/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 270 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 7 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 253 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 48 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 76 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 383 ms]
        (22) BEST
            (23) proven lower bound
                (24) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (25) BOUNDS(n^2, INF)
            (26) typed CpxTrs
                (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 707 ms]
                (28) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   isEmpty(nil) -> true
   isEmpty(cons(x, xs)) -> false
   last(cons(x, nil)) -> x
   last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
   dropLast(nil) -> nil
   dropLast(cons(x, nil)) -> nil
   dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
   append(nil, ys) -> ys
   append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
   reverse(xs) -> rev(xs, nil)
   rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
   if(true, xs, ys, zs) -> zs
   if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(true) -> true
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
   encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
   encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
   encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
   encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_true -> true
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_false -> false
   encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
   encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
   encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
   encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   isEmpty(nil) -> true
   isEmpty(cons(x, xs)) -> false
   last(cons(x, nil)) -> x
   last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
   dropLast(nil) -> nil
   dropLast(cons(x, nil)) -> nil
   dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
   append(nil, ys) -> ys
   append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
   reverse(xs) -> rev(xs, nil)
   rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
   if(true, xs, ys, zs) -> zs
   if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(true) -> true
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
   encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
   encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
   encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
   encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_true -> true
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_false -> false
   encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
   encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
   encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
   encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   isEmpty(nil) -> true
   isEmpty(cons(x, xs)) -> false
   last(cons(x, nil)) -> x
   last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
   dropLast(nil) -> nil
   dropLast(cons(x, nil)) -> nil
   dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
   append(nil, ys) -> ys
   append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
   reverse(xs) -> rev(xs, nil)
   rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
   if(true, xs, ys, zs) -> zs
   if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(true) -> true
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
   encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
   encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
   encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
   encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_true -> true
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_false -> false
   encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
   encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
   encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
   encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   isEmpty(nil) -> true
   isEmpty(cons(x, xs)) -> false
   last(cons(x, nil)) -> x
   last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
   dropLast(nil) -> nil
   dropLast(cons(x, nil)) -> nil
   dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
   append(nil, ys) -> ys
   append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
   reverse(xs) -> rev(xs, nil)
   rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
   if(true, xs, ys, zs) -> zs
   if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(true) -> true
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
   encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
   encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
   encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
   encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_true -> true
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_false -> false
   encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
   encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
   encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
   encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
isEmpty(nil) -> true
isEmpty(cons(x, xs)) -> false
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
dropLast(nil) -> nil
dropLast(cons(x, nil)) -> nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) -> ys
append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) -> rev(xs, nil)
rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) -> zs
if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)
encArg(nil) -> nil
encArg(true) -> true
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(false) -> false
encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_true -> true
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_false -> false
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encArg :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
hole_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if1_0 :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
last, dropLast, append, rev, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
last < rev
last < encArg
dropLast < rev
dropLast < encArg
append < rev
append < encArg
rev = if
rev < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
isEmpty(nil) -> true
isEmpty(cons(x, xs)) -> false
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
dropLast(nil) -> nil
dropLast(cons(x, nil)) -> nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) -> ys
append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) -> rev(xs, nil)
rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) -> zs
if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)
encArg(nil) -> nil
encArg(true) -> true
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(false) -> false
encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_true -> true
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_false -> false
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encArg :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
hole_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if1_0 :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if


Generator Equations:
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0) <=> nil
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
last, dropLast, append, rev, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
last < rev
last < encArg
dropLast < rev
dropLast < encArg
append < rev
append < encArg
rev = if
rev < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n4_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), rt in Omega(1 + n4_0)

Induction Base:
last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, 0))) ->_R^Omega(1)
nil

Induction Step:
last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, +(n4_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
last(cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n4_0))) ->_IH
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
isEmpty(nil) -> true
isEmpty(cons(x, xs)) -> false
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
dropLast(nil) -> nil
dropLast(cons(x, nil)) -> nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) -> ys
append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) -> rev(xs, nil)
rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) -> zs
if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)
encArg(nil) -> nil
encArg(true) -> true
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(false) -> false
encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_true -> true
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_false -> false
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encArg :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
hole_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if1_0 :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if


Generator Equations:
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0) <=> nil
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
last, dropLast, append, rev, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
last < rev
last < encArg
dropLast < rev
dropLast < encArg
append < rev
append < encArg
rev = if
rev < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
isEmpty(nil) -> true
isEmpty(cons(x, xs)) -> false
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
dropLast(nil) -> nil
dropLast(cons(x, nil)) -> nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) -> ys
append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) -> rev(xs, nil)
rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) -> zs
if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)
encArg(nil) -> nil
encArg(true) -> true
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(false) -> false
encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_true -> true
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_false -> false
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encArg :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
hole_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if1_0 :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if


Lemmas:
last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n4_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), rt in Omega(1 + n4_0)


Generator Equations:
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0) <=> nil
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
dropLast, append, rev, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
dropLast < rev
dropLast < encArg
append < rev
append < encArg
rev = if
rev < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n425_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n425_0), rt in Omega(1 + n425_0)

Induction Base:
dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, 0))) ->_R^Omega(1)
nil

Induction Step:
dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, +(n425_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
cons(nil, dropLast(cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n425_0)))) ->_IH
cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(c426_0))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
isEmpty(nil) -> true
isEmpty(cons(x, xs)) -> false
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
dropLast(nil) -> nil
dropLast(cons(x, nil)) -> nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) -> ys
append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) -> rev(xs, nil)
rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) -> zs
if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)
encArg(nil) -> nil
encArg(true) -> true
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(false) -> false
encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_true -> true
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_false -> false
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encArg :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
hole_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if1_0 :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if


Lemmas:
last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n4_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), rt in Omega(1 + n4_0)
dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n425_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n425_0), rt in Omega(1 + n425_0)


Generator Equations:
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0) <=> nil
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
append, rev, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
append < rev
append < encArg
rev = if
rev < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n1000_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(b)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n1000_0, b)), rt in Omega(1 + n1000_0)

Induction Base:
append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(b)) ->_R^Omega(1)
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(b)

Induction Step:
append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n1000_0, 1)), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(b)) ->_R^Omega(1)
cons(nil, append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n1000_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(b))) ->_IH
cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(b, c1001_0)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
isEmpty(nil) -> true
isEmpty(cons(x, xs)) -> false
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
dropLast(nil) -> nil
dropLast(cons(x, nil)) -> nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) -> ys
append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) -> rev(xs, nil)
rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) -> zs
if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)
encArg(nil) -> nil
encArg(true) -> true
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(false) -> false
encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_true -> true
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_false -> false
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encArg :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
hole_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if1_0 :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if


Lemmas:
last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n4_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), rt in Omega(1 + n4_0)
dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n425_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n425_0), rt in Omega(1 + n425_0)
append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n1000_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(b)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n1000_0, b)), rt in Omega(1 + n1000_0)


Generator Equations:
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0) <=> nil
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, rev, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = if
rev < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
rev(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n2304_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), rt in Omega(1 + n2304_0 + n2304_0^2)

Induction Base:
rev(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(1)
if(isEmpty(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)), dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)), append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0))), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(1)
if(true, dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)), append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0))), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(1)
if(true, nil, append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0))), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(1)
if(true, nil, last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(1)
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)

Induction Step:
rev(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n2304_0, 1)), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(1)
if(isEmpty(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n2304_0, 1))), dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n2304_0, 1))), append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n2304_0, 1)))), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(1)
if(false, dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n2304_0))), append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n2304_0)))), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_L^Omega(1 + n2304_0)
if(false, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n2304_0), append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n2304_0)))), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_L^Omega(1 + n2304_0)
if(false, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n2304_0), append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_L^Omega(1)
if(false, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n2304_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(0, 0)), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(1)
rev(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n2304_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_IH
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(22)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(23)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
isEmpty(nil) -> true
isEmpty(cons(x, xs)) -> false
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
dropLast(nil) -> nil
dropLast(cons(x, nil)) -> nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) -> ys
append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) -> rev(xs, nil)
rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) -> zs
if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)
encArg(nil) -> nil
encArg(true) -> true
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(false) -> false
encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_true -> true
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_false -> false
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encArg :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
hole_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if1_0 :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if


Lemmas:
last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n4_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), rt in Omega(1 + n4_0)
dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n425_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n425_0), rt in Omega(1 + n425_0)
append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n1000_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(b)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n1000_0, b)), rt in Omega(1 + n1000_0)


Generator Equations:
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0) <=> nil
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
rev, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = if
rev < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(24) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(25)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
isEmpty(nil) -> true
isEmpty(cons(x, xs)) -> false
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, ys))) -> last(cons(y, ys))
dropLast(nil) -> nil
dropLast(cons(x, nil)) -> nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) -> cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) -> ys
append(cons(x, xs), ys) -> cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) -> rev(xs, nil)
rev(xs, ys) -> if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) -> zs
if(false, xs, ys, zs) -> rev(xs, ys)
encArg(nil) -> nil
encArg(true) -> true
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(false) -> false
encArg(cons_isEmpty(x_1)) -> isEmpty(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_dropLast(x_1)) -> dropLast(encArg(x_1))
encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encArg(cons_rev(x_1, x_2)) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_isEmpty(x_1) -> isEmpty(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_true -> true
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_false -> false
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_dropLast(x_1) -> dropLast(encArg(x_1))
encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))
encode_rev(x_1, x_2) -> rev(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encArg :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
cons_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_isEmpty :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_true :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_false :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_last :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_dropLast :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_append :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_reverse :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_rev :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
encode_if :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
hole_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if1_0 :: nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if


Lemmas:
last(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n4_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), rt in Omega(1 + n4_0)
dropLast(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(1, n425_0))) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n425_0), rt in Omega(1 + n425_0)
append(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n1000_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(b)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n1000_0, b)), rt in Omega(1 + n1000_0)
rev(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n2304_0), gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0), rt in Omega(1 + n2304_0 + n2304_0^2)


Generator Equations:
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0) <=> nil
gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = if
rev < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n8532_0)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n8532_0), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(0)) ->_R^Omega(0)
nil

Induction Step:
encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(+(n8532_0, 1))) ->_R^Omega(0)
cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n8532_0))) ->_R^Omega(0)
cons(nil, encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(n8532_0))) ->_IH
cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_isEmpty:cons_last:cons_dropLast:cons_append:cons_reverse:cons_rev:cons_if2_0(c8533_0))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(1, INF)