -> s(minus(x, 0'))
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
plus(0', 0') -> 0'
plus(0', s(x)) -> s(plus(0', x))
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
div(x, y) -> ify(ge(y, s(0')), x, y)
ify(false, x, y) -> divByZeroError
ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(false, x, y) -> 0'
if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_divByZeroError -> divByZeroError
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
0' :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encArg :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_0 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
hole_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if1_4 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if


Lemmas:
ge(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
minus, plus, div, ify, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < if
minus < encArg
plus < div
plus < encArg
div = ify
div = if
div < encArg
ify = if
ify < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n7252_4)) -> gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), rt in Omega(1 + n7252_4)

Induction Base:
minus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
minus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(n7252_4, 1))) ->_R^Omega(1)
minus(0', gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n7252_4)) ->_IH
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
ge(0', 0') -> true
ge(s(x), 0') -> ge(x, 0')
ge(0', s(0')) -> false
ge(0', s(s(x))) -> ge(0', s(x))
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
minus(0', 0') -> 0'
minus(0', s(x)) -> minus(0', x)
minus(s(x), 0') -> s(minus(x, 0'))
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
plus(0', 0') -> 0'
plus(0', s(x)) -> s(plus(0', x))
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
div(x, y) -> ify(ge(y, s(0')), x, y)
ify(false, x, y) -> divByZeroError
ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(false, x, y) -> 0'
if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_divByZeroError -> divByZeroError
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
0' :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encArg :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_0 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
hole_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if1_4 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if


Lemmas:
ge(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)
minus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n7252_4)) -> gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), rt in Omega(1 + n7252_4)


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, div, ify, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < div
plus < encArg
div = ify
div = if
div < encArg
ify = if
ify < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n10901_4)) -> gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n10901_4), rt in Omega(1 + n10901_4)

Induction Base:
plus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
plus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(n10901_4, 1))) ->_R^Omega(1)
s(plus(0', gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n10901_4))) ->_IH
s(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(c10902_4))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
ge(0', 0') -> true
ge(s(x), 0') -> ge(x, 0')
ge(0', s(0')) -> false
ge(0', s(s(x))) -> ge(0', s(x))
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
minus(0', 0') -> 0'
minus(0', s(x)) -> minus(0', x)
minus(s(x), 0') -> s(minus(x, 0'))
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
plus(0', 0') -> 0'
plus(0', s(x)) -> s(plus(0', x))
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
div(x, y) -> ify(ge(y, s(0')), x, y)
ify(false, x, y) -> divByZeroError
ify(true, x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(false, x, y) -> 0'
if(true, x, y) -> s(div(minus(x, y), y))
div(plus(x, y), z) -> plus(div(x, z), div(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(divByZeroError) -> divByZeroError
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ify(x_1, x_2, x_3)) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ify(x_1, x_2, x_3) -> ify(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_divByZeroError -> divByZeroError
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
0' :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encArg :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
cons_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ge :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_0 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_true :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_s :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_false :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_minus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_plus :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_div :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_ify :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_divByZeroError :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
encode_if :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
hole_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if1_4 :: 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if


Lemmas:
ge(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)
minus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n7252_4)) -> gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), rt in Omega(1 + n7252_4)
plus(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0), gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n10901_4)) -> gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n10901_4), rt in Omega(1 + n10901_4)


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
ify, div, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = ify
div = if
div < encArg
ify = if
ify < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n13453_4)) -> gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n13453_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(+(n13453_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(n13453_4))) ->_IH
s(gen_0':true:s:false:divByZeroError:cons_ge:cons_minus:cons_plus:cons_div:cons_ify:cons_if2_4(c13454_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(22)
BOUNDS(1, INF)