/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 501 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 5 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 531 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 5189 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, N) -> activate(N) U21(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) and(tt, X) -> activate(X) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> and(isNat(activate(V1)), n__isNat(activate(V2))) isNat(n__s(V1)) -> isNat(activate(V1)) plus(N, 0) -> U11(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U21(and(isNat(M), n__isNat(N)), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) isNat(X) -> n__isNat(X) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNat(X)) -> isNat(X) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNat(x_1)) -> n__isNat(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNat(x_1) -> n__isNat(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, N) -> activate(N) U21(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) and(tt, X) -> activate(X) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> and(isNat(activate(V1)), n__isNat(activate(V2))) isNat(n__s(V1)) -> isNat(activate(V1)) plus(N, 0) -> U11(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U21(and(isNat(M), n__isNat(N)), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) isNat(X) -> n__isNat(X) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNat(X)) -> isNat(X) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNat(x_1)) -> n__isNat(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNat(x_1) -> n__isNat(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, N) -> activate(N) U21(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) and(tt, X) -> activate(X) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> and(isNat(activate(V1)), n__isNat(activate(V2))) isNat(n__s(V1)) -> isNat(activate(V1)) plus(N, 0) -> U11(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U21(and(isNat(M), n__isNat(N)), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) isNat(X) -> n__isNat(X) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNat(X)) -> isNat(X) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNat(x_1)) -> n__isNat(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNat(x_1) -> n__isNat(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, N) -> activate(N) U21(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) and(tt, X) -> activate(X) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> and(isNat(activate(V1)), n__isNat(activate(V2))) isNat(n__s(V1)) -> isNat(activate(V1)) plus(N, 0') -> U11(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U21(and(isNat(M), n__isNat(N)), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) isNat(X) -> n__isNat(X) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNat(X)) -> isNat(X) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNat(x_1)) -> n__isNat(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNat(x_1) -> n__isNat(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: U11(tt, N) -> activate(N) U21(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) and(tt, X) -> activate(X) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> and(isNat(activate(V1)), n__isNat(activate(V2))) isNat(n__s(V1)) -> isNat(activate(V1)) plus(N, 0') -> U11(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U21(and(isNat(M), n__isNat(N)), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) isNat(X) -> n__isNat(X) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNat(X)) -> isNat(X) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(X) -> X encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNat(x_1)) -> n__isNat(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNat(x_1) -> n__isNat(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Types: U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate hole_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: U11, activate, U21, plus, and, isNat, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 = activate U11 = U21 U11 = plus U11 = and U11 = isNat U11 < encArg activate = U21 activate = plus activate = and activate = isNat activate < encArg U21 = plus U21 = and U21 = isNat U21 < encArg plus = and plus = isNat plus < encArg and = isNat and < encArg isNat < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: U11(tt, N) -> activate(N) U21(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) and(tt, X) -> activate(X) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> and(isNat(activate(V1)), n__isNat(activate(V2))) isNat(n__s(V1)) -> isNat(activate(V1)) plus(N, 0') -> U11(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U21(and(isNat(M), n__isNat(N)), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) isNat(X) -> n__isNat(X) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNat(X)) -> isNat(X) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(X) -> X encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNat(x_1)) -> n__isNat(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNat(x_1) -> n__isNat(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Types: U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate hole_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate Generator Equations: gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> tt gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x), tt) The following defined symbols remain to be analysed: activate, U11, U21, plus, and, isNat, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 = activate U11 = U21 U11 = plus U11 = and U11 = isNat U11 < encArg activate = U21 activate = plus activate = and activate = isNat activate < encArg U21 = plus U21 = and U21 = isNat U21 < encArg plus = and plus = isNat plus < encArg and = isNat and < encArg isNat < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, 0))) Induction Step: activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) plus(activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))), activate(tt)) ->_IH plus(*3_4, activate(tt)) ->_R^Omega(1) plus(*3_4, tt) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: U11(tt, N) -> activate(N) U21(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) and(tt, X) -> activate(X) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> and(isNat(activate(V1)), n__isNat(activate(V2))) isNat(n__s(V1)) -> isNat(activate(V1)) plus(N, 0') -> U11(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U21(and(isNat(M), n__isNat(N)), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) isNat(X) -> n__isNat(X) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNat(X)) -> isNat(X) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(X) -> X encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNat(x_1)) -> n__isNat(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNat(x_1) -> n__isNat(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Types: U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate hole_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate Generator Equations: gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> tt gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x), tt) The following defined symbols remain to be analysed: activate, U11, U21, plus, and, isNat, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 = activate U11 = U21 U11 = plus U11 = and U11 = isNat U11 < encArg activate = U21 activate = plus activate = and activate = isNat activate < encArg U21 = plus U21 = and U21 = isNat U21 < encArg plus = and plus = isNat plus < encArg and = isNat and < encArg isNat < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: U11(tt, N) -> activate(N) U21(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) and(tt, X) -> activate(X) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> and(isNat(activate(V1)), n__isNat(activate(V2))) isNat(n__s(V1)) -> isNat(activate(V1)) plus(N, 0') -> U11(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U21(and(isNat(M), n__isNat(N)), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) isNat(X) -> n__isNat(X) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNat(X)) -> isNat(X) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(X) -> X encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNat(x_1)) -> n__isNat(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNat(x_1) -> n__isNat(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Types: U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_and :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate hole_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate Lemmas: activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> tt gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x), tt) The following defined symbols remain to be analysed: plus, U11, U21, and, isNat, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 = activate U11 = U21 U11 = plus U11 = and U11 = isNat U11 < encArg activate = U21 activate = plus activate = and activate = isNat activate < encArg U21 = plus U21 = and U21 = isNat U21 < encArg plus = and plus = isNat plus < encArg and = isNat and < encArg isNat < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n11477_4)) -> gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n11477_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(0) tt Induction Step: encArg(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n11477_4, 1))) ->_R^Omega(0) n__plus(encArg(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n11477_4)), encArg(tt)) ->_IH n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(c11478_4), encArg(tt)) ->_R^Omega(0) n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNat:n__s:cons_U11:cons_U21:cons_and:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n11477_4), tt) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)