/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 3199 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 7 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, V2) -> a__U102(a__isLNat(V2)) a__U102(tt) -> tt a__U11(tt, N, XS) -> a__U12(a__isLNat(XS), N, XS) a__U111(tt) -> tt a__U12(tt, N, XS) -> a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U121(tt) -> tt a__U131(tt, V2) -> a__U132(a__isLNat(V2)) a__U132(tt) -> tt a__U141(tt, V2) -> a__U142(a__isLNat(V2)) a__U142(tt) -> tt a__U151(tt, V2) -> a__U152(a__isLNat(V2)) a__U152(tt) -> tt a__U161(tt, N) -> cons(mark(N), natsFrom(s(N))) a__U171(tt, N, XS) -> a__U172(a__isLNat(XS), N, XS) a__U172(tt, N, XS) -> a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS))) a__U181(tt, Y) -> a__U182(a__isLNat(Y), Y) a__U182(tt, Y) -> mark(Y) a__U191(tt, XS) -> pair(nil, mark(XS)) a__U201(tt, N, X, XS) -> a__U202(a__isNatural(X), N, X, XS) a__U202(tt, N, X, XS) -> a__U203(a__isLNat(XS), N, X, XS) a__U203(tt, N, X, XS) -> a__U204(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X) a__U204(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS)) a__U21(tt, X, Y) -> a__U22(a__isLNat(Y), X) a__U211(tt, XS) -> a__U212(a__isLNat(XS), XS) a__U212(tt, XS) -> mark(XS) a__U22(tt, X) -> mark(X) a__U221(tt, N, XS) -> a__U222(a__isLNat(XS), N, XS) a__U222(tt, N, XS) -> a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U31(tt, N, XS) -> a__U32(a__isLNat(XS), N) a__U32(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isLNat(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isLNat(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt) -> tt a__afterNth(N, XS) -> a__U11(a__isNatural(N), N, XS) a__fst(pair(X, Y)) -> a__U21(a__isLNat(X), X, Y) a__head(cons(N, XS)) -> a__U31(a__isNatural(N), N, XS) a__isLNat(nil) -> tt a__isLNat(afterNth(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(fst(V1)) -> a__U61(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(natsFrom(V1)) -> a__U71(a__isNatural(V1)) a__isLNat(snd(V1)) -> a__U81(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(tail(V1)) -> a__U91(a__isLNat(V1)) a__isLNat(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatural(V1), V2) a__isNatural(0) -> tt a__isNatural(head(V1)) -> a__U111(a__isLNat(V1)) a__isNatural(s(V1)) -> a__U121(a__isNatural(V1)) a__isNatural(sel(V1, V2)) -> a__U131(a__isNatural(V1), V2) a__isPLNat(pair(V1, V2)) -> a__U141(a__isLNat(V1), V2) a__isPLNat(splitAt(V1, V2)) -> a__U151(a__isNatural(V1), V2) a__natsFrom(N) -> a__U161(a__isNatural(N), N) a__sel(N, XS) -> a__U171(a__isNatural(N), N, XS) a__snd(pair(X, Y)) -> a__U181(a__isLNat(X), Y) a__splitAt(0, XS) -> a__U191(a__isLNat(XS), XS) a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> a__U201(a__isNatural(N), N, X, XS) a__tail(cons(N, XS)) -> a__U211(a__isNatural(N), XS) a__take(N, XS) -> a__U221(a__isNatural(N), N, XS) mark(U101(X1, X2)) -> a__U101(mark(X1), X2) mark(U102(X)) -> a__U102(mark(X)) mark(isLNat(X)) -> a__isLNat(X) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U111(X)) -> a__U111(mark(X)) mark(snd(X)) -> a__snd(mark(X)) mark(splitAt(X1, X2)) -> a__splitAt(mark(X1), mark(X2)) mark(U121(X)) -> a__U121(mark(X)) mark(U131(X1, X2)) -> a__U131(mark(X1), X2) mark(U132(X)) -> a__U132(mark(X)) mark(U141(X1, X2)) -> a__U141(mark(X1), X2) mark(U142(X)) -> a__U142(mark(X)) mark(U151(X1, X2)) -> a__U151(mark(X1), X2) mark(U152(X)) -> a__U152(mark(X)) mark(U161(X1, X2)) -> a__U161(mark(X1), X2) mark(natsFrom(X)) -> a__natsFrom(mark(X)) mark(U171(X1, X2, X3)) -> a__U171(mark(X1), X2, X3) mark(U172(X1, X2, X3)) -> a__U172(mark(X1), X2, X3) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(afterNth(X1, X2)) -> a__afterNth(mark(X1), mark(X2)) mark(U181(X1, X2)) -> a__U181(mark(X1), X2) mark(U182(X1, X2)) -> a__U182(mark(X1), X2) mark(U191(X1, X2)) -> a__U191(mark(X1), X2) mark(U201(X1, X2, X3, X4)) -> a__U201(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U202(X1, X2, X3, X4)) -> a__U202(mark(X1), X2, X3, X4) mark(isNatural(X)) -> a__isNatural(X) mark(U203(X1, X2, X3, X4)) -> a__U203(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U204(X1, X2)) -> a__U204(mark(X1), X2) mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U211(X1, X2)) -> a__U211(mark(X1), X2) mark(U212(X1, X2)) -> a__U212(mark(X1), X2) mark(U221(X1, X2, X3)) -> a__U221(mark(X1), X2, X3) mark(U222(X1, X2, X3)) -> a__U222(mark(X1), X2, X3) mark(fst(X)) -> a__fst(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X)) -> a__U61(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X)) -> a__U91(mark(X)) mark(isPLNat(X)) -> a__isPLNat(X) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) mark(nil) -> nil mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2) -> U101(X1, X2) a__U102(X) -> U102(X) a__isLNat(X) -> isLNat(X) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U111(X) -> U111(X) a__snd(X) -> snd(X) a__splitAt(X1, X2) -> splitAt(X1, X2) a__U121(X) -> U121(X) a__U131(X1, X2) -> U131(X1, X2) a__U132(X) -> U132(X) a__U141(X1, X2) -> U141(X1, X2) a__U142(X) -> U142(X) a__U151(X1, X2) -> U151(X1, X2) a__U152(X) -> U152(X) a__U161(X1, X2) -> U161(X1, X2) a__natsFrom(X) -> natsFrom(X) a__U171(X1, X2, X3) -> U171(X1, X2, X3) a__U172(X1, X2, X3) -> U172(X1, X2, X3) a__head(X) -> head(X) a__afterNth(X1, X2) -> afterNth(X1, X2) a__U181(X1, X2) -> U181(X1, X2) a__U182(X1, X2) -> U182(X1, X2) a__U191(X1, X2) -> U191(X1, X2) a__U201(X1, X2, X3, X4) -> U201(X1, X2, X3, X4) a__U202(X1, X2, X3, X4) -> U202(X1, X2, X3, X4) a__isNatural(X) -> isNatural(X) a__U203(X1, X2, X3, X4) -> U203(X1, X2, X3, X4) a__U204(X1, X2) -> U204(X1, X2) a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U211(X1, X2) -> U211(X1, X2) a__U212(X1, X2) -> U212(X1, X2) a__U221(X1, X2, X3) -> U221(X1, X2, X3) a__U222(X1, X2, X3) -> U222(X1, X2, X3) a__fst(X) -> fst(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X) -> U61(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X) -> U91(X) a__isPLNat(X) -> isPLNat(X) a__tail(X) -> tail(X) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U102(x_1)) -> U102(encArg(x_1)) encArg(isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U111(x_1)) -> U111(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1)) -> U121(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U132(x_1)) -> U132(encArg(x_1)) encArg(U141(x_1, x_2)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U142(x_1)) -> U142(encArg(x_1)) encArg(U151(x_1, x_2)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U152(x_1)) -> U152(encArg(x_1)) encArg(U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U172(x_1, x_2, x_3)) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U204(x_1, x_2)) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U212(x_1, x_2)) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U222(x_1, x_2, x_3)) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1)) -> U61(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1)) -> U91(encArg(x_1)) encArg(isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U102(x_1)) -> a__U102(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U111(x_1)) -> a__U111(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U121(x_1)) -> a__U121(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U131(x_1, x_2)) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U132(x_1)) -> a__U132(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U141(x_1, x_2)) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U142(x_1)) -> a__U142(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U151(x_1, x_2)) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U152(x_1)) -> a__U152(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U161(x_1, x_2)) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U171(x_1, x_2, x_3)) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U172(x_1, x_2, x_3)) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U181(x_1, x_2)) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U182(x_1, x_2)) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U191(x_1, x_2)) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U204(x_1, x_2)) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U211(x_1, x_2)) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U212(x_1, x_2)) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U221(x_1, x_2, x_3)) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U222(x_1, x_2, x_3)) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U52(x_1)) -> a__U52(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1)) -> a__U61(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1)) -> a__U71(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1)) -> a__U91(encArg(x_1)) encArg(cons_a__afterNth(x_1, x_2)) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__fst(x_1)) -> a__fst(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isLNat(x_1)) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatural(x_1)) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPLNat(x_1)) -> a__isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__natsFrom(x_1)) -> a__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__snd(x_1)) -> a__snd(encArg(x_1)) encArg(cons_a__splitAt(x_1, x_2)) -> a__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1) -> a__U102(encArg(x_1)) encode_a__isLNat(x_1) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U111(x_1) -> a__U111(encArg(x_1)) encode_a__snd(x_1) -> 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encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U222(x_1, x_2, x_3) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1) -> U61(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1) -> U91(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, V2) -> a__U102(a__isLNat(V2)) a__U102(tt) -> tt a__U11(tt, N, XS) -> a__U12(a__isLNat(XS), N, XS) a__U111(tt) -> tt a__U12(tt, N, XS) -> a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U121(tt) -> tt a__U131(tt, V2) -> a__U132(a__isLNat(V2)) a__U132(tt) -> tt a__U141(tt, V2) -> a__U142(a__isLNat(V2)) a__U142(tt) -> tt a__U151(tt, V2) -> a__U152(a__isLNat(V2)) a__U152(tt) -> tt a__U161(tt, N) -> cons(mark(N), natsFrom(s(N))) a__U171(tt, N, XS) -> a__U172(a__isLNat(XS), N, XS) a__U172(tt, N, XS) -> a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS))) a__U181(tt, Y) -> a__U182(a__isLNat(Y), Y) a__U182(tt, Y) -> mark(Y) a__U191(tt, XS) -> pair(nil, mark(XS)) a__U201(tt, N, X, XS) -> a__U202(a__isNatural(X), N, X, XS) a__U202(tt, N, X, XS) -> a__U203(a__isLNat(XS), N, X, XS) a__U203(tt, N, X, XS) -> a__U204(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X) a__U204(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS)) a__U21(tt, X, Y) -> a__U22(a__isLNat(Y), X) a__U211(tt, XS) -> a__U212(a__isLNat(XS), XS) a__U212(tt, XS) -> mark(XS) a__U22(tt, X) -> mark(X) a__U221(tt, N, XS) -> a__U222(a__isLNat(XS), N, XS) a__U222(tt, N, XS) -> a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U31(tt, N, XS) -> a__U32(a__isLNat(XS), N) a__U32(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isLNat(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isLNat(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt) -> tt a__afterNth(N, XS) -> a__U11(a__isNatural(N), N, XS) a__fst(pair(X, Y)) -> a__U21(a__isLNat(X), X, Y) a__head(cons(N, XS)) -> a__U31(a__isNatural(N), N, XS) a__isLNat(nil) -> tt a__isLNat(afterNth(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(fst(V1)) -> a__U61(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(natsFrom(V1)) -> a__U71(a__isNatural(V1)) a__isLNat(snd(V1)) -> a__U81(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(tail(V1)) -> a__U91(a__isLNat(V1)) a__isLNat(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatural(V1), V2) a__isNatural(0) -> tt a__isNatural(head(V1)) -> a__U111(a__isLNat(V1)) a__isNatural(s(V1)) -> a__U121(a__isNatural(V1)) a__isNatural(sel(V1, V2)) -> a__U131(a__isNatural(V1), V2) a__isPLNat(pair(V1, V2)) -> a__U141(a__isLNat(V1), V2) a__isPLNat(splitAt(V1, V2)) -> a__U151(a__isNatural(V1), V2) a__natsFrom(N) -> a__U161(a__isNatural(N), N) a__sel(N, XS) -> a__U171(a__isNatural(N), N, XS) a__snd(pair(X, Y)) -> a__U181(a__isLNat(X), Y) a__splitAt(0, XS) -> a__U191(a__isLNat(XS), XS) a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> a__U201(a__isNatural(N), N, X, XS) a__tail(cons(N, XS)) -> a__U211(a__isNatural(N), XS) a__take(N, XS) -> a__U221(a__isNatural(N), N, XS) mark(U101(X1, X2)) -> a__U101(mark(X1), X2) mark(U102(X)) -> a__U102(mark(X)) mark(isLNat(X)) -> a__isLNat(X) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U111(X)) -> a__U111(mark(X)) mark(snd(X)) -> a__snd(mark(X)) mark(splitAt(X1, X2)) -> a__splitAt(mark(X1), mark(X2)) mark(U121(X)) -> a__U121(mark(X)) mark(U131(X1, X2)) -> a__U131(mark(X1), X2) mark(U132(X)) -> a__U132(mark(X)) mark(U141(X1, X2)) -> a__U141(mark(X1), X2) mark(U142(X)) -> a__U142(mark(X)) mark(U151(X1, X2)) -> a__U151(mark(X1), X2) mark(U152(X)) -> a__U152(mark(X)) mark(U161(X1, X2)) -> a__U161(mark(X1), X2) mark(natsFrom(X)) -> a__natsFrom(mark(X)) mark(U171(X1, X2, X3)) -> a__U171(mark(X1), X2, X3) mark(U172(X1, X2, X3)) -> a__U172(mark(X1), X2, X3) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(afterNth(X1, X2)) -> a__afterNth(mark(X1), mark(X2)) mark(U181(X1, X2)) -> a__U181(mark(X1), X2) mark(U182(X1, X2)) -> a__U182(mark(X1), X2) mark(U191(X1, X2)) -> a__U191(mark(X1), X2) mark(U201(X1, X2, X3, X4)) -> a__U201(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U202(X1, X2, X3, X4)) -> a__U202(mark(X1), X2, X3, X4) mark(isNatural(X)) -> a__isNatural(X) mark(U203(X1, X2, X3, X4)) -> a__U203(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U204(X1, X2)) -> a__U204(mark(X1), X2) mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U211(X1, X2)) -> a__U211(mark(X1), X2) mark(U212(X1, X2)) -> a__U212(mark(X1), X2) mark(U221(X1, X2, X3)) -> a__U221(mark(X1), X2, X3) mark(U222(X1, X2, X3)) -> a__U222(mark(X1), X2, X3) mark(fst(X)) -> a__fst(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X)) -> a__U61(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X)) -> a__U91(mark(X)) mark(isPLNat(X)) -> a__isPLNat(X) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) mark(nil) -> nil mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2) -> U101(X1, X2) a__U102(X) -> U102(X) a__isLNat(X) -> isLNat(X) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U111(X) -> U111(X) a__snd(X) -> snd(X) a__splitAt(X1, X2) -> splitAt(X1, X2) a__U121(X) -> U121(X) a__U131(X1, X2) -> U131(X1, X2) a__U132(X) -> U132(X) a__U141(X1, X2) -> U141(X1, X2) a__U142(X) -> U142(X) a__U151(X1, X2) -> U151(X1, X2) a__U152(X) -> U152(X) a__U161(X1, X2) -> U161(X1, X2) a__natsFrom(X) -> natsFrom(X) a__U171(X1, X2, X3) -> U171(X1, X2, X3) a__U172(X1, X2, X3) -> U172(X1, X2, X3) a__head(X) -> head(X) a__afterNth(X1, X2) -> afterNth(X1, X2) a__U181(X1, X2) -> U181(X1, X2) a__U182(X1, X2) -> U182(X1, X2) a__U191(X1, X2) -> U191(X1, X2) a__U201(X1, X2, X3, X4) -> U201(X1, X2, X3, X4) a__U202(X1, X2, X3, X4) -> U202(X1, X2, X3, X4) a__isNatural(X) -> isNatural(X) a__U203(X1, X2, X3, X4) -> U203(X1, X2, X3, X4) a__U204(X1, X2) -> U204(X1, X2) a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U211(X1, X2) -> U211(X1, X2) a__U212(X1, X2) -> U212(X1, X2) a__U221(X1, X2, X3) -> U221(X1, X2, X3) a__U222(X1, X2, X3) -> U222(X1, X2, X3) a__fst(X) -> fst(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X) -> U61(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X) -> U91(X) a__isPLNat(X) -> isPLNat(X) a__tail(X) -> tail(X) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U102(x_1)) -> U102(encArg(x_1)) encArg(isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U111(x_1)) -> U111(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1)) -> U121(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U132(x_1)) -> U132(encArg(x_1)) encArg(U141(x_1, x_2)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U142(x_1)) -> U142(encArg(x_1)) encArg(U151(x_1, x_2)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U152(x_1)) -> U152(encArg(x_1)) encArg(U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U172(x_1, x_2, x_3)) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U204(x_1, x_2)) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U212(x_1, x_2)) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U222(x_1, x_2, x_3)) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1)) -> U61(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1)) -> U91(encArg(x_1)) encArg(isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U102(x_1)) -> a__U102(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U111(x_1)) -> a__U111(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U121(x_1)) -> a__U121(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U131(x_1, x_2)) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U132(x_1)) -> a__U132(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U141(x_1, x_2)) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U142(x_1)) -> a__U142(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U151(x_1, x_2)) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U152(x_1)) -> a__U152(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U161(x_1, x_2)) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U171(x_1, x_2, x_3)) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U172(x_1, x_2, x_3)) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U181(x_1, x_2)) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U182(x_1, x_2)) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U191(x_1, x_2)) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U204(x_1, x_2)) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U211(x_1, x_2)) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U212(x_1, x_2)) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U221(x_1, x_2, x_3)) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U222(x_1, x_2, x_3)) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U52(x_1)) -> a__U52(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1)) -> a__U61(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1)) -> a__U71(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1)) -> a__U91(encArg(x_1)) encArg(cons_a__afterNth(x_1, x_2)) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__fst(x_1)) -> a__fst(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isLNat(x_1)) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatural(x_1)) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPLNat(x_1)) -> a__isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__natsFrom(x_1)) -> a__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__snd(x_1)) -> a__snd(encArg(x_1)) encArg(cons_a__splitAt(x_1, x_2)) -> a__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1) -> a__U102(encArg(x_1)) 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a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U172(x_1, x_2, x_3) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__afterNth(x_1, x_2) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U181(x_1, x_2) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U182(x_1, x_2) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U191(x_1, x_2) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__isNatural(x_1) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encode_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U204(x_1, x_2) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U211(x_1, x_2) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U212(x_1, x_2) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U221(x_1, x_2, x_3) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U222(x_1, x_2, x_3) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__fst(x_1) -> a__fst(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U52(x_1) -> a__U52(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1) -> a__U61(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1) -> a__U71(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1) -> a__U91(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_a__isPLNat(x_1) -> a__isPLNat(encArg(x_1)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__natsFrom(x_1) -> a__natsFrom(encArg(x_1)) encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U102(x_1) -> U102(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U111(x_1) -> U111(encArg(x_1)) encode_U121(x_1) -> U121(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U132(x_1) -> U132(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U142(x_1) -> U142(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U152(x_1) -> U152(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U172(x_1, x_2, x_3) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U182(x_1, x_2) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U204(x_1, x_2) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U212(x_1, x_2) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U222(x_1, x_2, x_3) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1) -> U61(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1) -> U91(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, V2) -> a__U102(a__isLNat(V2)) a__U102(tt) -> tt a__U11(tt, N, XS) -> a__U12(a__isLNat(XS), N, XS) a__U111(tt) -> tt a__U12(tt, N, XS) -> a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U121(tt) -> tt a__U131(tt, V2) -> a__U132(a__isLNat(V2)) a__U132(tt) -> tt a__U141(tt, V2) -> a__U142(a__isLNat(V2)) a__U142(tt) -> tt a__U151(tt, V2) -> a__U152(a__isLNat(V2)) a__U152(tt) -> tt a__U161(tt, N) -> cons(mark(N), natsFrom(s(N))) a__U171(tt, N, XS) -> a__U172(a__isLNat(XS), N, XS) a__U172(tt, N, XS) -> a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS))) a__U181(tt, Y) -> a__U182(a__isLNat(Y), Y) a__U182(tt, Y) -> mark(Y) a__U191(tt, XS) -> pair(nil, mark(XS)) a__U201(tt, N, X, XS) -> a__U202(a__isNatural(X), N, X, XS) a__U202(tt, N, X, XS) -> a__U203(a__isLNat(XS), N, X, XS) a__U203(tt, N, X, XS) -> a__U204(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X) a__U204(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS)) a__U21(tt, X, Y) -> a__U22(a__isLNat(Y), X) a__U211(tt, XS) -> a__U212(a__isLNat(XS), XS) a__U212(tt, XS) -> mark(XS) a__U22(tt, X) -> mark(X) a__U221(tt, N, XS) -> a__U222(a__isLNat(XS), N, XS) a__U222(tt, N, XS) -> a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U31(tt, N, XS) -> a__U32(a__isLNat(XS), N) a__U32(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isLNat(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isLNat(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt) -> tt a__afterNth(N, XS) -> a__U11(a__isNatural(N), N, XS) a__fst(pair(X, Y)) -> a__U21(a__isLNat(X), X, Y) a__head(cons(N, XS)) -> a__U31(a__isNatural(N), N, XS) a__isLNat(nil) -> tt a__isLNat(afterNth(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(fst(V1)) -> a__U61(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(natsFrom(V1)) -> a__U71(a__isNatural(V1)) a__isLNat(snd(V1)) -> a__U81(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(tail(V1)) -> a__U91(a__isLNat(V1)) a__isLNat(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatural(V1), V2) a__isNatural(0) -> tt a__isNatural(head(V1)) -> a__U111(a__isLNat(V1)) a__isNatural(s(V1)) -> a__U121(a__isNatural(V1)) a__isNatural(sel(V1, V2)) -> a__U131(a__isNatural(V1), V2) a__isPLNat(pair(V1, V2)) -> a__U141(a__isLNat(V1), V2) a__isPLNat(splitAt(V1, V2)) -> a__U151(a__isNatural(V1), V2) a__natsFrom(N) -> a__U161(a__isNatural(N), N) a__sel(N, XS) -> a__U171(a__isNatural(N), N, XS) a__snd(pair(X, Y)) -> a__U181(a__isLNat(X), Y) a__splitAt(0, XS) -> a__U191(a__isLNat(XS), XS) a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> a__U201(a__isNatural(N), N, X, XS) a__tail(cons(N, XS)) -> a__U211(a__isNatural(N), XS) a__take(N, XS) -> a__U221(a__isNatural(N), N, XS) mark(U101(X1, X2)) -> a__U101(mark(X1), X2) mark(U102(X)) -> a__U102(mark(X)) mark(isLNat(X)) -> a__isLNat(X) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U111(X)) -> a__U111(mark(X)) mark(snd(X)) -> a__snd(mark(X)) mark(splitAt(X1, X2)) -> a__splitAt(mark(X1), mark(X2)) mark(U121(X)) -> a__U121(mark(X)) mark(U131(X1, X2)) -> a__U131(mark(X1), X2) mark(U132(X)) -> a__U132(mark(X)) mark(U141(X1, X2)) -> a__U141(mark(X1), X2) mark(U142(X)) -> a__U142(mark(X)) mark(U151(X1, X2)) -> a__U151(mark(X1), X2) mark(U152(X)) -> a__U152(mark(X)) mark(U161(X1, X2)) -> a__U161(mark(X1), X2) mark(natsFrom(X)) -> a__natsFrom(mark(X)) mark(U171(X1, X2, X3)) -> a__U171(mark(X1), X2, X3) mark(U172(X1, X2, X3)) -> a__U172(mark(X1), X2, X3) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(afterNth(X1, X2)) -> a__afterNth(mark(X1), mark(X2)) mark(U181(X1, X2)) -> a__U181(mark(X1), X2) mark(U182(X1, X2)) -> a__U182(mark(X1), X2) mark(U191(X1, X2)) -> a__U191(mark(X1), X2) mark(U201(X1, X2, X3, X4)) -> a__U201(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U202(X1, X2, X3, X4)) -> a__U202(mark(X1), X2, X3, X4) mark(isNatural(X)) -> a__isNatural(X) mark(U203(X1, X2, X3, X4)) -> a__U203(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U204(X1, X2)) -> a__U204(mark(X1), X2) mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U211(X1, X2)) -> a__U211(mark(X1), X2) mark(U212(X1, X2)) -> a__U212(mark(X1), X2) mark(U221(X1, X2, X3)) -> a__U221(mark(X1), X2, X3) mark(U222(X1, X2, X3)) -> a__U222(mark(X1), X2, X3) mark(fst(X)) -> a__fst(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X)) -> a__U61(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X)) -> a__U91(mark(X)) mark(isPLNat(X)) -> a__isPLNat(X) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) mark(nil) -> nil mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2) -> U101(X1, X2) a__U102(X) -> U102(X) a__isLNat(X) -> isLNat(X) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U111(X) -> U111(X) a__snd(X) -> snd(X) a__splitAt(X1, X2) -> splitAt(X1, X2) a__U121(X) -> U121(X) a__U131(X1, X2) -> U131(X1, X2) a__U132(X) -> U132(X) a__U141(X1, X2) -> U141(X1, X2) a__U142(X) -> U142(X) a__U151(X1, X2) -> U151(X1, X2) a__U152(X) -> U152(X) a__U161(X1, X2) -> U161(X1, X2) a__natsFrom(X) -> natsFrom(X) a__U171(X1, X2, X3) -> U171(X1, X2, X3) a__U172(X1, X2, X3) -> U172(X1, X2, X3) a__head(X) -> head(X) a__afterNth(X1, X2) -> afterNth(X1, X2) a__U181(X1, X2) -> U181(X1, X2) a__U182(X1, X2) -> U182(X1, X2) a__U191(X1, X2) -> U191(X1, X2) a__U201(X1, X2, X3, X4) -> U201(X1, X2, X3, X4) a__U202(X1, X2, X3, X4) -> U202(X1, X2, X3, X4) a__isNatural(X) -> isNatural(X) a__U203(X1, X2, X3, X4) -> U203(X1, X2, X3, X4) a__U204(X1, X2) -> U204(X1, X2) a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U211(X1, X2) -> U211(X1, X2) a__U212(X1, X2) -> U212(X1, X2) a__U221(X1, X2, X3) -> U221(X1, X2, X3) a__U222(X1, X2, X3) -> U222(X1, X2, X3) a__fst(X) -> fst(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X) -> U61(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X) -> U91(X) a__isPLNat(X) -> isPLNat(X) a__tail(X) -> tail(X) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U102(x_1)) -> U102(encArg(x_1)) encArg(isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U111(x_1)) -> U111(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1)) -> U121(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U132(x_1)) -> U132(encArg(x_1)) encArg(U141(x_1, x_2)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U142(x_1)) -> U142(encArg(x_1)) encArg(U151(x_1, x_2)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U152(x_1)) -> U152(encArg(x_1)) encArg(U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U172(x_1, x_2, x_3)) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U204(x_1, x_2)) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U212(x_1, x_2)) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U222(x_1, x_2, x_3)) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1)) -> U61(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1)) -> U91(encArg(x_1)) encArg(isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U102(x_1)) -> a__U102(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U111(x_1)) -> a__U111(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U121(x_1)) -> a__U121(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U131(x_1, x_2)) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U132(x_1)) -> a__U132(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U141(x_1, x_2)) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U142(x_1)) -> a__U142(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U151(x_1, x_2)) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U152(x_1)) -> a__U152(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U161(x_1, x_2)) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U171(x_1, x_2, x_3)) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U172(x_1, x_2, x_3)) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U181(x_1, x_2)) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U182(x_1, x_2)) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U191(x_1, x_2)) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U204(x_1, x_2)) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U211(x_1, x_2)) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U212(x_1, x_2)) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U221(x_1, x_2, x_3)) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U222(x_1, x_2, x_3)) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U52(x_1)) -> a__U52(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1)) -> a__U61(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1)) -> a__U71(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1)) -> a__U91(encArg(x_1)) encArg(cons_a__afterNth(x_1, x_2)) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__fst(x_1)) -> a__fst(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isLNat(x_1)) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatural(x_1)) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPLNat(x_1)) -> a__isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__natsFrom(x_1)) -> a__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__snd(x_1)) -> a__snd(encArg(x_1)) encArg(cons_a__splitAt(x_1, x_2)) -> a__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1) -> a__U102(encArg(x_1)) encode_a__isLNat(x_1) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U111(x_1) -> a__U111(encArg(x_1)) encode_a__snd(x_1) -> a__snd(encArg(x_1)) encode_a__splitAt(x_1, x_2) -> a__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U121(x_1) -> a__U121(encArg(x_1)) encode_a__U131(x_1, x_2) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U132(x_1) -> a__U132(encArg(x_1)) encode_a__U141(x_1, x_2) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U142(x_1) -> a__U142(encArg(x_1)) encode_a__U151(x_1, x_2) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U152(x_1) -> a__U152(encArg(x_1)) encode_a__U161(x_1, x_2) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U171(x_1, x_2, x_3) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U172(x_1, x_2, x_3) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__afterNth(x_1, x_2) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U181(x_1, x_2) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U182(x_1, x_2) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U191(x_1, x_2) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__isNatural(x_1) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encode_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U204(x_1, x_2) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U211(x_1, x_2) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U212(x_1, x_2) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U221(x_1, x_2, x_3) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U222(x_1, x_2, x_3) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__fst(x_1) -> a__fst(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U52(x_1) -> a__U52(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1) -> a__U61(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1) -> a__U71(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1) -> a__U91(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_a__isPLNat(x_1) -> a__isPLNat(encArg(x_1)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__natsFrom(x_1) -> a__natsFrom(encArg(x_1)) encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U102(x_1) -> U102(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U111(x_1) -> U111(encArg(x_1)) encode_U121(x_1) -> U121(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U132(x_1) -> U132(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U142(x_1) -> U142(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U152(x_1) -> U152(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U172(x_1, x_2, x_3) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U182(x_1, x_2) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U204(x_1, x_2) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U212(x_1, x_2) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U222(x_1, x_2, x_3) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1) -> U61(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1) -> U91(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, V2) -> a__U102(a__isLNat(V2)) a__U102(tt) -> tt a__U11(tt, N, XS) -> a__U12(a__isLNat(XS), N, XS) a__U111(tt) -> tt a__U12(tt, N, XS) -> a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U121(tt) -> tt a__U131(tt, V2) -> a__U132(a__isLNat(V2)) a__U132(tt) -> tt a__U141(tt, V2) -> a__U142(a__isLNat(V2)) a__U142(tt) -> tt a__U151(tt, V2) -> a__U152(a__isLNat(V2)) a__U152(tt) -> tt a__U161(tt, N) -> cons(mark(N), natsFrom(s(N))) a__U171(tt, N, XS) -> a__U172(a__isLNat(XS), N, XS) a__U172(tt, N, XS) -> a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS))) a__U181(tt, Y) -> a__U182(a__isLNat(Y), Y) a__U182(tt, Y) -> mark(Y) a__U191(tt, XS) -> pair(nil, mark(XS)) a__U201(tt, N, X, XS) -> a__U202(a__isNatural(X), N, X, XS) a__U202(tt, N, X, XS) -> a__U203(a__isLNat(XS), N, X, XS) a__U203(tt, N, X, XS) -> a__U204(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X) a__U204(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS)) a__U21(tt, X, Y) -> a__U22(a__isLNat(Y), X) a__U211(tt, XS) -> a__U212(a__isLNat(XS), XS) a__U212(tt, XS) -> mark(XS) a__U22(tt, X) -> mark(X) a__U221(tt, N, XS) -> a__U222(a__isLNat(XS), N, XS) a__U222(tt, N, XS) -> a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U31(tt, N, XS) -> a__U32(a__isLNat(XS), N) a__U32(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isLNat(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isLNat(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt) -> tt a__afterNth(N, XS) -> a__U11(a__isNatural(N), N, XS) a__fst(pair(X, Y)) -> a__U21(a__isLNat(X), X, Y) a__head(cons(N, XS)) -> a__U31(a__isNatural(N), N, XS) a__isLNat(nil) -> tt a__isLNat(afterNth(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(fst(V1)) -> a__U61(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(natsFrom(V1)) -> a__U71(a__isNatural(V1)) a__isLNat(snd(V1)) -> a__U81(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(tail(V1)) -> a__U91(a__isLNat(V1)) a__isLNat(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatural(V1), V2) a__isNatural(0) -> tt a__isNatural(head(V1)) -> a__U111(a__isLNat(V1)) a__isNatural(s(V1)) -> a__U121(a__isNatural(V1)) a__isNatural(sel(V1, V2)) -> a__U131(a__isNatural(V1), V2) a__isPLNat(pair(V1, V2)) -> a__U141(a__isLNat(V1), V2) a__isPLNat(splitAt(V1, V2)) -> a__U151(a__isNatural(V1), V2) a__natsFrom(N) -> a__U161(a__isNatural(N), N) a__sel(N, XS) -> a__U171(a__isNatural(N), N, XS) a__snd(pair(X, Y)) -> a__U181(a__isLNat(X), Y) a__splitAt(0, XS) -> a__U191(a__isLNat(XS), XS) a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> a__U201(a__isNatural(N), N, X, XS) a__tail(cons(N, XS)) -> a__U211(a__isNatural(N), XS) a__take(N, XS) -> a__U221(a__isNatural(N), N, XS) mark(U101(X1, X2)) -> a__U101(mark(X1), X2) mark(U102(X)) -> a__U102(mark(X)) mark(isLNat(X)) -> a__isLNat(X) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U111(X)) -> a__U111(mark(X)) mark(snd(X)) -> a__snd(mark(X)) mark(splitAt(X1, X2)) -> a__splitAt(mark(X1), mark(X2)) mark(U121(X)) -> a__U121(mark(X)) mark(U131(X1, X2)) -> a__U131(mark(X1), X2) mark(U132(X)) -> a__U132(mark(X)) mark(U141(X1, X2)) -> a__U141(mark(X1), X2) mark(U142(X)) -> a__U142(mark(X)) mark(U151(X1, X2)) -> a__U151(mark(X1), X2) mark(U152(X)) -> a__U152(mark(X)) mark(U161(X1, X2)) -> a__U161(mark(X1), X2) mark(natsFrom(X)) -> a__natsFrom(mark(X)) mark(U171(X1, X2, X3)) -> a__U171(mark(X1), X2, X3) mark(U172(X1, X2, X3)) -> a__U172(mark(X1), X2, X3) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(afterNth(X1, X2)) -> a__afterNth(mark(X1), mark(X2)) mark(U181(X1, X2)) -> a__U181(mark(X1), X2) mark(U182(X1, X2)) -> a__U182(mark(X1), X2) mark(U191(X1, X2)) -> a__U191(mark(X1), X2) mark(U201(X1, X2, X3, X4)) -> a__U201(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U202(X1, X2, X3, X4)) -> a__U202(mark(X1), X2, X3, X4) mark(isNatural(X)) -> a__isNatural(X) mark(U203(X1, X2, X3, X4)) -> a__U203(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U204(X1, X2)) -> a__U204(mark(X1), X2) mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U211(X1, X2)) -> a__U211(mark(X1), X2) mark(U212(X1, X2)) -> a__U212(mark(X1), X2) mark(U221(X1, X2, X3)) -> a__U221(mark(X1), X2, X3) mark(U222(X1, X2, X3)) -> a__U222(mark(X1), X2, X3) mark(fst(X)) -> a__fst(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X)) -> a__U61(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X)) -> a__U91(mark(X)) mark(isPLNat(X)) -> a__isPLNat(X) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) mark(nil) -> nil mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2) -> U101(X1, X2) a__U102(X) -> U102(X) a__isLNat(X) -> isLNat(X) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U111(X) -> U111(X) a__snd(X) -> snd(X) a__splitAt(X1, X2) -> splitAt(X1, X2) a__U121(X) -> U121(X) a__U131(X1, X2) -> U131(X1, X2) a__U132(X) -> U132(X) a__U141(X1, X2) -> U141(X1, X2) a__U142(X) -> U142(X) a__U151(X1, X2) -> U151(X1, X2) a__U152(X) -> U152(X) a__U161(X1, X2) -> U161(X1, X2) a__natsFrom(X) -> natsFrom(X) a__U171(X1, X2, X3) -> U171(X1, X2, X3) a__U172(X1, X2, X3) -> U172(X1, X2, X3) a__head(X) -> head(X) a__afterNth(X1, X2) -> afterNth(X1, X2) a__U181(X1, X2) -> U181(X1, X2) a__U182(X1, X2) -> U182(X1, X2) a__U191(X1, X2) -> U191(X1, X2) a__U201(X1, X2, X3, X4) -> U201(X1, X2, X3, X4) a__U202(X1, X2, X3, X4) -> U202(X1, X2, X3, X4) a__isNatural(X) -> isNatural(X) a__U203(X1, X2, X3, X4) -> U203(X1, X2, X3, X4) a__U204(X1, X2) -> U204(X1, X2) a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U211(X1, X2) -> U211(X1, X2) a__U212(X1, X2) -> U212(X1, X2) a__U221(X1, X2, X3) -> U221(X1, X2, X3) a__U222(X1, X2, X3) -> U222(X1, X2, X3) a__fst(X) -> fst(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X) -> U61(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X) -> U91(X) a__isPLNat(X) -> isPLNat(X) a__tail(X) -> tail(X) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U102(x_1)) -> U102(encArg(x_1)) encArg(isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U111(x_1)) -> U111(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1)) -> U121(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U132(x_1)) -> U132(encArg(x_1)) encArg(U141(x_1, x_2)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U142(x_1)) -> U142(encArg(x_1)) encArg(U151(x_1, x_2)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U152(x_1)) -> U152(encArg(x_1)) encArg(U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U172(x_1, x_2, x_3)) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U204(x_1, x_2)) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U212(x_1, x_2)) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U222(x_1, x_2, x_3)) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1)) -> U61(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1)) -> U91(encArg(x_1)) encArg(isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U102(x_1)) -> a__U102(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U111(x_1)) -> a__U111(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U121(x_1)) -> a__U121(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U131(x_1, x_2)) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U132(x_1)) -> a__U132(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U141(x_1, x_2)) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U142(x_1)) -> a__U142(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U151(x_1, x_2)) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U152(x_1)) -> a__U152(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U161(x_1, x_2)) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U171(x_1, x_2, x_3)) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U172(x_1, x_2, x_3)) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U181(x_1, x_2)) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U182(x_1, x_2)) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U191(x_1, x_2)) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U204(x_1, x_2)) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U211(x_1, x_2)) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U212(x_1, x_2)) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U221(x_1, x_2, x_3)) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U222(x_1, x_2, x_3)) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U52(x_1)) -> a__U52(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1)) -> a__U61(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1)) -> 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encode_a__isLNat(x_1) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U111(x_1) -> a__U111(encArg(x_1)) encode_a__snd(x_1) -> a__snd(encArg(x_1)) encode_a__splitAt(x_1, x_2) -> a__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U121(x_1) -> a__U121(encArg(x_1)) encode_a__U131(x_1, x_2) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U132(x_1) -> a__U132(encArg(x_1)) encode_a__U141(x_1, x_2) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U142(x_1) -> a__U142(encArg(x_1)) encode_a__U151(x_1, x_2) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U152(x_1) -> a__U152(encArg(x_1)) encode_a__U161(x_1, x_2) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U171(x_1, x_2, x_3) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U172(x_1, x_2, x_3) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__afterNth(x_1, x_2) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U181(x_1, x_2) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U182(x_1, x_2) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U191(x_1, x_2) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__isNatural(x_1) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encode_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U204(x_1, x_2) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) 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encode_a__isPLNat(x_1) -> a__isPLNat(encArg(x_1)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__natsFrom(x_1) -> a__natsFrom(encArg(x_1)) encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U102(x_1) -> U102(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U111(x_1) -> U111(encArg(x_1)) encode_U121(x_1) -> U121(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U132(x_1) -> U132(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U142(x_1) -> U142(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U152(x_1) -> U152(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U172(x_1, x_2, x_3) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U182(x_1, x_2) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U204(x_1, x_2) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U212(x_1, x_2) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U222(x_1, x_2, x_3) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1) -> U61(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1) -> U91(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence mark(afterNth(X1, X2)) ->^+ a__afterNth(mark(X1), mark(X2)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [X1 / afterNth(X1, X2)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, V2) -> a__U102(a__isLNat(V2)) a__U102(tt) -> tt a__U11(tt, N, XS) -> a__U12(a__isLNat(XS), N, XS) a__U111(tt) -> tt a__U12(tt, N, XS) -> a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U121(tt) -> tt a__U131(tt, V2) -> a__U132(a__isLNat(V2)) a__U132(tt) -> tt a__U141(tt, V2) -> a__U142(a__isLNat(V2)) a__U142(tt) -> tt a__U151(tt, V2) -> a__U152(a__isLNat(V2)) a__U152(tt) -> tt a__U161(tt, N) -> cons(mark(N), natsFrom(s(N))) a__U171(tt, N, XS) -> a__U172(a__isLNat(XS), N, XS) a__U172(tt, N, XS) -> a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS))) a__U181(tt, Y) -> a__U182(a__isLNat(Y), Y) a__U182(tt, Y) -> mark(Y) a__U191(tt, XS) -> pair(nil, mark(XS)) a__U201(tt, N, X, XS) -> a__U202(a__isNatural(X), N, X, XS) a__U202(tt, N, X, XS) -> a__U203(a__isLNat(XS), N, X, XS) a__U203(tt, N, X, XS) -> a__U204(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X) a__U204(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS)) a__U21(tt, X, Y) -> a__U22(a__isLNat(Y), X) a__U211(tt, XS) -> a__U212(a__isLNat(XS), XS) a__U212(tt, XS) -> mark(XS) a__U22(tt, X) -> mark(X) a__U221(tt, N, XS) -> a__U222(a__isLNat(XS), N, XS) a__U222(tt, N, XS) -> a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U31(tt, N, XS) -> a__U32(a__isLNat(XS), N) a__U32(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isLNat(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isLNat(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt) -> tt a__afterNth(N, XS) -> a__U11(a__isNatural(N), N, XS) a__fst(pair(X, Y)) -> a__U21(a__isLNat(X), X, Y) a__head(cons(N, XS)) -> a__U31(a__isNatural(N), N, XS) a__isLNat(nil) -> tt a__isLNat(afterNth(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(fst(V1)) -> a__U61(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(natsFrom(V1)) -> a__U71(a__isNatural(V1)) a__isLNat(snd(V1)) -> a__U81(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(tail(V1)) -> a__U91(a__isLNat(V1)) a__isLNat(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatural(V1), V2) a__isNatural(0) -> tt a__isNatural(head(V1)) -> a__U111(a__isLNat(V1)) a__isNatural(s(V1)) -> a__U121(a__isNatural(V1)) a__isNatural(sel(V1, V2)) -> a__U131(a__isNatural(V1), V2) a__isPLNat(pair(V1, V2)) -> a__U141(a__isLNat(V1), V2) a__isPLNat(splitAt(V1, V2)) -> a__U151(a__isNatural(V1), V2) a__natsFrom(N) -> a__U161(a__isNatural(N), N) a__sel(N, XS) -> a__U171(a__isNatural(N), N, XS) a__snd(pair(X, Y)) -> a__U181(a__isLNat(X), Y) a__splitAt(0, XS) -> a__U191(a__isLNat(XS), XS) a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> a__U201(a__isNatural(N), N, X, XS) a__tail(cons(N, XS)) -> a__U211(a__isNatural(N), XS) a__take(N, XS) -> a__U221(a__isNatural(N), N, XS) mark(U101(X1, X2)) -> a__U101(mark(X1), X2) mark(U102(X)) -> a__U102(mark(X)) mark(isLNat(X)) -> a__isLNat(X) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U111(X)) -> a__U111(mark(X)) mark(snd(X)) -> a__snd(mark(X)) mark(splitAt(X1, X2)) -> a__splitAt(mark(X1), mark(X2)) mark(U121(X)) -> a__U121(mark(X)) mark(U131(X1, X2)) -> a__U131(mark(X1), X2) mark(U132(X)) -> a__U132(mark(X)) mark(U141(X1, X2)) -> a__U141(mark(X1), X2) mark(U142(X)) -> a__U142(mark(X)) mark(U151(X1, X2)) -> a__U151(mark(X1), X2) mark(U152(X)) -> a__U152(mark(X)) mark(U161(X1, X2)) -> a__U161(mark(X1), X2) mark(natsFrom(X)) -> a__natsFrom(mark(X)) mark(U171(X1, X2, X3)) -> a__U171(mark(X1), X2, X3) mark(U172(X1, X2, X3)) -> a__U172(mark(X1), X2, X3) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(afterNth(X1, X2)) -> a__afterNth(mark(X1), mark(X2)) mark(U181(X1, X2)) -> a__U181(mark(X1), X2) mark(U182(X1, X2)) -> a__U182(mark(X1), X2) mark(U191(X1, X2)) -> a__U191(mark(X1), X2) mark(U201(X1, X2, X3, X4)) -> a__U201(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U202(X1, X2, X3, X4)) -> a__U202(mark(X1), X2, X3, X4) mark(isNatural(X)) -> a__isNatural(X) mark(U203(X1, X2, X3, X4)) -> a__U203(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U204(X1, X2)) -> a__U204(mark(X1), X2) mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3) 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-> U212(X1, X2) a__U221(X1, X2, X3) -> U221(X1, X2, X3) a__U222(X1, X2, X3) -> U222(X1, X2, X3) a__fst(X) -> fst(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X) -> U61(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X) -> U91(X) a__isPLNat(X) -> isPLNat(X) a__tail(X) -> tail(X) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U102(x_1)) -> U102(encArg(x_1)) encArg(isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U111(x_1)) -> U111(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1)) -> U121(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U132(x_1)) -> U132(encArg(x_1)) encArg(U141(x_1, x_2)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U142(x_1)) -> U142(encArg(x_1)) encArg(U151(x_1, x_2)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U152(x_1)) -> U152(encArg(x_1)) encArg(U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U172(x_1, x_2, x_3)) -> 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a__U132(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U141(x_1, x_2)) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U142(x_1)) -> a__U142(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U151(x_1, x_2)) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U152(x_1)) -> a__U152(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U161(x_1, x_2)) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U171(x_1, x_2, x_3)) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U172(x_1, x_2, x_3)) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U181(x_1, x_2)) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U182(x_1, x_2)) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U191(x_1, x_2)) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U204(x_1, x_2)) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U211(x_1, x_2)) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U212(x_1, x_2)) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U221(x_1, x_2, x_3)) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U222(x_1, x_2, x_3)) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U52(x_1)) -> a__U52(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1)) -> a__U61(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1)) -> 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encode_a__isLNat(x_1) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U111(x_1) -> a__U111(encArg(x_1)) encode_a__snd(x_1) -> a__snd(encArg(x_1)) encode_a__splitAt(x_1, x_2) -> a__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U121(x_1) -> a__U121(encArg(x_1)) encode_a__U131(x_1, x_2) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U132(x_1) -> a__U132(encArg(x_1)) encode_a__U141(x_1, x_2) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U142(x_1) -> a__U142(encArg(x_1)) encode_a__U151(x_1, x_2) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U152(x_1) -> a__U152(encArg(x_1)) encode_a__U161(x_1, x_2) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U171(x_1, x_2, x_3) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U172(x_1, x_2, x_3) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__afterNth(x_1, x_2) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U181(x_1, x_2) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U182(x_1, x_2) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U191(x_1, x_2) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__isNatural(x_1) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encode_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U204(x_1, x_2) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U211(x_1, x_2) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U212(x_1, x_2) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U221(x_1, x_2, x_3) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U222(x_1, x_2, x_3) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__fst(x_1) -> a__fst(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U52(x_1) -> a__U52(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1) -> a__U61(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1) -> a__U71(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1) -> a__U91(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_a__isPLNat(x_1) -> a__isPLNat(encArg(x_1)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__natsFrom(x_1) -> a__natsFrom(encArg(x_1)) encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U102(x_1) -> U102(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U111(x_1) -> U111(encArg(x_1)) encode_U121(x_1) -> U121(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U132(x_1) -> U132(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U142(x_1) -> U142(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U152(x_1) -> U152(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U172(x_1, x_2, x_3) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U182(x_1, x_2) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U204(x_1, x_2) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U212(x_1, x_2) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U222(x_1, x_2, x_3) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1) -> U61(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1) -> U91(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, V2) -> a__U102(a__isLNat(V2)) a__U102(tt) -> tt a__U11(tt, N, XS) -> a__U12(a__isLNat(XS), N, XS) a__U111(tt) -> tt a__U12(tt, N, XS) -> a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U121(tt) -> tt a__U131(tt, V2) -> a__U132(a__isLNat(V2)) a__U132(tt) -> tt a__U141(tt, V2) -> a__U142(a__isLNat(V2)) a__U142(tt) -> tt a__U151(tt, V2) -> a__U152(a__isLNat(V2)) a__U152(tt) -> tt a__U161(tt, N) -> cons(mark(N), natsFrom(s(N))) a__U171(tt, N, XS) -> a__U172(a__isLNat(XS), N, XS) a__U172(tt, N, XS) -> a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS))) a__U181(tt, Y) -> a__U182(a__isLNat(Y), Y) a__U182(tt, Y) -> mark(Y) a__U191(tt, XS) -> pair(nil, mark(XS)) a__U201(tt, N, X, XS) -> a__U202(a__isNatural(X), N, X, XS) a__U202(tt, N, X, XS) -> a__U203(a__isLNat(XS), N, X, XS) a__U203(tt, N, X, XS) -> a__U204(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X) a__U204(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS)) a__U21(tt, X, Y) -> a__U22(a__isLNat(Y), X) a__U211(tt, XS) -> a__U212(a__isLNat(XS), XS) a__U212(tt, XS) -> mark(XS) a__U22(tt, X) -> mark(X) a__U221(tt, N, XS) -> a__U222(a__isLNat(XS), N, XS) a__U222(tt, N, XS) -> a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS))) a__U31(tt, N, XS) -> a__U32(a__isLNat(XS), N) a__U32(tt, N) -> mark(N) a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isLNat(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isLNat(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt) -> tt a__afterNth(N, XS) -> a__U11(a__isNatural(N), N, XS) a__fst(pair(X, Y)) -> a__U21(a__isLNat(X), X, Y) a__head(cons(N, XS)) -> a__U31(a__isNatural(N), N, XS) a__isLNat(nil) -> tt a__isLNat(afterNth(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatural(V1), V2) a__isLNat(fst(V1)) -> a__U61(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(natsFrom(V1)) -> a__U71(a__isNatural(V1)) a__isLNat(snd(V1)) -> a__U81(a__isPLNat(V1)) a__isLNat(tail(V1)) -> a__U91(a__isLNat(V1)) a__isLNat(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatural(V1), V2) a__isNatural(0) -> tt a__isNatural(head(V1)) -> a__U111(a__isLNat(V1)) a__isNatural(s(V1)) -> a__U121(a__isNatural(V1)) a__isNatural(sel(V1, V2)) -> a__U131(a__isNatural(V1), V2) a__isPLNat(pair(V1, V2)) -> a__U141(a__isLNat(V1), V2) a__isPLNat(splitAt(V1, V2)) -> a__U151(a__isNatural(V1), V2) a__natsFrom(N) -> a__U161(a__isNatural(N), N) a__sel(N, XS) -> a__U171(a__isNatural(N), N, XS) a__snd(pair(X, Y)) -> a__U181(a__isLNat(X), Y) a__splitAt(0, XS) -> a__U191(a__isLNat(XS), XS) a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> a__U201(a__isNatural(N), N, X, XS) a__tail(cons(N, XS)) -> a__U211(a__isNatural(N), XS) a__take(N, XS) -> a__U221(a__isNatural(N), N, XS) mark(U101(X1, X2)) -> a__U101(mark(X1), X2) mark(U102(X)) -> a__U102(mark(X)) mark(isLNat(X)) -> a__isLNat(X) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U111(X)) -> a__U111(mark(X)) mark(snd(X)) -> a__snd(mark(X)) mark(splitAt(X1, X2)) -> a__splitAt(mark(X1), mark(X2)) mark(U121(X)) -> a__U121(mark(X)) mark(U131(X1, X2)) -> a__U131(mark(X1), X2) mark(U132(X)) -> a__U132(mark(X)) mark(U141(X1, X2)) -> a__U141(mark(X1), X2) mark(U142(X)) -> a__U142(mark(X)) mark(U151(X1, X2)) -> a__U151(mark(X1), X2) mark(U152(X)) -> a__U152(mark(X)) mark(U161(X1, X2)) -> a__U161(mark(X1), X2) mark(natsFrom(X)) -> a__natsFrom(mark(X)) mark(U171(X1, X2, X3)) -> a__U171(mark(X1), X2, X3) mark(U172(X1, X2, X3)) -> a__U172(mark(X1), X2, X3) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(afterNth(X1, X2)) -> a__afterNth(mark(X1), mark(X2)) mark(U181(X1, X2)) -> a__U181(mark(X1), X2) mark(U182(X1, X2)) -> a__U182(mark(X1), X2) mark(U191(X1, X2)) -> a__U191(mark(X1), X2) mark(U201(X1, X2, X3, X4)) -> a__U201(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U202(X1, X2, X3, X4)) -> a__U202(mark(X1), X2, X3, X4) mark(isNatural(X)) -> a__isNatural(X) mark(U203(X1, X2, X3, X4)) -> a__U203(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U204(X1, X2)) -> a__U204(mark(X1), X2) mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U211(X1, X2)) -> a__U211(mark(X1), X2) mark(U212(X1, X2)) -> a__U212(mark(X1), X2) mark(U221(X1, X2, X3)) -> a__U221(mark(X1), X2, X3) mark(U222(X1, X2, X3)) -> a__U222(mark(X1), X2, X3) mark(fst(X)) -> a__fst(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X)) -> a__U61(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X)) -> a__U91(mark(X)) mark(isPLNat(X)) -> a__isPLNat(X) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) mark(nil) -> nil mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2) -> U101(X1, X2) a__U102(X) -> U102(X) a__isLNat(X) -> isLNat(X) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U111(X) -> U111(X) a__snd(X) -> snd(X) a__splitAt(X1, X2) -> splitAt(X1, X2) a__U121(X) -> U121(X) a__U131(X1, X2) -> U131(X1, X2) a__U132(X) -> U132(X) a__U141(X1, X2) -> U141(X1, X2) a__U142(X) -> U142(X) a__U151(X1, X2) -> U151(X1, X2) a__U152(X) -> U152(X) a__U161(X1, X2) -> U161(X1, X2) a__natsFrom(X) -> natsFrom(X) a__U171(X1, X2, X3) -> U171(X1, X2, X3) a__U172(X1, X2, X3) -> U172(X1, X2, X3) a__head(X) -> head(X) a__afterNth(X1, X2) -> afterNth(X1, X2) a__U181(X1, X2) -> U181(X1, X2) a__U182(X1, X2) -> U182(X1, X2) a__U191(X1, X2) -> U191(X1, X2) a__U201(X1, X2, X3, X4) -> U201(X1, X2, X3, X4) a__U202(X1, X2, X3, X4) -> U202(X1, X2, X3, X4) a__isNatural(X) -> isNatural(X) a__U203(X1, X2, X3, X4) -> U203(X1, X2, X3, X4) a__U204(X1, X2) -> U204(X1, X2) a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U211(X1, X2) -> U211(X1, X2) a__U212(X1, X2) -> U212(X1, X2) a__U221(X1, X2, X3) -> U221(X1, X2, X3) a__U222(X1, X2, X3) -> U222(X1, X2, X3) a__fst(X) -> fst(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X) -> U61(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X) -> U91(X) a__isPLNat(X) -> isPLNat(X) a__tail(X) -> tail(X) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U102(x_1)) -> U102(encArg(x_1)) encArg(isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U111(x_1)) -> U111(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1)) -> U121(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U132(x_1)) -> U132(encArg(x_1)) encArg(U141(x_1, x_2)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U142(x_1)) -> U142(encArg(x_1)) encArg(U151(x_1, x_2)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U152(x_1)) -> U152(encArg(x_1)) encArg(U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U172(x_1, x_2, x_3)) -> U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U204(x_1, x_2)) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U212(x_1, x_2)) -> U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U222(x_1, x_2, x_3)) -> U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1)) -> U61(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1)) -> U91(encArg(x_1)) encArg(isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U102(x_1)) -> a__U102(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U111(x_1)) -> a__U111(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U121(x_1)) -> a__U121(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U131(x_1, x_2)) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U132(x_1)) -> a__U132(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U141(x_1, x_2)) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U142(x_1)) -> a__U142(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U151(x_1, x_2)) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U152(x_1)) -> a__U152(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U161(x_1, x_2)) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U171(x_1, x_2, x_3)) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U172(x_1, x_2, x_3)) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U181(x_1, x_2)) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U182(x_1, x_2)) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U191(x_1, x_2)) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U204(x_1, x_2)) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U211(x_1, x_2)) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U212(x_1, x_2)) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U221(x_1, x_2, x_3)) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U222(x_1, x_2, x_3)) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U52(x_1)) -> a__U52(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1)) -> a__U61(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1)) -> a__U71(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1)) -> a__U91(encArg(x_1)) encArg(cons_a__afterNth(x_1, x_2)) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__fst(x_1)) -> a__fst(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isLNat(x_1)) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatural(x_1)) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPLNat(x_1)) -> a__isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__natsFrom(x_1)) -> a__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__snd(x_1)) -> a__snd(encArg(x_1)) encArg(cons_a__splitAt(x_1, x_2)) -> a__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1) -> a__U102(encArg(x_1)) encode_a__isLNat(x_1) -> a__isLNat(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U111(x_1) -> a__U111(encArg(x_1)) encode_a__snd(x_1) -> a__snd(encArg(x_1)) encode_a__splitAt(x_1, x_2) -> a__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U121(x_1) -> a__U121(encArg(x_1)) encode_a__U131(x_1, x_2) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U132(x_1) -> a__U132(encArg(x_1)) encode_a__U141(x_1, x_2) -> a__U141(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U142(x_1) -> a__U142(encArg(x_1)) encode_a__U151(x_1, x_2) -> a__U151(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U152(x_1) -> a__U152(encArg(x_1)) encode_a__U161(x_1, x_2) -> a__U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U171(x_1, x_2, x_3) -> a__U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U172(x_1, x_2, x_3) -> a__U172(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__afterNth(x_1, x_2) -> a__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U181(x_1, x_2) -> a__U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U182(x_1, x_2) -> a__U182(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U191(x_1, x_2) -> a__U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_a__U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U202(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__isNatural(x_1) -> a__isNatural(encArg(x_1)) encode_a__U203(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_a__U204(x_1, x_2) -> a__U204(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U211(x_1, x_2) -> a__U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U212(x_1, x_2) -> a__U212(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U221(x_1, x_2, x_3) -> a__U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U222(x_1, x_2, x_3) -> a__U222(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__fst(x_1) -> a__fst(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U52(x_1) -> a__U52(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1) -> a__U61(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1) -> a__U71(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1) -> a__U91(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) 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