/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


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WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^1))
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^1).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 183 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
    (7) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (8) CdtProblem
    (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (10) CdtProblem
    (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (12) CdtProblem
    (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (14) CdtProblem
    (15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 118 ms]
    (16) CdtProblem
    (17) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (18) BOUNDS(1, 1)
(19) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(20) CpxRelTRS
    (21) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (22) typed CpxTrs
    (23) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
    (24) typed CpxTrs
    (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 225 ms]
    (26) proven lower bound
    (27) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
    (28) BOUNDS(n^1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   \(x, x) -> e
   /(x, x) -> e
   .(e, x) -> x
   .(x, e) -> x
   \(e, x) -> x
   /(x, e) -> x
   .(x, \(x, y)) -> y
   .(/(y, x), x) -> y
   \(x, .(x, y)) -> y
   /(.(y, x), x) -> y
   /(x, \(y, x)) -> y
   \(/(x, y), x) -> y

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(x_1, x_2)) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_/(x_1, x_2)) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_.(x_1, x_2)) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_\(x_1, x_2) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_e -> e
   encode_/(x_1, x_2) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_.(x_1, x_2) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   \(x, x) -> e
   /(x, x) -> e
   .(e, x) -> x
   .(x, e) -> x
   \(e, x) -> x
   /(x, e) -> x
   .(x, \(x, y)) -> y
   .(/(y, x), x) -> y
   \(x, .(x, y)) -> y
   /(.(y, x), x) -> y
   /(x, \(y, x)) -> y
   \(/(x, y), x) -> y

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(x_1, x_2)) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_/(x_1, x_2)) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_.(x_1, x_2)) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_\(x_1, x_2) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_e -> e
   encode_/(x_1, x_2) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_.(x_1, x_2) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   \(x, x) -> e
   /(x, x) -> e
   .(e, x) -> x
   .(x, e) -> x
   \(e, x) -> x
   /(x, e) -> x
   .(x, \(x, y)) -> y
   .(/(y, x), x) -> y
   \(x, .(x, y)) -> y
   /(.(y, x), x) -> y
   /(x, \(y, x)) -> y
   \(/(x, y), x) -> y

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(x_1, x_2)) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_/(x_1, x_2)) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_.(x_1, x_2)) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_\(x_1, x_2) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_e -> e
   encode_/(x_1, x_2) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_.(x_1, x_2) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(z0, z1)) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_/(z0, z1)) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_.(z0, z1)) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_\(z0, z1) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_e -> e
   encode_/(z0, z1) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_.(z0, z1) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   \(z0, z0) -> e
   \(e, z0) -> z0
   \(z0, .(z0, z1)) -> z1
   \(/(z0, z1), z0) -> z1
   /(z0, z0) -> e
   /(z0, e) -> z0
   /(.(z0, z1), z1) -> z0
   /(z0, \(z1, z0)) -> z1
   .(e, z0) -> z0
   .(z0, e) -> z0
   .(z0, \(z0, z1)) -> z1
   .(/(z0, z1), z1) -> z0
Tuples:
   ENCARG(e) -> c
   ENCARG(cons_\(z0, z1)) -> c1(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_/(z0, z1)) -> c2(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_.(z0, z1)) -> c3(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_\(z0, z1) -> c4(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_E -> c5
   ENCODE_/(z0, z1) -> c6(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c7(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
S tuples:
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   \_2, /_2, ._2, encArg_1, encode_\_2, encode_e, encode_/_2, encode_._2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_\_2, ENCODE_E, ENCODE_/_2, ENCODE_._2, \'_2, /'_2, .'_2

Compound Symbols:   c, c1_3, c2_3, c3_3, c4_3, c5, c6_3, c7_3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 2 trailing nodes:
   ENCODE_E -> c5
   ENCARG(e) -> c

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(z0, z1)) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_/(z0, z1)) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_.(z0, z1)) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_\(z0, z1) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_e -> e
   encode_/(z0, z1) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_.(z0, z1) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   \(z0, z0) -> e
   \(e, z0) -> z0
   \(z0, .(z0, z1)) -> z1
   \(/(z0, z1), z0) -> z1
   /(z0, z0) -> e
   /(z0, e) -> z0
   /(.(z0, z1), z1) -> z0
   /(z0, \(z1, z0)) -> z1
   .(e, z0) -> z0
   .(z0, e) -> z0
   .(z0, \(z0, z1)) -> z1
   .(/(z0, z1), z1) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_\(z0, z1)) -> c1(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_/(z0, z1)) -> c2(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_.(z0, z1)) -> c3(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_\(z0, z1) -> c4(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c6(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c7(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
S tuples:
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   \_2, /_2, ._2, encArg_1, encode_\_2, encode_e, encode_/_2, encode_._2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_\_2, ENCODE_/_2, ENCODE_._2, \'_2, /'_2, .'_2

Compound Symbols:   c1_3, c2_3, c3_3, c4_3, c6_3, c7_3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(z0, z1)) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_/(z0, z1)) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_.(z0, z1)) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_\(z0, z1) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_e -> e
   encode_/(z0, z1) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_.(z0, z1) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   \(z0, z0) -> e
   \(e, z0) -> z0
   \(z0, .(z0, z1)) -> z1
   \(/(z0, z1), z0) -> z1
   /(z0, z0) -> e
   /(z0, e) -> z0
   /(.(z0, z1), z1) -> z0
   /(z0, \(z1, z0)) -> z1
   .(e, z0) -> z0
   .(z0, e) -> z0
   .(z0, \(z0, z1)) -> z1
   .(/(z0, z1), z1) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_\(z0, z1)) -> c1(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_/(z0, z1)) -> c2(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_.(z0, z1)) -> c3(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(\'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(/'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(.'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
S tuples:
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   \_2, /_2, ._2, encArg_1, encode_\_2, encode_e, encode_/_2, encode_._2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, \'_2, /'_2, .'_2, ENCODE_\_2, ENCODE_/_2, ENCODE_._2

Compound Symbols:   c1_3, c2_3, c3_3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19, c_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 6 leading nodes:
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(z0, z1)) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_/(z0, z1)) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_.(z0, z1)) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_\(z0, z1) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_e -> e
   encode_/(z0, z1) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_.(z0, z1) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   \(z0, z0) -> e
   \(e, z0) -> z0
   \(z0, .(z0, z1)) -> z1
   \(/(z0, z1), z0) -> z1
   /(z0, z0) -> e
   /(z0, e) -> z0
   /(.(z0, z1), z1) -> z0
   /(z0, \(z1, z0)) -> z1
   .(e, z0) -> z0
   .(z0, e) -> z0
   .(z0, \(z0, z1)) -> z1
   .(/(z0, z1), z1) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_\(z0, z1)) -> c1(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_/(z0, z1)) -> c2(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_.(z0, z1)) -> c3(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(\'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(/'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(.'(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   \_2, /_2, ._2, encArg_1, encode_\_2, encode_e, encode_/_2, encode_._2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, \'_2, /'_2, .'_2, ENCODE_\_2, ENCODE_/_2, ENCODE_._2

Compound Symbols:   c1_3, c2_3, c3_3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19, c_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_\(z0, z1) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_e -> e
   encode_/(z0, z1) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_.(z0, z1) -> .(encArg(z0), encArg(z1))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(z0, z1)) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_/(z0, z1)) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_.(z0, z1)) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   \(z0, z0) -> e
   \(e, z0) -> z0
   \(z0, .(z0, z1)) -> z1
   \(/(z0, z1), z0) -> z1
   /(z0, z0) -> e
   /(z0, e) -> z0
   /(.(z0, z1), z1) -> z0
   /(z0, \(z1, z0)) -> z1
   .(e, z0) -> z0
   .(z0, e) -> z0
   .(z0, \(z0, z1)) -> z1
   .(/(z0, z1), z1) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_\(z0, z1)) -> c1(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_/(z0, z1)) -> c2(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_.(z0, z1)) -> c3(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(\'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(/'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(.'(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, \_2, /_2, ._2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, \'_2, /'_2, .'_2, ENCODE_\_2, ENCODE_/_2, ENCODE_._2

Compound Symbols:   c1_3, c2_3, c3_3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19, c_1


----------------------------------------

(15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(cons_\(z0, z1)) -> c1(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_/(z0, z1)) -> c2(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_.(z0, z1)) -> c3(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(\'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(/'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(.'(encArg(z0), encArg(z1)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(.(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(.'(x_1, x_2)) = [1]
   POL(/(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(/'(x_1, x_2)) = [1]
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_.(x_1, x_2)) = [1] + x_2
   POL(ENCODE_/(x_1, x_2)) = [1] + x_2
   POL(ENCODE_\(x_1, x_2)) = [1]
   POL(\(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(\'(x_1, x_2)) = [1]
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c1(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c10) = 0
   POL(c11) = 0
   POL(c12) = 0
   POL(c13) = 0
   POL(c14) = 0
   POL(c15) = 0
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c18) = 0
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c8) = 0
   POL(c9) = 0
   POL(cons_.(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_/(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_\(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(e) = 0
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(z0, z1)) -> \(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_/(z0, z1)) -> /(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_.(z0, z1)) -> .(encArg(z0), encArg(z1))
   \(z0, z0) -> e
   \(e, z0) -> z0
   \(z0, .(z0, z1)) -> z1
   \(/(z0, z1), z0) -> z1
   /(z0, z0) -> e
   /(z0, e) -> z0
   /(.(z0, z1), z1) -> z0
   /(z0, \(z1, z0)) -> z1
   .(e, z0) -> z0
   .(z0, e) -> z0
   .(z0, \(z0, z1)) -> z1
   .(/(z0, z1), z1) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_\(z0, z1)) -> c1(\'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_/(z0, z1)) -> c2(/'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_.(z0, z1)) -> c3(.'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
   ENCODE_\(z0, z1) -> c(\'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_/(z0, z1) -> c(/'(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_.(z0, z1) -> c(.'(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:none
K tuples:
   \'(z0, z0) -> c8
   \'(e, z0) -> c9
   \'(z0, .(z0, z1)) -> c10
   \'(/(z0, z1), z0) -> c11
   /'(z0, z0) -> c12
   /'(z0, e) -> c13
   /'(.(z0, z1), z1) -> c14
   /'(z0, \(z1, z0)) -> c15
   .'(e, z0) -> c16
   .'(z0, e) -> c17
   .'(z0, \(z0, z1)) -> c18
   .'(/(z0, z1), z1) -> c19
Defined Rule Symbols:   encArg_1, \_2, /_2, ._2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, \'_2, /'_2, .'_2, ENCODE_\_2, ENCODE_/_2, ENCODE_._2

Compound Symbols:   c1_3, c2_3, c3_3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19, c_1


----------------------------------------

(17) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
----------------------------------------

(18)
BOUNDS(1, 1)

----------------------------------------

(19) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(20)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   \(x, x) -> e
   /(x, x) -> e
   .(e, x) -> x
   .(x, e) -> x
   \(e, x) -> x
   /(x, e) -> x
   .(x, \(x, y)) -> y
   .(/(y, x), x) -> y
   \(x, .(x, y)) -> y
   /(.(y, x), x) -> y
   /(x, \(y, x)) -> y
   \(/(x, y), x) -> y

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(e) -> e
   encArg(cons_\(x_1, x_2)) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_/(x_1, x_2)) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_.(x_1, x_2)) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_\(x_1, x_2) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_e -> e
   encode_/(x_1, x_2) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_.(x_1, x_2) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(21) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
\(x, x) -> e
/(x, x) -> e
.(e, x) -> x
.(x, e) -> x
\(e, x) -> x
/(x, e) -> x
.(x, \(x, y)) -> y
.(/(y, x), x) -> y
\(x, .(x, y)) -> y
/(.(y, x), x) -> y
/(x, \(y, x)) -> y
\(/(x, y), x) -> y
encArg(e) -> e
encArg(cons_\(x_1, x_2)) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_/(x_1, x_2)) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_.(x_1, x_2)) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_\(x_1, x_2) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_e -> e
encode_/(x_1, x_2) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_.(x_1, x_2) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
e :: e:cons_\:cons_/:cons_.
/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encArg :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_e :: e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
hole_e:cons_\:cons_/:cons_.1_0 :: e:cons_\:cons_/:cons_.
gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0 :: Nat -> e:cons_\:cons_/:cons_.

----------------------------------------

(23) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
encArg
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
\(x, x) -> e
/(x, x) -> e
.(e, x) -> x
.(x, e) -> x
\(e, x) -> x
/(x, e) -> x
.(x, \(x, y)) -> y
.(/(y, x), x) -> y
\(x, .(x, y)) -> y
/(.(y, x), x) -> y
/(x, \(y, x)) -> y
\(/(x, y), x) -> y
encArg(e) -> e
encArg(cons_\(x_1, x_2)) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_/(x_1, x_2)) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_.(x_1, x_2)) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_\(x_1, x_2) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_e -> e
encode_/(x_1, x_2) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_.(x_1, x_2) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
e :: e:cons_\:cons_/:cons_.
/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encArg :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_e :: e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
hole_e:cons_\:cons_/:cons_.1_0 :: e:cons_\:cons_/:cons_.
gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0 :: Nat -> e:cons_\:cons_/:cons_.


Generator Equations:
gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(0) <=> e
gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(+(x, 1)) <=> cons_\(e, gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(n4_0)) -> gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(0), rt in Omega(n4_0)

Induction Base:
encArg(gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(0)) ->_R^Omega(0)
e

Induction Step:
encArg(gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(+(n4_0, 1))) ->_R^Omega(0)
\(encArg(e), encArg(gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(n4_0))) ->_R^Omega(0)
\(e, encArg(gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(n4_0))) ->_IH
\(e, gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(0)) ->_R^Omega(1)
e

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
\(x, x) -> e
/(x, x) -> e
.(e, x) -> x
.(x, e) -> x
\(e, x) -> x
/(x, e) -> x
.(x, \(x, y)) -> y
.(/(y, x), x) -> y
\(x, .(x, y)) -> y
/(.(y, x), x) -> y
/(x, \(y, x)) -> y
\(/(x, y), x) -> y
encArg(e) -> e
encArg(cons_\(x_1, x_2)) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_/(x_1, x_2)) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_.(x_1, x_2)) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_\(x_1, x_2) -> \(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_e -> e
encode_/(x_1, x_2) -> /(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_.(x_1, x_2) -> .(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
e :: e:cons_\:cons_/:cons_.
/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encArg :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
cons_. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_\ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_e :: e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_/ :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
encode_. :: e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_. -> e:cons_\:cons_/:cons_.
hole_e:cons_\:cons_/:cons_.1_0 :: e:cons_\:cons_/:cons_.
gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0 :: Nat -> e:cons_\:cons_/:cons_.


Generator Equations:
gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(0) <=> e
gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(+(x, 1)) <=> cons_\(e, gen_e:cons_\:cons_/:cons_.2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(27) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(n^1, INF)