/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 317 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 468 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 162 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 112 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 137 ms]
        (22) typed CpxTrs
        (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 98 ms]
        (24) typed CpxTrs
        (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 2090 ms]
        (26) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(fst(0, Z)) -> mark(nil)
   active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
   active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
   active(add(0, X)) -> mark(X)
   active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
   active(len(nil)) -> mark(0)
   active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
   active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
   active(from(X)) -> from(active(X))
   active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
   active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
   active(len(X)) -> len(active(X))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
   fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
   from(mark(X)) -> mark(from(X))
   add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
   add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
   len(mark(X)) -> mark(len(X))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(nil) -> ok(nil)
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
   proper(from(X)) -> from(proper(X))
   proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
   proper(len(X)) -> len(proper(X))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
   from(ok(X)) -> ok(from(X))
   add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
   len(ok(X)) -> ok(len(X))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
   encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(fst(0, Z)) -> mark(nil)
   active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
   active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
   active(add(0, X)) -> mark(X)
   active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
   active(len(nil)) -> mark(0)
   active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
   active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
   active(from(X)) -> from(active(X))
   active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
   active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
   active(len(X)) -> len(active(X))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
   fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
   from(mark(X)) -> mark(from(X))
   add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
   add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
   len(mark(X)) -> mark(len(X))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(nil) -> ok(nil)
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
   proper(from(X)) -> from(proper(X))
   proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
   proper(len(X)) -> len(proper(X))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
   from(ok(X)) -> ok(from(X))
   add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
   len(ok(X)) -> ok(len(X))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
   encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(fst(0, Z)) -> mark(nil)
   active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
   active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
   active(add(0, X)) -> mark(X)
   active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
   active(len(nil)) -> mark(0)
   active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
   active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
   active(from(X)) -> from(active(X))
   active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
   active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
   active(len(X)) -> len(active(X))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
   fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
   from(mark(X)) -> mark(from(X))
   add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
   add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
   len(mark(X)) -> mark(len(X))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(nil) -> ok(nil)
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
   proper(from(X)) -> from(proper(X))
   proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
   proper(len(X)) -> len(proper(X))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
   from(ok(X)) -> ok(from(X))
   add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
   len(ok(X)) -> ok(len(X))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
   encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
   active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
   active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
   active(add(0', X)) -> mark(X)
   active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
   active(len(nil)) -> mark(0')
   active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
   active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
   active(from(X)) -> from(active(X))
   active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
   active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
   active(len(X)) -> len(active(X))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
   fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
   from(mark(X)) -> mark(from(X))
   add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
   add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
   len(mark(X)) -> mark(len(X))
   proper(0') -> ok(0')
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(nil) -> ok(nil)
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
   proper(from(X)) -> from(proper(X))
   proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
   proper(len(X)) -> len(proper(X))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
   from(ok(X)) -> ok(from(X))
   add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
   len(ok(X)) -> ok(len(X))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
   encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(add(0', X)) -> mark(X)
active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
active(len(nil)) -> mark(0')
active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
active(len(X)) -> len(active(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
len(mark(X)) -> mark(len(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(nil) -> ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
proper(len(X)) -> len(proper(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
len(ok(X)) -> ok(len(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
0' :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encArg :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_0 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
hole_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active, cons, fst, from, s, add, len, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
fst < active
from < active
s < active
add < active
len < active
active < top
active < encArg
cons < proper
cons < encArg
fst < proper
fst < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
add < proper
add < encArg
len < proper
len < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(add(0', X)) -> mark(X)
active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
active(len(nil)) -> mark(0')
active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
active(len(X)) -> len(active(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
len(mark(X)) -> mark(len(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(nil) -> ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
proper(len(X)) -> len(proper(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
len(ok(X)) -> ok(len(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
0' :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encArg :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_0 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
hole_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top


Generator Equations:
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0'
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, fst, from, s, add, len, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
fst < active
from < active
s < active
add < active
len < active
active < top
active < encArg
cons < proper
cons < encArg
fst < proper
fst < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
add < proper
add < encArg
len < proper
len < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3)

Induction Base:
cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))

Induction Step:
cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1)
mark(cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))) ->_IH
mark(*3_3)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(add(0', X)) -> mark(X)
active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
active(len(nil)) -> mark(0')
active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
active(len(X)) -> len(active(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
len(mark(X)) -> mark(len(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(nil) -> ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
proper(len(X)) -> len(proper(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
len(ok(X)) -> ok(len(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
0' :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encArg :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_0 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
hole_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top


Generator Equations:
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0'
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, fst, from, s, add, len, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
fst < active
from < active
s < active
add < active
len < active
active < top
active < encArg
cons < proper
cons < encArg
fst < proper
fst < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
add < proper
add < encArg
len < proper
len < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(add(0', X)) -> mark(X)
active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
active(len(nil)) -> mark(0')
active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
active(len(X)) -> len(active(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
len(mark(X)) -> mark(len(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(nil) -> ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
proper(len(X)) -> len(proper(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
len(ok(X)) -> ok(len(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
0' :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encArg :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_0 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
hole_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3)


Generator Equations:
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0'
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
fst, active, from, s, add, len, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst < active
from < active
s < active
add < active
len < active
active < top
active < encArg
fst < proper
fst < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
add < proper
add < encArg
len < proper
len < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
fst(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1701_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1701_3)

Induction Base:
fst(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))

Induction Step:
fst(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n1701_3, 1))), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1)
mark(fst(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1701_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))) ->_IH
mark(*3_3)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(add(0', X)) -> mark(X)
active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
active(len(nil)) -> mark(0')
active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
active(len(X)) -> len(active(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
len(mark(X)) -> mark(len(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(nil) -> ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
proper(len(X)) -> len(proper(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
len(ok(X)) -> ok(len(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
0' :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encArg :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_0 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
hole_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3)
fst(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1701_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1701_3)


Generator Equations:
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0'
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
from, active, s, add, len, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
from < active
s < active
add < active
len < active
active < top
active < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
add < proper
add < encArg
len < proper
len < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
from(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3773_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3773_3)

Induction Base:
from(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0)))

Induction Step:
from(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n3773_3, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(from(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3773_3)))) ->_IH
mark(*3_3)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(add(0', X)) -> mark(X)
active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
active(len(nil)) -> mark(0')
active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
active(len(X)) -> len(active(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
len(mark(X)) -> mark(len(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(nil) -> ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
proper(len(X)) -> len(proper(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
len(ok(X)) -> ok(len(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
0' :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encArg :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_0 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
hole_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3)
fst(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1701_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1701_3)
from(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3773_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3773_3)


Generator Equations:
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0'
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, add, len, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
add < active
len < active
active < top
active < encArg
s < proper
s < encArg
add < proper
add < encArg
len < proper
len < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
add(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4737_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4737_3)

Induction Base:
add(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))

Induction Step:
add(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n4737_3, 1))), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1)
mark(add(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4737_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))) ->_IH
mark(*3_3)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(add(0', X)) -> mark(X)
active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
active(len(nil)) -> mark(0')
active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
active(len(X)) -> len(active(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
len(mark(X)) -> mark(len(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(nil) -> ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
proper(len(X)) -> len(proper(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
len(ok(X)) -> ok(len(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
0' :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encArg :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_0 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
hole_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3)
fst(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1701_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1701_3)
from(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3773_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3773_3)
add(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4737_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4737_3)


Generator Equations:
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0'
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
len, active, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
len < active
active < top
active < encArg
len < proper
len < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
len(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n7319_3))) -> *3_3, rt in Omega(n7319_3)

Induction Base:
len(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0)))

Induction Step:
len(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n7319_3, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(len(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n7319_3)))) ->_IH
mark(*3_3)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(fst(0', Z)) -> mark(nil)
active(fst(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, fst(X, Z)))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(add(0', X)) -> mark(X)
active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y)))
active(len(nil)) -> mark(0')
active(len(cons(X, Z))) -> mark(s(len(Z)))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(active(X1), X2)
active(fst(X1, X2)) -> fst(X1, active(X2))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2))
active(len(X)) -> len(active(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
fst(mark(X1), X2) -> mark(fst(X1, X2))
fst(X1, mark(X2)) -> mark(fst(X1, X2))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2))
len(mark(X)) -> mark(len(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(nil) -> ok(nil)
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(fst(X1, X2)) -> fst(proper(X1), proper(X2))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2))
proper(len(X)) -> len(proper(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
fst(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fst(X1, X2))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2))
len(ok(X)) -> ok(len(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fst(x_1, x_2)) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_len(x_1)) -> len(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_fst(x_1, x_2) -> fst(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_len(x_1) -> len(encArg(x_1))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
0' :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encArg :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
cons_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_active :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_fst :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_0 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_mark :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_nil :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_s :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_cons :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_from :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_add :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_len :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_proper :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_ok :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
encode_top :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
hole_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> 0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3)
fst(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1701_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1701_3)
from(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3773_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3773_3)
add(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4737_3)), gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4737_3)
len(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n7319_3))) -> *3_3, rt in Omega(n7319_3)


Generator Equations:
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0'
gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
active < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(n37350_3)) -> gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(n37350_3), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(n37350_3, 1))) ->_R^Omega(0)
mark(encArg(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(n37350_3))) ->_IH
mark(gen_0':nil:mark:ok:cons_active:cons_cons:cons_fst:cons_from:cons_add:cons_len:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(c37351_3))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(26)
BOUNDS(1, INF)