/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^2), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 171 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 256 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 24 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 64 ms] (20) BEST (21) proven lower bound (22) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (23) BOUNDS(n^2, INF) (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 78 ms] (26) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: -(x, 0) -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +(0, y) -> y +(s(x), y) -> s(+(x, y)) *(x, 0) -> 0 *(x, s(y)) -> +(x, *(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*(s(x), s(y)), s(*(s(x), y))), *(y, y)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: -(x, 0) -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +(0, y) -> y +(s(x), y) -> s(+(x, y)) *(x, 0) -> 0 *(x, s(y)) -> +(x, *(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*(s(x), s(y)), s(*(s(x), y))), *(y, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: -(x, 0) -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +(0, y) -> y +(s(x), y) -> s(+(x, y)) *(x, 0) -> 0 *(x, s(y)) -> +(x, *(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*(s(x), s(y)), s(*(s(x), y))), *(y, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +'(0', y) -> y +'(s(x), y) -> s(+'(x, y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(x, *'(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*'(s(x), s(y)), s(*'(s(x), y))), *'(y, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +'(0', y) -> y +'(s(x), y) -> s(+'(x, y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(x, *'(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*'(s(x), s(y)), s(*'(s(x), y))), *'(y, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: - :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f 0' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f +' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f *' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encArg :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_0 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f hole_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f1_3 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3 :: Nat -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: -, +', *', f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: - < f - < encArg +' < *' +' < encArg *' < f *' < encArg f < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +'(0', y) -> y +'(s(x), y) -> s(+'(x, y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(x, *'(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*'(s(x), s(y)), s(*'(s(x), y))), *'(y, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: - :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f 0' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f +' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f *' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encArg :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_0 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f hole_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f1_3 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3 :: Nat -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f Generator Equations: gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: -, +', *', f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: - < f - < encArg +' < *' +' < encArg *' < f *' < encArg f < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: -(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: -(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0) Induction Step: -(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n4_3, 1)), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) -(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3)) ->_IH gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +'(0', y) -> y +'(s(x), y) -> s(+'(x, y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(x, *'(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*'(s(x), s(y)), s(*'(s(x), y))), *'(y, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: - :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f 0' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f +' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f *' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encArg :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_0 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f hole_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f1_3 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3 :: Nat -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f Generator Equations: gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: -, +', *', f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: - < f - < encArg +' < *' +' < encArg *' < f *' < encArg f < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +'(0', y) -> y +'(s(x), y) -> s(+'(x, y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(x, *'(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*'(s(x), s(y)), s(*'(s(x), y))), *'(y, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: - :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f 0' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f +' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f *' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encArg :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_0 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f hole_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f1_3 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3 :: Nat -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f Lemmas: -(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', *', f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < *' +' < encArg *' < f *' < encArg f < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: +'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n472_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(b)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n472_3, b)), rt in Omega(1 + n472_3) Induction Base: +'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(b)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(b) Induction Step: +'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n472_3, 1)), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(b)) ->_R^Omega(1) s(+'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n472_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(b))) ->_IH s(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(b, c473_3))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +'(0', y) -> y +'(s(x), y) -> s(+'(x, y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(x, *'(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*'(s(x), s(y)), s(*'(s(x), y))), *'(y, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: - :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f 0' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f +' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f *' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encArg :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_0 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f hole_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f1_3 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3 :: Nat -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f Lemmas: -(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0), rt in Omega(1 + n4_3) +'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n472_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(b)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n472_3, b)), rt in Omega(1 + n472_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: *', f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < f *' < encArg f < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: *'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(a), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n1311_3)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(*(n1311_3, a)), rt in Omega(1 + a*n1311_3 + n1311_3) Induction Base: *'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(a), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: *'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(a), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n1311_3, 1))) ->_R^Omega(1) +'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(a), *'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(a), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n1311_3))) ->_IH +'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(a), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(*(c1312_3, a))) ->_L^Omega(1 + a) gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(a, *(n1311_3, a))) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (20) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (21) Obligation: Proved the lower bound n^2 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +'(0', y) -> y +'(s(x), y) -> s(+'(x, y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(x, *'(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*'(s(x), s(y)), s(*'(s(x), y))), *'(y, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: - :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f 0' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f +' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f *' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encArg :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_0 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f hole_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f1_3 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3 :: Nat -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f Lemmas: -(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0), rt in Omega(1 + n4_3) +'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n472_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(b)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n472_3, b)), rt in Omega(1 + n472_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: *', f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < f *' < encArg f < encArg ---------------------------------------- (22) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (23) BOUNDS(n^2, INF) ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) +'(0', y) -> y +'(s(x), y) -> s(+'(x, y)) *'(x, 0') -> 0' *'(x, s(y)) -> +'(x, *'(x, y)) f(s(x), y) -> f(-(*'(s(x), s(y)), s(*'(s(x), y))), *'(y, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: - :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f 0' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f +' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f *' :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encArg :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f cons_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_- :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_0 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_s :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_+ :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_* :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f encode_f :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f hole_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f1_3 :: 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3 :: Nat -> 0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f Lemmas: -(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n4_3)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0), rt in Omega(1 + n4_3) +'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n472_3), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(b)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n472_3, b)), rt in Omega(1 + n472_3) *'(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(a), gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n1311_3)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(*(n1311_3, a)), rt in Omega(1 + a*n1311_3 + n1311_3) Generator Equations: gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0) <=> 0' gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: f < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n2642_3)) -> gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n2642_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(+(n2642_3, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(n2642_3))) ->_IH s(gen_0':s:cons_-:cons_+:cons_*:cons_f2_3(c2643_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (26) BOUNDS(1, INF)