/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 180 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 304 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 15.0 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h), l)) a(h, h, x) -> s(x) a(x, s(y), h) -> a(x, y, s(h)) a(x, s(y), s(z)) -> a(x, y, a(x, s(y), z)) a(s(x), h, z) -> a(x, z, z) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(h) -> h encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h), l)) a(h, h, x) -> s(x) a(x, s(y), h) -> a(x, y, s(h)) a(x, s(y), s(z)) -> a(x, y, a(x, s(y), z)) a(s(x), h, z) -> a(x, z, z) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(h) -> h encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h), l)) a(h, h, x) -> s(x) a(x, s(y), h) -> a(x, y, s(h)) a(x, s(y), s(z)) -> a(x, y, a(x, s(y), z)) a(s(x), h, z) -> a(x, z, z) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(h) -> h encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h), l)) a(h, h, x) -> s(x) a(x, s(y), h) -> a(x, y, s(h)) a(x, s(y), s(z)) -> a(x, y, a(x, s(y), z)) a(s(x), h, z) -> a(x, z, z) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(h) -> h encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h), l)) a(h, h, x) -> s(x) a(x, s(y), h) -> a(x, y, s(h)) a(x, s(y), s(z)) -> a(x, y, a(x, s(y), z)) a(s(x), h, z) -> a(x, z, z) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(h) -> h encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a nil :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a h :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a s :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encArg :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_nil :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_cons :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_h :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_s :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a hole_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a1_0 :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0 :: Nat -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: app, sum, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < encArg a < sum sum < encArg a < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h), l)) a(h, h, x) -> s(x) a(x, s(y), h) -> a(x, y, s(h)) a(x, s(y), s(z)) -> a(x, y, a(x, s(y), z)) a(s(x), h, z) -> a(x, z, z) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(h) -> h encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a nil :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a h :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a s :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encArg :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_nil :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_cons :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_h :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_s :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a hole_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a1_0 :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0 :: Nat -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a Generator Equations: gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(0) <=> nil gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: app, sum, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < encArg a < sum sum < encArg a < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: app(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(n4_0), gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(b)) -> gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(+(n4_0, b)), rt in Omega(1 + n4_0) Induction Base: app(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(0), gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(b)) ->_R^Omega(1) gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(b) Induction Step: app(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(+(n4_0, 1)), gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(b)) ->_R^Omega(1) cons(nil, app(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(n4_0), gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(b))) ->_IH cons(nil, gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(+(b, c5_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h), l)) a(h, h, x) -> s(x) a(x, s(y), h) -> a(x, y, s(h)) a(x, s(y), s(z)) -> a(x, y, a(x, s(y), z)) a(s(x), h, z) -> a(x, z, z) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(h) -> h encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a nil :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a h :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a s :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encArg :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_nil :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_cons :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_h :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_s :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a hole_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a1_0 :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0 :: Nat -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a Generator Equations: gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(0) <=> nil gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: app, sum, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < encArg a < sum sum < encArg a < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h), l)) a(h, h, x) -> s(x) a(x, s(y), h) -> a(x, y, s(h)) a(x, s(y), s(z)) -> a(x, y, a(x, s(y), z)) a(s(x), h, z) -> a(x, z, z) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(h) -> h encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a nil :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a h :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a s :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encArg :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a cons_a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_app :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_nil :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_cons :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_sum :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_a :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_h :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a encode_s :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a hole_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a1_0 :: nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0 :: Nat -> nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a Lemmas: app(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(n4_0), gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(b)) -> gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(+(n4_0, b)), rt in Omega(1 + n4_0) Generator Equations: gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(0) <=> nil gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a < sum sum < encArg a < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(n275183_0)) -> gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(n275183_0), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(+(n275183_0, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(n275183_0))) ->_R^Omega(0) cons(nil, encArg(gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(n275183_0))) ->_IH cons(nil, gen_nil:cons:h:s:cons_app:cons_sum:cons_a2_0(c275184_0)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)