/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 276 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 281 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 72 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 50 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 401 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: division(x, y) -> div(x, y, 0) div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0) -> false lt(0, s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0) -> s(0) inc(s(x)) -> s(inc(x)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: division(x, y) -> div(x, y, 0) div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0) -> false lt(0, s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0) -> s(0) inc(s(x)) -> s(inc(x)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: division(x, y) -> div(x, y, 0) div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0) -> false lt(0, s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0) -> s(0) inc(s(x)) -> s(inc(x)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: division(x, y) -> div(x, y, 0') div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0') -> false lt(0', s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0') -> s(0') inc(s(x)) -> s(inc(x)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: division(x, y) -> div(x, y, 0') div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0') -> false lt(0', s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0') -> s(0') inc(s(x)) -> s(inc(x)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc 0' :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encArg :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_0 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc hole_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc1_5 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5 :: Nat -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: div, if, lt, inc, minus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = if lt < div inc < div div < encArg minus < if if < encArg lt < encArg inc < encArg minus < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: division(x, y) -> div(x, y, 0') div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0') -> false lt(0', s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0') -> s(0') inc(s(x)) -> s(inc(x)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc 0' :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encArg :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_0 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc hole_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc1_5 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5 :: Nat -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc Generator Equations: gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0) <=> 0' gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: lt, div, if, inc, minus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = if lt < div inc < div div < encArg minus < if if < encArg lt < encArg inc < encArg minus < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: lt(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5)) -> false, rt in Omega(1 + n4_5) Induction Base: lt(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0)) ->_R^Omega(1) false Induction Step: lt(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(n4_5, 1)), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1) lt(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5)) ->_IH false We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: division(x, y) -> div(x, y, 0') div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0') -> false lt(0', s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0') -> s(0') inc(s(x)) -> s(inc(x)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc 0' :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encArg :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_0 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc hole_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc1_5 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5 :: Nat -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc Generator Equations: gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0) <=> 0' gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: lt, div, if, inc, minus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = if lt < div inc < div div < encArg minus < if if < encArg lt < encArg inc < encArg minus < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: division(x, y) -> div(x, y, 0') div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0') -> false lt(0', s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0') -> s(0') inc(s(x)) -> s(inc(x)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc 0' :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encArg :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_0 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc hole_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc1_5 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5 :: Nat -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc Lemmas: lt(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5)) -> false, rt in Omega(1 + n4_5) Generator Equations: gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0) <=> 0' gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: inc, div, if, minus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = if inc < div div < encArg minus < if if < encArg inc < encArg minus < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: inc(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n562_5)) -> gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(1, n562_5)), rt in Omega(1 + n562_5) Induction Base: inc(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0)) ->_R^Omega(1) s(0') Induction Step: inc(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(n562_5, 1))) ->_R^Omega(1) s(inc(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n562_5))) ->_IH s(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(1, c563_5))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: division(x, y) -> div(x, y, 0') div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0') -> false lt(0', s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0') -> s(0') inc(s(x)) -> s(inc(x)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc 0' :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encArg :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_0 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc hole_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc1_5 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5 :: Nat -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc Lemmas: lt(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5)) -> false, rt in Omega(1 + n4_5) inc(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n562_5)) -> gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(1, n562_5)), rt in Omega(1 + n562_5) Generator Equations: gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0) <=> 0' gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, div, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = if div < encArg minus < if if < encArg minus < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: minus(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n976_5), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n976_5)) -> gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0), rt in Omega(1 + n976_5) Induction Base: minus(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0) Induction Step: minus(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(n976_5, 1)), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(n976_5, 1))) ->_R^Omega(1) minus(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n976_5), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n976_5)) ->_IH gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: division(x, y) -> div(x, y, 0') div(x, y, z) -> if(lt(x, y), x, y, inc(z)) if(true, x, y, z) -> z if(false, x, s(y), z) -> div(minus(x, s(y)), s(y), z) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) lt(x, 0') -> false lt(0', s(y)) -> true lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) inc(0') -> s(0') inc(s(x)) -> s(inc(x)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_division(x_1, x_2)) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2, x_3)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encode_division(x_1, x_2) -> division(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2, x_3) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc 0' :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encArg :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc cons_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_division :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_div :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_0 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_if :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_lt :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_inc :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_true :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_false :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_s :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc encode_minus :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc hole_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc1_5 :: 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5 :: Nat -> 0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc Lemmas: lt(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n4_5)) -> false, rt in Omega(1 + n4_5) inc(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n562_5)) -> gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(1, n562_5)), rt in Omega(1 + n562_5) minus(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n976_5), gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n976_5)) -> gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0), rt in Omega(1 + n976_5) Generator Equations: gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0) <=> 0' gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, div, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = if div < encArg if < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n1843_5)) -> gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n1843_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(+(n1843_5, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(n1843_5))) ->_IH s(gen_0':true:false:s:cons_division:cons_div:cons_if:cons_minus:cons_lt:cons_inc2_5(c1844_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)