/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


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WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^3))
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^3).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 224 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 13 ms]
(6) CdtProblem
    (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (8) CdtProblem
    (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (10) CdtProblem
    (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (12) CdtProblem
    (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (14) CdtProblem
    (15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 129 ms]
    (16) CdtProblem
    (17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 435 ms]
    (18) CdtProblem
    (19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 374 ms]
    (20) CdtProblem
    (21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^3)), 1851 ms]
    (22) CdtProblem
    (23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^3)), 1672 ms]
    (24) CdtProblem
    (25) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^3)), 1687 ms]
    (26) CdtProblem
    (27) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (28) BOUNDS(1, 1)
(29) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(30) CpxRelTRS
    (31) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (32) typed CpxTrs
    (33) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
    (34) typed CpxTrs
    (35) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 12.8 s]
    (36) BEST
        (37) proven lower bound
            (38) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
            (39) BOUNDS(n^1, INF)
        (40) typed CpxTrs
            (41) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 57 ms]
            (42) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^3).


The TRS R consists of the following rules:

   sort(nil) -> nil
   sort(cons(x, y)) -> insert(x, sort(y))
   insert(x, nil) -> cons(x, nil)
   insert(x, cons(v, w)) -> choose(x, cons(v, w), x, v)
   choose(x, cons(v, w), y, 0) -> cons(x, cons(v, w))
   choose(x, cons(v, w), 0, s(z)) -> cons(v, insert(x, w))
   choose(x, cons(v, w), s(y), s(z)) -> choose(x, cons(v, w), y, z)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1))
   encArg(cons_insert(x_1, x_2)) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_insert(x_1, x_2) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_choose(x_1, x_2, x_3, x_4) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^3).


The TRS R consists of the following rules:

   sort(nil) -> nil
   sort(cons(x, y)) -> insert(x, sort(y))
   insert(x, nil) -> cons(x, nil)
   insert(x, cons(v, w)) -> choose(x, cons(v, w), x, v)
   choose(x, cons(v, w), y, 0) -> cons(x, cons(v, w))
   choose(x, cons(v, w), 0, s(z)) -> cons(v, insert(x, w))
   choose(x, cons(v, w), s(y), s(z)) -> choose(x, cons(v, w), y, z)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1))
   encArg(cons_insert(x_1, x_2)) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_insert(x_1, x_2) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_choose(x_1, x_2, x_3, x_4) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^3).


The TRS R consists of the following rules:

   sort(nil) -> nil
   sort(cons(x, y)) -> insert(x, sort(y))
   insert(x, nil) -> cons(x, nil)
   insert(x, cons(v, w)) -> choose(x, cons(v, w), x, v)
   choose(x, cons(v, w), y, 0) -> cons(x, cons(v, w))
   choose(x, cons(v, w), 0, s(z)) -> cons(v, insert(x, w))
   choose(x, cons(v, w), s(y), s(z)) -> choose(x, cons(v, w), y, z)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1))
   encArg(cons_insert(x_1, x_2)) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_insert(x_1, x_2) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_choose(x_1, x_2, x_3, x_4) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_sort(z0) -> sort(encArg(z0))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_insert(z0, z1) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_choose(z0, z1, z2, z3) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(nil) -> c
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(0) -> c2
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCODE_SORT(z0) -> c7(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_NIL -> c8
   ENCODE_CONS(z0, z1) -> c9(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c10(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c11(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCODE_0 -> c12
   ENCODE_S(z0) -> c13(ENCARG(z0))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
S tuples:
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   sort_1, insert_2, choose_4, encArg_1, encode_sort_1, encode_nil, encode_cons_2, encode_insert_2, encode_choose_4, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_SORT_1, ENCODE_NIL, ENCODE_CONS_2, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4, ENCODE_0, ENCODE_S_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4

Compound Symbols:   c, c1_2, c2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c7_2, c8, c9_2, c10_3, c11_5, c12, c13_1, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 2 leading nodes:
   ENCODE_CONS(z0, z1) -> c9(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_S(z0) -> c13(ENCARG(z0))
Removed 4 trailing nodes:
   ENCODE_0 -> c12
   ENCARG(nil) -> c
   ENCARG(0) -> c2
   ENCODE_NIL -> c8

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_sort(z0) -> sort(encArg(z0))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_insert(z0, z1) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_choose(z0, z1, z2, z3) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   ENCODE_SORT(z0) -> c7(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c10(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c11(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
S tuples:
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   sort_1, insert_2, choose_4, encArg_1, encode_sort_1, encode_nil, encode_cons_2, encode_insert_2, encode_choose_4, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c7_2, c10_3, c11_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_sort(z0) -> sort(encArg(z0))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_insert(z0, z1) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_choose(z0, z1, z2, z3) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(ENCARG(z2))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(ENCARG(z3))
S tuples:
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   sort_1, insert_2, choose_4, encArg_1, encode_sort_1, encode_nil, encode_cons_2, encode_insert_2, encode_choose_4, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 7 leading nodes:
   ENCODE_SORT(z0) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(ENCARG(z2))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(ENCARG(z3))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_sort(z0) -> sort(encArg(z0))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_insert(z0, z1) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_choose(z0, z1, z2, z3) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
S tuples:
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   sort_1, insert_2, choose_4, encArg_1, encode_sort_1, encode_nil, encode_cons_2, encode_insert_2, encode_choose_4, encode_0, encode_s_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_sort(z0) -> sort(encArg(z0))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_insert(z0, z1) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_choose(z0, z1, z2, z3) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encode_0 -> 0
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
S tuples:
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, sort_1, insert_2, choose_4

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   SORT(nil) -> c14
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = [1]
   POL(CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_2 + x_4
   POL(ENCODE_INSERT(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(ENCODE_SORT(x_1)) = [1] + x_1
   POL(INSERT(x_1, x_2)) = 0
   POL(SORT(x_1)) = [1]
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14) = 0
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c16) = 0
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_sort(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1
   POL(nil) = [1]
   POL(s(x_1)) = x_1
   POL(sort(x_1)) = [1]

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
S tuples:
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
K tuples:
   SORT(nil) -> c14
Defined Rule Symbols:   encArg_1, sort_1, insert_2, choose_4

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   INSERT(z0, nil) -> c16
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
We considered the (Usable) Rules:
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   encArg(nil) -> nil
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [2]
   POL(ENCARG(x_1)) = [2] + [2]x_1 + x_1^2
   POL(ENCODE_CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + x_4 + [2]x_4^2 + [2]x_3*x_4 + [2]x_2*x_4 + [2]x_1*x_4 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1*x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_INSERT(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + x_1*x_2 + x_1^2
   POL(ENCODE_SORT(x_1)) = [1] + x_1 + [2]x_1^2
   POL(INSERT(x_1, x_2)) = [2]
   POL(SORT(x_1)) = x_1
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14) = 0
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c16) = 0
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_insert(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_sort(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(insert(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(nil) = 0
   POL(s(x_1)) = x_1
   POL(sort(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
S tuples:
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
K tuples:
   SORT(nil) -> c14
   INSERT(z0, nil) -> c16
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
Defined Rule Symbols:   encArg_1, sort_1, insert_2, choose_4

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
We considered the (Usable) Rules:
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   encArg(nil) -> nil
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1]
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_4 + [2]x_4^2 + [2]x_3*x_4 + x_2*x_4 + [2]x_1*x_4 + [2]x_1^2 + x_1*x_2 + [2]x_1*x_3 + x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_INSERT(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_SORT(x_1)) = [1] + [2]x_1 + x_1^2
   POL(INSERT(x_1, x_2)) = [1]
   POL(SORT(x_1)) = [2]x_1
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14) = 0
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c16) = 0
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_insert(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_sort(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(nil) = 0
   POL(s(x_1)) = x_1
   POL(sort(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
S tuples:
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
K tuples:
   SORT(nil) -> c14
   INSERT(z0, nil) -> c16
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, sort_1, insert_2, choose_4

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^3)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
We considered the (Usable) Rules:
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   encArg(nil) -> nil
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_3 + x_1*x_2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^3
   POL(ENCODE_CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_3 + x_1*x_2 + x_3^3
   POL(ENCODE_INSERT(x_1, x_2)) = x_1 + x_1*x_2
   POL(ENCODE_SORT(x_1)) = x_1 + x_1^2
   POL(INSERT(x_1, x_2)) = x_1 + x_1*x_2
   POL(SORT(x_1)) = x_1 + x_1^2
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14) = 0
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c16) = 0
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_sort(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(nil) = 0
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(sort(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
S tuples:
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
K tuples:
   SORT(nil) -> c14
   INSERT(z0, nil) -> c16
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, sort_1, insert_2, choose_4

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^3)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
We considered the (Usable) Rules:
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   encArg(nil) -> nil
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = [1]
   POL(CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_3 + x_1*x_2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^3
   POL(ENCODE_CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_3 + x_1*x_2 + x_1^3 + x_4^3
   POL(ENCODE_INSERT(x_1, x_2)) = x_1 + x_1*x_2
   POL(ENCODE_SORT(x_1)) = [1] + x_1^2
   POL(INSERT(x_1, x_2)) = x_1 + x_1*x_2
   POL(SORT(x_1)) = [1] + x_1^2
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14) = 0
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c16) = 0
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_sort(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(nil) = 0
   POL(s(x_1)) = x_1
   POL(sort(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
S tuples:
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
K tuples:
   SORT(nil) -> c14
   INSERT(z0, nil) -> c16
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, sort_1, insert_2, choose_4

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(25) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^3)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   encArg(nil) -> nil
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   sort(nil) -> nil
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = [1]
   POL(CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_3 + x_1*x_2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^3
   POL(ENCODE_CHOOSE(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_3 + x_1*x_2 + x_4^3
   POL(ENCODE_INSERT(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_1*x_2
   POL(ENCODE_SORT(x_1)) = x_1 + x_1^2
   POL(INSERT(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_1*x_2
   POL(SORT(x_1)) = x_1 + x_1^2
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14) = 0
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c16) = 0
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c19(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
   POL(choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_sort(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(insert(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(nil) = 0
   POL(s(x_1)) = x_1
   POL(sort(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(26)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_sort(z0)) -> sort(encArg(z0))
   encArg(cons_insert(z0, z1)) -> insert(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> choose(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3))
   sort(nil) -> nil
   sort(cons(z0, z1)) -> insert(z0, sort(z1))
   insert(z0, nil) -> cons(z0, nil)
   insert(z0, cons(z1, z2)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z0, z1)
   choose(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> cons(z0, cons(z1, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> cons(z1, insert(z0, z2))
   choose(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> choose(z0, cons(z1, z2), z3, z4)
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c1(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(s(z0)) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sort(z0)) -> c4(SORT(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_insert(z0, z1)) -> c5(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_choose(z0, z1, z2, z3)) -> c6(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2), ENCARG(z3))
   SORT(nil) -> c14
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   INSERT(z0, nil) -> c16
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   ENCODE_SORT(z0) -> c(SORT(encArg(z0)))
   ENCODE_INSERT(z0, z1) -> c(INSERT(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_CHOOSE(z0, z1, z2, z3) -> c(CHOOSE(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2), encArg(z3)))
S tuples:none
K tuples:
   SORT(nil) -> c14
   INSERT(z0, nil) -> c16
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, 0) -> c18
   SORT(cons(z0, z1)) -> c15(INSERT(z0, sort(z1)), SORT(z1))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), s(z3), s(z4)) -> c20(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z3, z4))
   CHOOSE(z0, cons(z1, z2), 0, s(z3)) -> c19(INSERT(z0, z2))
   INSERT(z0, cons(z1, z2)) -> c17(CHOOSE(z0, cons(z1, z2), z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, sort_1, insert_2, choose_4

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, SORT_1, INSERT_2, CHOOSE_4, ENCODE_SORT_1, ENCODE_INSERT_2, ENCODE_CHOOSE_4

Compound Symbols:   c1_2, c3_1, c4_2, c5_3, c6_5, c14, c15_2, c16, c17_1, c18, c19_1, c20_1, c_1


----------------------------------------

(27) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(1, 1)

----------------------------------------

(29) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(30)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   sort(nil) -> nil
   sort(cons(x, y)) -> insert(x, sort(y))
   insert(x, nil) -> cons(x, nil)
   insert(x, cons(v, w)) -> choose(x, cons(v, w), x, v)
   choose(x, cons(v, w), y, 0') -> cons(x, cons(v, w))
   choose(x, cons(v, w), 0', s(z)) -> cons(v, insert(x, w))
   choose(x, cons(v, w), s(y), s(z)) -> choose(x, cons(v, w), y, z)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1))
   encArg(cons_insert(x_1, x_2)) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_insert(x_1, x_2) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_choose(x_1, x_2, x_3, x_4) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(31) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(32)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
sort(nil) -> nil
sort(cons(x, y)) -> insert(x, sort(y))
insert(x, nil) -> cons(x, nil)
insert(x, cons(v, w)) -> choose(x, cons(v, w), x, v)
choose(x, cons(v, w), y, 0') -> cons(x, cons(v, w))
choose(x, cons(v, w), 0', s(z)) -> cons(v, insert(x, w))
choose(x, cons(v, w), s(y), s(z)) -> choose(x, cons(v, w), y, z)
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1))
encArg(cons_insert(x_1, x_2)) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_insert(x_1, x_2) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_choose(x_1, x_2, x_3, x_4) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Types:
sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
nil :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
0' :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
s :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encArg :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_nil :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_cons :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_0 :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_s :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
hole_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose1_5 :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5 :: Nat -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose

----------------------------------------

(33) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
sort, insert, choose, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
insert < sort
sort < encArg
insert = choose
insert < encArg
choose < encArg

----------------------------------------

(34)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
sort(nil) -> nil
sort(cons(x, y)) -> insert(x, sort(y))
insert(x, nil) -> cons(x, nil)
insert(x, cons(v, w)) -> choose(x, cons(v, w), x, v)
choose(x, cons(v, w), y, 0') -> cons(x, cons(v, w))
choose(x, cons(v, w), 0', s(z)) -> cons(v, insert(x, w))
choose(x, cons(v, w), s(y), s(z)) -> choose(x, cons(v, w), y, z)
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1))
encArg(cons_insert(x_1, x_2)) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_insert(x_1, x_2) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_choose(x_1, x_2, x_3, x_4) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Types:
sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
nil :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
0' :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
s :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encArg :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_nil :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_cons :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_0 :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_s :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
hole_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose1_5 :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5 :: Nat -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose


Generator Equations:
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(0) <=> nil
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
choose, sort, insert, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
insert < sort
sort < encArg
insert = choose
insert < encArg
choose < encArg

----------------------------------------

(35) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
sort(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(1, n229_5))) -> *3_5, rt in Omega(n229_5)

Induction Base:
sort(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(1, 0)))

Induction Step:
sort(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(1, +(n229_5, 1)))) ->_R^Omega(1)
insert(nil, sort(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(1, n229_5)))) ->_IH
insert(nil, *3_5)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(36)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(37)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
sort(nil) -> nil
sort(cons(x, y)) -> insert(x, sort(y))
insert(x, nil) -> cons(x, nil)
insert(x, cons(v, w)) -> choose(x, cons(v, w), x, v)
choose(x, cons(v, w), y, 0') -> cons(x, cons(v, w))
choose(x, cons(v, w), 0', s(z)) -> cons(v, insert(x, w))
choose(x, cons(v, w), s(y), s(z)) -> choose(x, cons(v, w), y, z)
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1))
encArg(cons_insert(x_1, x_2)) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_insert(x_1, x_2) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_choose(x_1, x_2, x_3, x_4) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Types:
sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
nil :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
0' :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
s :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encArg :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_nil :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_cons :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_0 :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_s :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
hole_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose1_5 :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5 :: Nat -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose


Generator Equations:
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(0) <=> nil
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
sort, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
sort < encArg

----------------------------------------

(38) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(39)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(40)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
sort(nil) -> nil
sort(cons(x, y)) -> insert(x, sort(y))
insert(x, nil) -> cons(x, nil)
insert(x, cons(v, w)) -> choose(x, cons(v, w), x, v)
choose(x, cons(v, w), y, 0') -> cons(x, cons(v, w))
choose(x, cons(v, w), 0', s(z)) -> cons(v, insert(x, w))
choose(x, cons(v, w), s(y), s(z)) -> choose(x, cons(v, w), y, z)
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1))
encArg(cons_insert(x_1, x_2)) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_choose(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_insert(x_1, x_2) -> insert(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_choose(x_1, x_2, x_3, x_4) -> choose(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))

Types:
sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
nil :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
0' :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
s :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encArg :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
cons_choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_sort :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_nil :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_cons :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_insert :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_choose :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_0 :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
encode_s :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
hole_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose1_5 :: nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5 :: Nat -> nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose


Lemmas:
sort(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(1, n229_5))) -> *3_5, rt in Omega(n229_5)


Generator Equations:
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(0) <=> nil
gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(41) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(n154297_5)) -> gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(n154297_5), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(0)) ->_R^Omega(0)
nil

Induction Step:
encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(+(n154297_5, 1))) ->_R^Omega(0)
cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(n154297_5))) ->_R^Omega(0)
cons(nil, encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(n154297_5))) ->_IH
cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_sort:cons_insert:cons_choose2_5(c154298_5))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(42)
BOUNDS(1, INF)