/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 352 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 286 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 18 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 11 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 4168 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0) -> s(0) logarithm(x) -> logIter(x, 0) logIter(x, y) -> if(le(s(0), x), le(s(s(0)), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0) -> s(0) logarithm(x) -> logIter(x, 0) logIter(x, y) -> if(le(s(0), x), le(s(s(0)), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: half(0) -> 0 half(s(0)) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0) -> s(0) logarithm(x) -> logIter(x, 0) logIter(x, y) -> if(le(s(0), x), le(s(s(0)), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0') -> s(0') logarithm(x) -> logIter(x, 0') logIter(x, y) -> if(le(s(0'), x), le(s(s(0')), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0') -> s(0') logarithm(x) -> logIter(x, 0') logIter(x, y) -> if(le(s(0'), x), le(s(s(0')), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Types: half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f 0' :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encArg :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_0 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f hole_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: half, le, inc, logIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: half < logIter half < encArg le < logIter le < encArg inc < logIter inc < encArg logIter = if logIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0') -> s(0') logarithm(x) -> logIter(x, 0') logIter(x, y) -> if(le(s(0'), x), le(s(s(0')), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Types: half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f 0' :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encArg :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_0 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f hole_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f Generator Equations: gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: half, le, inc, logIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: half < logIter half < encArg le < logIter le < encArg inc < logIter inc < encArg logIter = if logIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: half(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(*(2, n4_5))) -> gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n4_5), rt in Omega(1 + n4_5) Induction Base: half(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(*(2, 0))) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: half(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(*(2, +(n4_5, 1)))) ->_R^Omega(1) s(half(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(*(2, n4_5)))) ->_IH s(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(c5_5)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0') -> s(0') logarithm(x) -> logIter(x, 0') logIter(x, y) -> if(le(s(0'), x), le(s(s(0')), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Types: half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f 0' :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encArg :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_0 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f hole_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f Generator Equations: gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: half, le, inc, logIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: half < logIter half < encArg le < logIter le < encArg inc < logIter inc < encArg logIter = if logIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0') -> s(0') logarithm(x) -> logIter(x, 0') logIter(x, y) -> if(le(s(0'), x), le(s(s(0')), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Types: half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f 0' :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encArg :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_0 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f hole_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f Lemmas: half(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(*(2, n4_5))) -> gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n4_5), rt in Omega(1 + n4_5) Generator Equations: gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, inc, logIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: le < logIter le < encArg inc < logIter inc < encArg logIter = if logIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: le(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n602_5), gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n602_5)) -> true, rt in Omega(1 + n602_5) Induction Base: le(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0), gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: le(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(n602_5, 1)), gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(n602_5, 1))) ->_R^Omega(1) le(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n602_5), gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n602_5)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0') -> s(0') logarithm(x) -> logIter(x, 0') logIter(x, y) -> if(le(s(0'), x), le(s(s(0')), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Types: half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f 0' :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encArg :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_0 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f hole_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f Lemmas: half(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(*(2, n4_5))) -> gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n4_5), rt in Omega(1 + n4_5) le(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n602_5), gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n602_5)) -> true, rt in Omega(1 + n602_5) Generator Equations: gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: inc, logIter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: inc < logIter inc < encArg logIter = if logIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: inc(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n1311_5)) -> gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(1, n1311_5)), rt in Omega(1 + n1311_5) Induction Base: inc(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0)) ->_R^Omega(1) s(0') Induction Step: inc(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(n1311_5, 1))) ->_R^Omega(1) s(inc(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n1311_5))) ->_IH s(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(1, c1312_5))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: half(0') -> 0' half(s(0')) -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(s(x)) -> s(inc(x)) inc(0') -> s(0') logarithm(x) -> logIter(x, 0') logIter(x, y) -> if(le(s(0'), x), le(s(s(0')), x), half(x), inc(y)) if(false, b, x, y) -> logZeroError if(true, false, x, s(y)) -> y if(true, true, x, y) -> logIter(x, y) f -> g f -> h encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(logZeroError) -> logZeroError encArg(g) -> g encArg(h) -> h encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_logarithm(x_1)) -> logarithm(encArg(x_1)) encArg(cons_logIter(x_1, x_2)) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f) -> f encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_logarithm(x_1) -> logarithm(encArg(x_1)) encode_logIter(x_1, x_2) -> logIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_logZeroError -> logZeroError encode_f -> f encode_g -> g encode_h -> h Types: half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f 0' :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encArg :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f cons_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_half :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_0 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_s :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_le :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_true :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_false :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_inc :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logarithm :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logIter :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_if :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_logZeroError :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_f :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_g :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f encode_h :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f hole_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f Lemmas: half(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(*(2, n4_5))) -> gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n4_5), rt in Omega(1 + n4_5) le(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n602_5), gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n602_5)) -> true, rt in Omega(1 + n602_5) inc(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n1311_5)) -> gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(1, n1311_5)), rt in Omega(1 + n1311_5) Generator Equations: gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, logIter, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: logIter = if logIter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n2011_5)) -> gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n2011_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(+(n2011_5, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(n2011_5))) ->_IH s(gen_0':s:true:false:logZeroError:g:h:cons_half:cons_le:cons_inc:cons_logarithm:cons_logIter:cons_if:cons_f2_5(c2012_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)