/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 459 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1103 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 23.2 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, V2) -> U12(isNat(activate(V2))) U12(tt) -> tt U21(tt) -> tt U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, M, N) -> U42(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U42(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNat(activate(V1)), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNat(activate(V1))) plus(N, 0) -> U31(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U41(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(X1, X2) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, V2) -> U12(isNat(activate(V2))) U12(tt) -> tt U21(tt) -> tt U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, M, N) -> U42(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U42(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNat(activate(V1)), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNat(activate(V1))) plus(N, 0) -> U31(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U41(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(X1, X2) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, V2) -> U12(isNat(activate(V2))) U12(tt) -> tt U21(tt) -> tt U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, M, N) -> U42(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U42(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNat(activate(V1)), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNat(activate(V1))) plus(N, 0) -> U31(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U41(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(X1, X2) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, V2) -> U12(isNat(activate(V2))) U12(tt) -> tt U21(tt) -> tt U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, M, N) -> U42(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U42(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNat(activate(V1)), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNat(activate(V1))) plus(N, 0') -> U31(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U41(isNat(M), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(X1, X2) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: U11(tt, V2) -> U12(isNat(activate(V2))) U12(tt) -> tt U21(tt) -> tt U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, M, N) -> U42(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U42(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNat(activate(V1)), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNat(activate(V1))) plus(N, 0') -> U31(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U41(isNat(M), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(X1, X2) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Types: U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate tt :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_tt :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate hole_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: U11, isNat, activate, U31, U41, U42, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 = isNat U11 = activate U11 = U31 U11 = U41 U11 = U42 U11 = plus U11 < encArg isNat = activate isNat = U31 isNat = U41 isNat = U42 isNat = plus isNat < encArg activate = U31 activate = U41 activate = U42 activate = plus activate < encArg U31 = U41 U31 = U42 U31 = plus U31 < encArg U41 = U42 U41 = plus U41 < encArg U42 = plus U42 < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: U11(tt, V2) -> U12(isNat(activate(V2))) U12(tt) -> tt U21(tt) -> tt U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, M, N) -> U42(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U42(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNat(activate(V1)), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNat(activate(V1))) plus(N, 0') -> U31(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U41(isNat(M), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(X1, X2) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Types: U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate tt :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_tt :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate hole_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate Generator Equations: gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> tt gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x), tt) The following defined symbols remain to be analysed: isNat, U11, activate, U31, U41, U42, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 = isNat U11 = activate U11 = U31 U11 = U41 U11 = U42 U11 = plus U11 < encArg isNat = activate isNat = U31 isNat = U41 isNat = U42 isNat = plus isNat < encArg activate = U31 activate = U41 activate = U42 activate = plus activate < encArg U31 = U41 U31 = U42 U31 = plus U31 < encArg U41 = U42 U41 = plus U41 < encArg U42 = plus U42 < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: isNat(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: isNat(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, 0))) Induction Step: isNat(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) U11(isNat(activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4)))), activate(tt)) ->_R^Omega(1) U11(isNat(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))), activate(tt)) ->_IH U11(*3_4, activate(tt)) ->_R^Omega(1) U11(*3_4, tt) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: U11(tt, V2) -> U12(isNat(activate(V2))) U12(tt) -> tt U21(tt) -> tt U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, M, N) -> U42(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U42(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNat(activate(V1)), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNat(activate(V1))) plus(N, 0') -> U31(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U41(isNat(M), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(X1, X2) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Types: U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate tt :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_tt :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate hole_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate Generator Equations: gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> tt gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x), tt) The following defined symbols remain to be analysed: isNat, U11, activate, U31, U41, U42, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 = isNat U11 = activate U11 = U31 U11 = U41 U11 = U42 U11 = plus U11 < encArg isNat = activate isNat = U31 isNat = U41 isNat = U42 isNat = plus isNat < encArg activate = U31 activate = U41 activate = U42 activate = plus activate < encArg U31 = U41 U31 = U42 U31 = plus U31 < encArg U41 = U42 U41 = plus U41 < encArg U42 = plus U42 < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: U11(tt, V2) -> U12(isNat(activate(V2))) U12(tt) -> tt U21(tt) -> tt U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, M, N) -> U42(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U42(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNat(activate(V1)), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNat(activate(V1))) plus(N, 0') -> U31(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U41(isNat(M), M, N) 0' -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(X1, X2) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' Types: U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate tt :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U11 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_tt :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U12 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_isNat :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U21 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U31 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U41 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_U42 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate hole_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate Lemmas: isNat(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> tt gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x), tt) The following defined symbols remain to be analysed: U11, activate, U31, U41, U42, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 = isNat U11 = activate U11 = U31 U11 = U41 U11 = U42 U11 = plus U11 < encArg isNat = activate isNat = U31 isNat = U41 isNat = U42 isNat = plus isNat < encArg activate = U31 activate = U41 activate = U42 activate = plus activate < encArg U31 = U41 U31 = U42 U31 = plus U31 < encArg U41 = U42 U41 = plus U41 < encArg U42 = plus U42 < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4136_4)) -> gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4136_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(0) tt Induction Step: encArg(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n4136_4, 1))) ->_R^Omega(0) n__plus(encArg(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4136_4)), encArg(tt)) ->_IH n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(c4137_4), encArg(tt)) ->_R^Omega(0) n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__s:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_isNat:cons_plus:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4136_4), tt) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)