/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 522 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 310 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 67.9 s]
        (18) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   lessElements(l, t) -> lessE(l, t, 0)
   lessE(l, t, n) -> if(le(length(l), n), le(length(toList(t)), n), l, t, n)
   if(true, b, l, t, n) -> l
   if(false, true, l, t, n) -> t
   if(false, false, l, t, n) -> lessE(l, t, s(n))
   length(nil) -> 0
   length(cons(n, l)) -> s(length(l))
   toList(leaf) -> nil
   toList(node(t1, n, t2)) -> append(toList(t1), cons(n, toList(t2)))
   append(nil, l2) -> l2
   append(cons(n, l1), l2) -> cons(n, append(l1, l2))
   le(s(n), 0) -> false
   le(0, m) -> true
   le(s(n), s(m)) -> le(n, m)
   a -> c
   a -> d

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(leaf) -> leaf
   encArg(node(x_1, x_2, x_3)) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(c) -> c
   encArg(d) -> d
   encArg(cons_lessElements(x_1, x_2)) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_lessE(x_1, x_2, x_3)) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1))
   encArg(cons_toList(x_1)) -> toList(encArg(x_1))
   encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a) -> a
   encode_lessElements(x_1, x_2) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_lessE(x_1, x_2, x_3) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_0 -> 0
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1))
   encode_toList(x_1) -> toList(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_leaf -> leaf
   encode_node(x_1, x_2, x_3) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a -> a
   encode_c -> c
   encode_d -> d


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   lessElements(l, t) -> lessE(l, t, 0)
   lessE(l, t, n) -> if(le(length(l), n), le(length(toList(t)), n), l, t, n)
   if(true, b, l, t, n) -> l
   if(false, true, l, t, n) -> t
   if(false, false, l, t, n) -> lessE(l, t, s(n))
   length(nil) -> 0
   length(cons(n, l)) -> s(length(l))
   toList(leaf) -> nil
   toList(node(t1, n, t2)) -> append(toList(t1), cons(n, toList(t2)))
   append(nil, l2) -> l2
   append(cons(n, l1), l2) -> cons(n, append(l1, l2))
   le(s(n), 0) -> false
   le(0, m) -> true
   le(s(n), s(m)) -> le(n, m)
   a -> c
   a -> d

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(leaf) -> leaf
   encArg(node(x_1, x_2, x_3)) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(c) -> c
   encArg(d) -> d
   encArg(cons_lessElements(x_1, x_2)) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_lessE(x_1, x_2, x_3)) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1))
   encArg(cons_toList(x_1)) -> toList(encArg(x_1))
   encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a) -> a
   encode_lessElements(x_1, x_2) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_lessE(x_1, x_2, x_3) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_0 -> 0
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1))
   encode_toList(x_1) -> toList(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_leaf -> leaf
   encode_node(x_1, x_2, x_3) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a -> a
   encode_c -> c
   encode_d -> d

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   lessElements(l, t) -> lessE(l, t, 0)
   lessE(l, t, n) -> if(le(length(l), n), le(length(toList(t)), n), l, t, n)
   if(true, b, l, t, n) -> l
   if(false, true, l, t, n) -> t
   if(false, false, l, t, n) -> lessE(l, t, s(n))
   length(nil) -> 0
   length(cons(n, l)) -> s(length(l))
   toList(leaf) -> nil
   toList(node(t1, n, t2)) -> append(toList(t1), cons(n, toList(t2)))
   append(nil, l2) -> l2
   append(cons(n, l1), l2) -> cons(n, append(l1, l2))
   le(s(n), 0) -> false
   le(0, m) -> true
   le(s(n), s(m)) -> le(n, m)
   a -> c
   a -> d

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(leaf) -> leaf
   encArg(node(x_1, x_2, x_3)) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(c) -> c
   encArg(d) -> d
   encArg(cons_lessElements(x_1, x_2)) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_lessE(x_1, x_2, x_3)) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1))
   encArg(cons_toList(x_1)) -> toList(encArg(x_1))
   encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a) -> a
   encode_lessElements(x_1, x_2) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_lessE(x_1, x_2, x_3) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_0 -> 0
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1))
   encode_toList(x_1) -> toList(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_leaf -> leaf
   encode_node(x_1, x_2, x_3) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a -> a
   encode_c -> c
   encode_d -> d

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   lessElements(l, t) -> lessE(l, t, 0')
   lessE(l, t, n) -> if(le(length(l), n), le(length(toList(t)), n), l, t, n)
   if(true, b, l, t, n) -> l
   if(false, true, l, t, n) -> t
   if(false, false, l, t, n) -> lessE(l, t, s(n))
   length(nil) -> 0'
   length(cons(n, l)) -> s(length(l))
   toList(leaf) -> nil
   toList(node(t1, n, t2)) -> append(toList(t1), cons(n, toList(t2)))
   append(nil, l2) -> l2
   append(cons(n, l1), l2) -> cons(n, append(l1, l2))
   le(s(n), 0') -> false
   le(0', m) -> true
   le(s(n), s(m)) -> le(n, m)
   a -> c
   a -> d

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(leaf) -> leaf
   encArg(node(x_1, x_2, x_3)) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(c) -> c
   encArg(d) -> d
   encArg(cons_lessElements(x_1, x_2)) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_lessE(x_1, x_2, x_3)) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1))
   encArg(cons_toList(x_1)) -> toList(encArg(x_1))
   encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a) -> a
   encode_lessElements(x_1, x_2) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_lessE(x_1, x_2, x_3) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_0 -> 0'
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1))
   encode_toList(x_1) -> toList(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_leaf -> leaf
   encode_node(x_1, x_2, x_3) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a -> a
   encode_c -> c
   encode_d -> d

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
lessElements(l, t) -> lessE(l, t, 0')
lessE(l, t, n) -> if(le(length(l), n), le(length(toList(t)), n), l, t, n)
if(true, b, l, t, n) -> l
if(false, true, l, t, n) -> t
if(false, false, l, t, n) -> lessE(l, t, s(n))
length(nil) -> 0'
length(cons(n, l)) -> s(length(l))
toList(leaf) -> nil
toList(node(t1, n, t2)) -> append(toList(t1), cons(n, toList(t2)))
append(nil, l2) -> l2
append(cons(n, l1), l2) -> cons(n, append(l1, l2))
le(s(n), 0') -> false
le(0', m) -> true
le(s(n), s(m)) -> le(n, m)
a -> c
a -> d
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(leaf) -> leaf
encArg(node(x_1, x_2, x_3)) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(c) -> c
encArg(d) -> d
encArg(cons_lessElements(x_1, x_2)) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lessE(x_1, x_2, x_3)) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1))
encArg(cons_toList(x_1)) -> toList(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a) -> a
encode_lessElements(x_1, x_2) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_lessE(x_1, x_2, x_3) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_0 -> 0'
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1))
encode_toList(x_1) -> toList(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_leaf -> leaf
encode_node(x_1, x_2, x_3) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a -> a
encode_c -> c
encode_d -> d

Types:
lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
0' :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
true :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
false :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
s :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
nil :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
leaf :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
node :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
c :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
d :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encArg :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_0 :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_true :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_false :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_s :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_nil :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_cons :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_leaf :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_node :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_c :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_d :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
hole_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a1_6 :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6 :: Nat -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
lessE, if, le, length, toList, append, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
lessE = if
le < lessE
length < lessE
toList < lessE
lessE < encArg
if < encArg
le < encArg
length < encArg
append < toList
toList < encArg
append < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
lessElements(l, t) -> lessE(l, t, 0')
lessE(l, t, n) -> if(le(length(l), n), le(length(toList(t)), n), l, t, n)
if(true, b, l, t, n) -> l
if(false, true, l, t, n) -> t
if(false, false, l, t, n) -> lessE(l, t, s(n))
length(nil) -> 0'
length(cons(n, l)) -> s(length(l))
toList(leaf) -> nil
toList(node(t1, n, t2)) -> append(toList(t1), cons(n, toList(t2)))
append(nil, l2) -> l2
append(cons(n, l1), l2) -> cons(n, append(l1, l2))
le(s(n), 0') -> false
le(0', m) -> true
le(s(n), s(m)) -> le(n, m)
a -> c
a -> d
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(leaf) -> leaf
encArg(node(x_1, x_2, x_3)) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(c) -> c
encArg(d) -> d
encArg(cons_lessElements(x_1, x_2)) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lessE(x_1, x_2, x_3)) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1))
encArg(cons_toList(x_1)) -> toList(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a) -> a
encode_lessElements(x_1, x_2) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_lessE(x_1, x_2, x_3) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_0 -> 0'
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1))
encode_toList(x_1) -> toList(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_leaf -> leaf
encode_node(x_1, x_2, x_3) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a -> a
encode_c -> c
encode_d -> d

Types:
lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
0' :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
true :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
false :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
s :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
nil :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
leaf :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
node :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
c :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
d :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encArg :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_0 :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_true :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_false :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_s :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_nil :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_cons :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_leaf :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_node :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_c :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_d :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
hole_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a1_6 :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6 :: Nat -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a


Generator Equations:
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(0) <=> 0'
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, lessE, if, length, toList, append, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
lessE = if
le < lessE
length < lessE
toList < lessE
lessE < encArg
if < encArg
le < encArg
length < encArg
append < toList
toList < encArg
append < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(1, n4_6)), gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(n4_6)) -> false, rt in Omega(1 + n4_6)

Induction Base:
le(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(1, 0)), gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(0)) ->_R^Omega(1)
false

Induction Step:
le(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(1, +(n4_6, 1))), gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(n4_6, 1))) ->_R^Omega(1)
le(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(1, n4_6)), gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(n4_6)) ->_IH
false

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lessElements(l, t) -> lessE(l, t, 0')
lessE(l, t, n) -> if(le(length(l), n), le(length(toList(t)), n), l, t, n)
if(true, b, l, t, n) -> l
if(false, true, l, t, n) -> t
if(false, false, l, t, n) -> lessE(l, t, s(n))
length(nil) -> 0'
length(cons(n, l)) -> s(length(l))
toList(leaf) -> nil
toList(node(t1, n, t2)) -> append(toList(t1), cons(n, toList(t2)))
append(nil, l2) -> l2
append(cons(n, l1), l2) -> cons(n, append(l1, l2))
le(s(n), 0') -> false
le(0', m) -> true
le(s(n), s(m)) -> le(n, m)
a -> c
a -> d
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(leaf) -> leaf
encArg(node(x_1, x_2, x_3)) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(c) -> c
encArg(d) -> d
encArg(cons_lessElements(x_1, x_2)) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lessE(x_1, x_2, x_3)) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1))
encArg(cons_toList(x_1)) -> toList(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a) -> a
encode_lessElements(x_1, x_2) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_lessE(x_1, x_2, x_3) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_0 -> 0'
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1))
encode_toList(x_1) -> toList(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_leaf -> leaf
encode_node(x_1, x_2, x_3) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a -> a
encode_c -> c
encode_d -> d

Types:
lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
0' :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
true :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
false :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
s :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
nil :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
leaf :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
node :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
c :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
d :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encArg :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_0 :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_true :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_false :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_s :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_nil :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_cons :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_leaf :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_node :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_c :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_d :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
hole_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a1_6 :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6 :: Nat -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a


Generator Equations:
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(0) <=> 0'
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, lessE, if, length, toList, append, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
lessE = if
le < lessE
length < lessE
toList < lessE
lessE < encArg
if < encArg
le < encArg
length < encArg
append < toList
toList < encArg
append < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
lessElements(l, t) -> lessE(l, t, 0')
lessE(l, t, n) -> if(le(length(l), n), le(length(toList(t)), n), l, t, n)
if(true, b, l, t, n) -> l
if(false, true, l, t, n) -> t
if(false, false, l, t, n) -> lessE(l, t, s(n))
length(nil) -> 0'
length(cons(n, l)) -> s(length(l))
toList(leaf) -> nil
toList(node(t1, n, t2)) -> append(toList(t1), cons(n, toList(t2)))
append(nil, l2) -> l2
append(cons(n, l1), l2) -> cons(n, append(l1, l2))
le(s(n), 0') -> false
le(0', m) -> true
le(s(n), s(m)) -> le(n, m)
a -> c
a -> d
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(leaf) -> leaf
encArg(node(x_1, x_2, x_3)) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(c) -> c
encArg(d) -> d
encArg(cons_lessElements(x_1, x_2)) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_lessE(x_1, x_2, x_3)) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1))
encArg(cons_toList(x_1)) -> toList(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a) -> a
encode_lessElements(x_1, x_2) -> lessElements(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_lessE(x_1, x_2, x_3) -> lessE(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_0 -> 0'
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1))
encode_toList(x_1) -> toList(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_leaf -> leaf
encode_node(x_1, x_2, x_3) -> node(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a -> a
encode_c -> c
encode_d -> d

Types:
lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
0' :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
true :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
false :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
s :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
nil :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
leaf :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
node :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
c :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
d :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encArg :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
cons_a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_lessElements :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_lessE :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_0 :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_if :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_le :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_length :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_toList :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_true :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_false :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_s :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_nil :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_cons :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_leaf :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_node :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_append :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_a :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_c :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
encode_d :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
hole_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a1_6 :: 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6 :: Nat -> 0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a


Lemmas:
le(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(1, n4_6)), gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(n4_6)) -> false, rt in Omega(1 + n4_6)


Generator Equations:
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(0) <=> 0'
gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
length, lessE, if, toList, append, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
lessE = if
length < lessE
toList < lessE
lessE < encArg
if < encArg
length < encArg
append < toList
toList < encArg
append < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(n1120_6)) -> gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(n1120_6), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(+(n1120_6, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(n1120_6))) ->_IH
s(gen_0':true:false:s:nil:cons:leaf:node:c:d:cons_lessElements:cons_lessE:cons_if:cons_length:cons_toList:cons_append:cons_le:cons_a2_6(c1121_6))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(18)
BOUNDS(1, INF)