/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


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WORST_CASE(?, O(n^2))
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^2).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 179 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
(7) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) CdtProblem
(9) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(10) CdtProblem
(11) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(12) CdtProblem
(13) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
(14) CdtProblem
(15) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(16) CdtProblem
(17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 701 ms]
(18) CdtProblem
(19) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(20) BOUNDS(1, 1)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   c(z, x, a) -> f(b(b(f(z), z), x))
   b(y, b(z, a)) -> f(b(c(f(a), y, z), z))
   f(c(c(z, a, a), x, a)) -> z

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(x_1, x_2, x_3)) -> c(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_b(x_1, x_2)) -> b(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encode_c(x_1, x_2, x_3) -> c(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_a -> a
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_b(x_1, x_2) -> b(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   c(z, x, a) -> f(b(b(f(z), z), x))
   b(y, b(z, a)) -> f(b(c(f(a), y, z), z))
   f(c(c(z, a, a), x, a)) -> z

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(x_1, x_2, x_3)) -> c(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_b(x_1, x_2)) -> b(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encode_c(x_1, x_2, x_3) -> c(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_a -> a
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_b(x_1, x_2) -> b(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   c(z, x, a) -> f(b(b(f(z), z), x))
   b(y, b(z, a)) -> f(b(c(f(a), y, z), z))
   f(c(c(z, a, a), x, a)) -> z

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(x_1, x_2, x_3)) -> c(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_b(x_1, x_2)) -> b(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encode_c(x_1, x_2, x_3) -> c(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_a -> a
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_b(x_1, x_2) -> b(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(z0, z1, z2)) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_b(z0, z1)) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encode_c(z0, z1, z2) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_a -> a
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_b(z0, z1) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   c(z0, z1, a) -> f(b(b(f(z0), z0), z1))
   b(z0, b(z1, a)) -> f(b(c(f(a), z0, z1), z1))
   f(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(a) -> c1
   ENCARG(cons_c(z0, z1, z2)) -> c2(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_b(z0, z1)) -> c3(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c4(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c5(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_A -> c6
   ENCODE_F(z0) -> c7(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c8(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   C(z0, z1, a) -> c9(F(b(b(f(z0), z0), z1)), B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0), F(z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(F(b(c(f(a), z0, z1), z1)), B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1), F(a))
   F(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> c11
S tuples:
   C(z0, z1, a) -> c9(F(b(b(f(z0), z0), z1)), B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0), F(z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(F(b(c(f(a), z0, z1), z1)), B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1), F(a))
   F(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> c11
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   c_3, b_2, f_1, encArg_1, encode_c_3, encode_a, encode_f_1, encode_b_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_C_3, ENCODE_A, ENCODE_F_1, ENCODE_B_2, C_3, B_2, F_1

Compound Symbols:   c1, c2_4, c3_3, c4_2, c5_4, c6, c7_2, c8_3, c9_4, c10_4, c11


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 3 trailing nodes:
   ENCODE_A -> c6
   F(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> c11
   ENCARG(a) -> c1

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(z0, z1, z2)) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_b(z0, z1)) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encode_c(z0, z1, z2) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_a -> a
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_b(z0, z1) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   c(z0, z1, a) -> f(b(b(f(z0), z0), z1))
   b(z0, b(z1, a)) -> f(b(c(f(a), z0, z1), z1))
   f(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_c(z0, z1, z2)) -> c2(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_b(z0, z1)) -> c3(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c4(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c5(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_F(z0) -> c7(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c8(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   C(z0, z1, a) -> c9(F(b(b(f(z0), z0), z1)), B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0), F(z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(F(b(c(f(a), z0, z1), z1)), B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1), F(a))
S tuples:
   C(z0, z1, a) -> c9(F(b(b(f(z0), z0), z1)), B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0), F(z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(F(b(c(f(a), z0, z1), z1)), B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1), F(a))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   c_3, b_2, f_1, encArg_1, encode_c_3, encode_a, encode_f_1, encode_b_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_C_3, ENCODE_F_1, ENCODE_B_2, C_3, B_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c4_2, c5_4, c7_2, c8_3, c9_4, c10_4


----------------------------------------

(9) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Removed 6 trailing tuple parts
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(z0, z1, z2)) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_b(z0, z1)) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encode_c(z0, z1, z2) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_a -> a
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_b(z0, z1) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   c(z0, z1, a) -> f(b(b(f(z0), z0), z1))
   b(z0, b(z1, a)) -> f(b(c(f(a), z0, z1), z1))
   f(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_c(z0, z1, z2)) -> c2(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_b(z0, z1)) -> c3(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c5(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c8(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0) -> c7(ENCARG(z0))
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
S tuples:
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   c_3, b_2, f_1, encArg_1, encode_c_3, encode_a, encode_f_1, encode_b_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_C_3, ENCODE_B_2, ENCODE_F_1, C_3, B_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c5_4, c8_3, c4_1, c7_1, c9_2, c10_2


----------------------------------------

(11) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(z0, z1, z2)) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_b(z0, z1)) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encode_c(z0, z1, z2) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_a -> a
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_b(z0, z1) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   c(z0, z1, a) -> f(b(b(f(z0), z0), z1))
   b(z0, b(z1, a)) -> f(b(c(f(a), z0, z1), z1))
   f(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_c(z0, z1, z2)) -> c2(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_b(z0, z1)) -> c3(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0) -> c7(ENCARG(z0))
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z1))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z2))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(B(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(ENCARG(z1))
S tuples:
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   c_3, b_2, f_1, encArg_1, encode_c_3, encode_a, encode_f_1, encode_b_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_1, C_3, B_2, ENCODE_C_3, ENCODE_B_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c4_1, c7_1, c9_2, c10_2, c1_1


----------------------------------------

(13) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 6 leading nodes:
   ENCODE_F(z0) -> c7(ENCARG(z0))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z1))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z2))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(ENCARG(z1))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(z0, z1, z2)) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_b(z0, z1)) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encode_c(z0, z1, z2) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_a -> a
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_b(z0, z1) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   c(z0, z1, a) -> f(b(b(f(z0), z0), z1))
   b(z0, b(z1, a)) -> f(b(c(f(a), z0, z1), z1))
   f(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons_c(z0, z1, z2)) -> c2(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_b(z0, z1)) -> c3(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(B(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   c_3, b_2, f_1, encArg_1, encode_c_3, encode_a, encode_f_1, encode_b_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, C_3, B_2, ENCODE_C_3, ENCODE_B_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c4_1, c9_2, c10_2, c1_1


----------------------------------------

(15) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_c(z0, z1, z2) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_a -> a
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_b(z0, z1) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   f(c(c(z0, a, a), z1, a)) -> z0

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(z0, z1, z2)) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_b(z0, z1)) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   c(z0, z1, a) -> f(b(b(f(z0), z0), z1))
   b(z0, b(z1, a)) -> f(b(c(f(a), z0, z1), z1))
Tuples:
   ENCARG(cons_c(z0, z1, z2)) -> c2(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_b(z0, z1)) -> c3(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(B(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, c_3, b_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, C_3, B_2, ENCODE_C_3, ENCODE_B_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c4_1, c9_2, c10_2, c1_1


----------------------------------------

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:
   b(z0, b(z1, a)) -> f(b(c(f(a), z0, z1), z1))
   encArg(cons_b(z0, z1)) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_c(z0, z1, z2)) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   c(z0, z1, a) -> f(b(b(f(z0), z0), z1))
   encArg(a) -> a
And the Tuples:
   ENCARG(cons_c(z0, z1, z2)) -> c2(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_b(z0, z1)) -> c3(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(B(encArg(z0), encArg(z1)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(B(x_1, x_2)) = [2]x_1 + [2]x_2
   POL(C(x_1, x_2, x_3)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_1*x_3
   POL(ENCARG(x_1)) = [2]x_1 + x_1^2
   POL(ENCODE_B(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_C(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(a) = [2]
   POL(b(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c(x_1, x_2, x_3)) = [1]
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c3(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c4(x_1)) = x_1
   POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_b(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_c(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_f(x_1)) = x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1)) = 0

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(a) -> a
   encArg(cons_c(z0, z1, z2)) -> c(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_b(z0, z1)) -> b(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   c(z0, z1, a) -> f(b(b(f(z0), z0), z1))
   b(z0, b(z1, a)) -> f(b(c(f(a), z0, z1), z1))
Tuples:
   ENCARG(cons_c(z0, z1, z2)) -> c2(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_b(z0, z1)) -> c3(B(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c4(ENCARG(z0))
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
   ENCODE_C(z0, z1, z2) -> c1(C(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_B(z0, z1) -> c1(B(encArg(z0), encArg(z1)))
S tuples:none
K tuples:
   C(z0, z1, a) -> c9(B(b(f(z0), z0), z1), B(f(z0), z0))
   B(z0, b(z1, a)) -> c10(B(c(f(a), z0, z1), z1), C(f(a), z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, c_3, b_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, C_3, B_2, ENCODE_C_3, ENCODE_B_2

Compound Symbols:   c2_4, c3_3, c4_1, c9_2, c10_2, c1_1


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(19) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
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(20)
BOUNDS(1, 1)