/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^2)) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 259 ms] (4) CpxRelTRS (5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 11 ms] (6) CdtProblem (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (8) CdtProblem (9) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 3 ms] (10) CdtProblem (11) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 6 ms] (12) CdtProblem (13) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (14) CdtProblem (15) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (16) CdtProblem (17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 255 ms] (18) CdtProblem (19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 117 ms] (20) CdtProblem (21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 127 ms] (22) CdtProblem (23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 431 ms] (24) CdtProblem (25) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 401 ms] (26) CdtProblem (27) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 335 ms] (28) CdtProblem (29) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 314 ms] (30) CdtProblem (31) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 307 ms] (32) CdtProblem (33) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (34) BOUNDS(1, 1) (35) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (36) CpxRelTRS (37) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (38) typed CpxTrs (39) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (40) typed CpxTrs (41) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 751 ms] (42) BEST (43) proven lower bound (44) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (45) BOUNDS(n^1, INF) (46) typed CpxTrs (47) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 87 ms] (48) typed CpxTrs (49) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 525 ms] (50) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: minus(n__0, Y) -> 0 minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0, n__s(Y)) -> 0 div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0 -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: minus(n__0, Y) -> 0 minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0, n__s(Y)) -> 0 div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0 -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: minus(n__0, Y) -> 0 minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0, n__s(Y)) -> 0 div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0 -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (6) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_geq(z0, z1) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(z0, z1) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) div(0, n__s(z0)) -> 0 div(s(z0), n__s(z1)) -> if(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__0) -> c ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(true) -> c2 ENCARG(false) -> c3 ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(DIV(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c11(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_N__0 -> c12 ENCODE_0 -> c13(0') ENCODE_N__S(z0) -> c14(ENCARG(z0)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c16(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_TRUE -> c17 ENCODE_FALSE -> c18 ENCODE_DIV(z0, z1) -> c19(DIV(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_S(z0) -> c20(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c21(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) DIV(0, n__s(z0)) -> c27(0') DIV(s(z0), n__s(z1)) -> c28(IF(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0), GEQ(z0, activate(z1)), ACTIVATE(z1), DIV(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1))), MINUS(z0, activate(z1)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 S tuples: MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) DIV(0, n__s(z0)) -> c27(0') DIV(s(z0), n__s(z1)) -> c28(IF(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0), GEQ(z0, activate(z1)), ACTIVATE(z1), DIV(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1))), MINUS(z0, activate(z1)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples:none Defined Rule Symbols: minus_2, geq_2, div_2, if_3, 0, s_1, activate_1, encArg_1, encode_minus_2, encode_n__0, encode_0, encode_n__s_1, encode_activate_1, encode_geq_2, encode_true, encode_false, encode_div_2, encode_s_1, encode_if_3 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_N__0, ENCODE_0, ENCODE_N__S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_TRUE, ENCODE_FALSE, ENCODE_DIV_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3, MINUS_2, GEQ_2, DIV_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1 Compound Symbols: c, c1_1, c2, c3, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c11_3, c12, c13_1, c14_1, c15_2, c16_3, c17, c18, c19_3, c20_2, c21_4, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c27_1, c28_7, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35 ---------------------------------------- (7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 4 leading nodes: ENCODE_N__S(z0) -> c14(ENCARG(z0)) ENCODE_0 -> c13(0') DIV(0, n__s(z0)) -> c27(0') DIV(s(z0), n__s(z1)) -> c28(IF(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0), GEQ(z0, activate(z1)), ACTIVATE(z1), DIV(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1))), MINUS(z0, activate(z1)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z1)) Removed 6 trailing nodes: ENCODE_N__0 -> c12 ENCARG(n__0) -> c ENCODE_TRUE -> c17 ENCARG(true) -> c2 ENCODE_FALSE -> c18 ENCARG(false) -> c3 ---------------------------------------- (8) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_geq(z0, z1) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(z0, z1) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) div(0, n__s(z0)) -> 0 div(s(z0), n__s(z1)) -> if(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(DIV(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c11(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c16(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_DIV(z0, z1) -> c19(DIV(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_S(z0) -> c20(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c21(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 S tuples: MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples:none Defined Rule Symbols: minus_2, geq_2, div_2, if_3, 0, s_1, activate_1, encArg_1, encode_minus_2, encode_n__0, encode_0, encode_n__s_1, encode_activate_1, encode_geq_2, encode_true, encode_false, encode_div_2, encode_s_1, encode_if_3 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_DIV_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c11_3, c15_2, c16_3, c19_3, c20_2, c21_4, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35 ---------------------------------------- (9) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (10) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_geq(z0, z1) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(z0, z1) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) div(0, n__s(z0)) -> 0 div(s(z0), n__s(z1)) -> if(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c11(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c16(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_S(z0) -> c20(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c21(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_DIV(z0, z1) -> c19(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) S tuples: MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples:none Defined Rule Symbols: minus_2, geq_2, div_2, if_3, 0, s_1, activate_1, encArg_1, encode_minus_2, encode_n__0, encode_0, encode_n__s_1, encode_activate_1, encode_geq_2, encode_true, encode_false, encode_div_2, encode_s_1, encode_if_3 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_DIV_2 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c11_3, c15_2, c16_3, c20_2, c21_4, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c19_2 ---------------------------------------- (11) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (12) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_geq(z0, z1) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(z0, z1) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) div(0, n__s(z0)) -> 0 div(s(z0), n__s(z1)) -> if(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_DIV(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_DIV(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) S tuples: MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples:none Defined Rule Symbols: minus_2, geq_2, div_2, if_3, 0, s_1, activate_1, encArg_1, encode_minus_2, encode_n__0, encode_0, encode_n__s_1, encode_activate_1, encode_geq_2, encode_true, encode_false, encode_div_2, encode_s_1, encode_if_3 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_DIV_2 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (13) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 11 leading nodes: ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_S(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_DIV(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_DIV(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ---------------------------------------- (14) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_geq(z0, z1) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(z0, z1) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) div(0, n__s(z0)) -> 0 div(s(z0), n__s(z1)) -> if(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples:none Defined Rule Symbols: minus_2, geq_2, div_2, if_3, 0, s_1, activate_1, encArg_1, encode_minus_2, encode_n__0, encode_0, encode_n__s_1, encode_activate_1, encode_geq_2, encode_true, encode_false, encode_div_2, encode_s_1, encode_if_3 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (15) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0 encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_geq(z0, z1) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(z0, z1) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) div(0, n__s(z0)) -> 0 div(s(z0), n__s(z1)) -> if(geq(z0, activate(z1)), n__s(div(minus(z0, activate(z1)), n__s(activate(z1)))), n__0) ---------------------------------------- (16) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 We considered the (Usable) Rules:none And the Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = [1] POL(0') = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = x_1 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCODE_GEQ(x_1, x_2)) = [1] + x_1 POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = 0 POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = 0 POL(ENCODE_S(x_1)) = 0 POL(GEQ(x_1, x_2)) = [1] POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = 0 POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0 POL(S(x_1)) = 0 POL(activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c22(x_1)) = x_1 POL(c23(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c24) = 0 POL(c25) = 0 POL(c26(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c29(x_1)) = x_1 POL(c30(x_1)) = x_1 POL(c31) = 0 POL(c32) = 0 POL(c33(x_1)) = x_1 POL(c34(x_1)) = x_1 POL(c35) = 0 POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_0) = [1] POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_div(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_geq(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1 POL(div(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1 POL(false) = 0 POL(geq(x_1, x_2)) = [1] + x_1 POL(if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(n__0) = 0 POL(n__s(x_1)) = x_1 POL(s(x_1)) = [1] + x_1 POL(true) = 0 ---------------------------------------- (18) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples: GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) We considered the (Usable) Rules:none And the Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = [1] POL(0') = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = x_1 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCODE_GEQ(x_1, x_2)) = [1] POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = 0 POL(ENCODE_S(x_1)) = 0 POL(GEQ(x_1, x_2)) = [1] POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0 POL(S(x_1)) = 0 POL(activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c22(x_1)) = x_1 POL(c23(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c24) = 0 POL(c25) = 0 POL(c26(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c29(x_1)) = x_1 POL(c30(x_1)) = x_1 POL(c31) = 0 POL(c32) = 0 POL(c33(x_1)) = x_1 POL(c34(x_1)) = x_1 POL(c35) = 0 POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_0) = [1] POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_div(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_geq(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1 POL(div(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1 POL(false) = [1] POL(geq(x_1, x_2)) = [1] + x_1 POL(if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(n__0) = 0 POL(n__s(x_1)) = x_1 POL(s(x_1)) = [1] + x_1 POL(true) = 0 ---------------------------------------- (20) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples: GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. MINUS(n__0, z0) -> c22(0') We considered the (Usable) Rules: minus(n__0, z0) -> 0 encArg(n__0) -> n__0 encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) 0 -> n__0 activate(z0) -> z0 if(true, z0, z1) -> activate(z0) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(true) -> true encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) encArg(false) -> false activate(n__0) -> 0 geq(z0, n__0) -> true if(false, z0, z1) -> activate(z1) s(z0) -> n__s(z0) activate(n__s(z0)) -> s(z0) encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) geq(n__0, n__s(z0)) -> false And the Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(0') = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = x_1 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCODE_GEQ(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [1] + x_1 POL(ENCODE_S(x_1)) = 0 POL(GEQ(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(MINUS(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(S(x_1)) = 0 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c22(x_1)) = x_1 POL(c23(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c24) = 0 POL(c25) = 0 POL(c26(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c29(x_1)) = x_1 POL(c30(x_1)) = x_1 POL(c31) = 0 POL(c32) = 0 POL(c33(x_1)) = x_1 POL(c34(x_1)) = x_1 POL(c35) = 0 POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_0) = [1] POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_div(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_geq(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1 POL(div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = 0 POL(false) = 0 POL(geq(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(minus(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(n__0) = 0 POL(n__s(x_1)) = x_1 POL(s(x_1)) = x_1 POL(true) = 0 ---------------------------------------- (22) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples: GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) We considered the (Usable) Rules: minus(n__0, z0) -> 0 encArg(n__0) -> n__0 encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) 0 -> n__0 activate(z0) -> z0 if(true, z0, z1) -> activate(z0) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(true) -> true encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) encArg(false) -> false activate(n__0) -> 0 geq(z0, n__0) -> true if(false, z0, z1) -> activate(z1) s(z0) -> n__s(z0) activate(n__s(z0)) -> s(z0) encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) geq(n__0, n__s(z0)) -> false And the Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(0') = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_GEQ(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + x_1^2 POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_S(x_1)) = [1] + [2]x_1 + x_1^2 POL(GEQ(x_1, x_2)) = 0 POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = 0 POL(MINUS(x_1, x_2)) = [2]x_1 POL(S(x_1)) = 0 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c22(x_1)) = x_1 POL(c23(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c24) = 0 POL(c25) = 0 POL(c26(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c29(x_1)) = x_1 POL(c30(x_1)) = x_1 POL(c31) = 0 POL(c32) = 0 POL(c33(x_1)) = x_1 POL(c34(x_1)) = x_1 POL(c35) = 0 POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_0) = 0 POL(cons_activate(x_1)) = x_1 POL(cons_div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_geq(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1 POL(div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = x_1 POL(false) = 0 POL(geq(x_1, x_2)) = 0 POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_2 + x_3 POL(minus(x_1, x_2)) = [2] POL(n__0) = 0 POL(n__s(x_1)) = [1] + x_1 POL(s(x_1)) = [1] + x_1 POL(true) = 0 ---------------------------------------- (24) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples: GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (25) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) We considered the (Usable) Rules: minus(n__0, z0) -> 0 encArg(n__0) -> n__0 encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) 0 -> n__0 activate(z0) -> z0 if(true, z0, z1) -> activate(z0) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(true) -> true encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) encArg(false) -> false activate(n__0) -> 0 geq(z0, n__0) -> true if(false, z0, z1) -> activate(z1) s(z0) -> n__s(z0) activate(n__s(z0)) -> s(z0) encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) geq(n__0, n__s(z0)) -> false And the Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(0') = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + [2]x_1^2 POL(ENCODE_GEQ(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + x_1^2 + x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_S(x_1)) = [1] + [2]x_1^2 POL(GEQ(x_1, x_2)) = x_2 POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = 0 POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0 POL(S(x_1)) = 0 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c22(x_1)) = x_1 POL(c23(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c24) = 0 POL(c25) = 0 POL(c26(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c29(x_1)) = x_1 POL(c30(x_1)) = x_1 POL(c31) = 0 POL(c32) = 0 POL(c33(x_1)) = x_1 POL(c34(x_1)) = x_1 POL(c35) = 0 POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_0) = 0 POL(cons_activate(x_1)) = x_1 POL(cons_div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_geq(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1 POL(div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = x_1 POL(false) = 0 POL(geq(x_1, x_2)) = 0 POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_2 + x_3 POL(minus(x_1, x_2)) = 0 POL(n__0) = 0 POL(n__s(x_1)) = [1] + x_1 POL(s(x_1)) = [1] + x_1 POL(true) = 0 ---------------------------------------- (26) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 K tuples: GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (27) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 We considered the (Usable) Rules: minus(n__0, z0) -> 0 encArg(n__0) -> n__0 encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) 0 -> n__0 activate(z0) -> z0 if(true, z0, z1) -> activate(z0) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(true) -> true encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) encArg(false) -> false activate(n__0) -> 0 geq(z0, n__0) -> true if(false, z0, z1) -> activate(z1) s(z0) -> n__s(z0) activate(n__s(z0)) -> s(z0) encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) geq(n__0, n__s(z0)) -> false And the Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(0') = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = [1] POL(ENCARG(x_1)) = [2]x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + [2]x_1 + x_1^2 POL(ENCODE_GEQ(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + x_1^2 POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + x_1*x_3 + x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_S(x_1)) = [1] + [2]x_1 + x_1^2 POL(GEQ(x_1, x_2)) = [2]x_1*x_2 POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = [2] POL(MINUS(x_1, x_2)) = x_2 POL(S(x_1)) = 0 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c22(x_1)) = x_1 POL(c23(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c24) = 0 POL(c25) = 0 POL(c26(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c29(x_1)) = x_1 POL(c30(x_1)) = x_1 POL(c31) = 0 POL(c32) = 0 POL(c33(x_1)) = x_1 POL(c34(x_1)) = x_1 POL(c35) = 0 POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_0) = 0 POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_geq(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_s(x_1)) = [2] + x_1 POL(div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = x_1 POL(false) = 0 POL(geq(x_1, x_2)) = 0 POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_2 + x_3 POL(minus(x_1, x_2)) = 0 POL(n__0) = 0 POL(n__s(x_1)) = [2] + x_1 POL(s(x_1)) = [2] + x_1 POL(true) = 0 ---------------------------------------- (28) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: 0' -> c31 S(z0) -> c32 K tuples: GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (29) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. 0' -> c31 We considered the (Usable) Rules: minus(n__0, z0) -> 0 encArg(n__0) -> n__0 encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) 0 -> n__0 activate(z0) -> z0 if(true, z0, z1) -> activate(z0) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(true) -> true encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) encArg(false) -> false activate(n__0) -> 0 geq(z0, n__0) -> true if(false, z0, z1) -> activate(z1) s(z0) -> n__s(z0) activate(n__s(z0)) -> s(z0) encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) geq(n__0, n__s(z0)) -> false And the Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = [1] POL(0') = [1] POL(ACTIVATE(x_1)) = [1] POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [2] + x_1 + x_1^2 POL(ENCODE_GEQ(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + x_1^2 POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_S(x_1)) = [1] + [2]x_1 + x_1^2 POL(GEQ(x_1, x_2)) = x_2 POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] POL(MINUS(x_1, x_2)) = x_1 POL(S(x_1)) = 0 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c22(x_1)) = x_1 POL(c23(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c24) = 0 POL(c25) = 0 POL(c26(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c29(x_1)) = x_1 POL(c30(x_1)) = x_1 POL(c31) = 0 POL(c32) = 0 POL(c33(x_1)) = x_1 POL(c34(x_1)) = x_1 POL(c35) = 0 POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_0) = [1] POL(cons_activate(x_1)) = [2] + x_1 POL(cons_div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_geq(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(cons_s(x_1)) = [2] + x_1 POL(div(x_1, x_2)) = 0 POL(encArg(x_1)) = [2] + x_1 POL(false) = [2] POL(geq(x_1, x_2)) = [2] POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_2 + x_3 POL(minus(x_1, x_2)) = x_1 POL(n__0) = [1] POL(n__s(x_1)) = [2] + x_1 POL(s(x_1)) = [2] + x_1 POL(true) = 0 ---------------------------------------- (30) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples: S(z0) -> c32 K tuples: GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 0' -> c31 Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (31) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. S(z0) -> c32 We considered the (Usable) Rules: minus(n__0, z0) -> 0 encArg(n__0) -> n__0 encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) 0 -> n__0 activate(z0) -> z0 if(true, z0, z1) -> activate(z0) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(true) -> true encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) encArg(false) -> false activate(n__0) -> 0 geq(z0, n__0) -> true if(false, z0, z1) -> activate(z1) s(z0) -> n__s(z0) activate(n__s(z0)) -> s(z0) encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) geq(n__0, n__s(z0)) -> false And the Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(0') = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = x_1 POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_GEQ(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_3 + [2]x_3^2 + x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_S(x_1)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(GEQ(x_1, x_2)) = x_1 + x_1*x_2 POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = [2]x_1*x_3 + [2]x_1*x_2 POL(MINUS(x_1, x_2)) = [2]x_1*x_2 POL(S(x_1)) = [1] POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c22(x_1)) = x_1 POL(c23(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c24) = 0 POL(c25) = 0 POL(c26(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c29(x_1)) = x_1 POL(c30(x_1)) = x_1 POL(c31) = 0 POL(c32) = 0 POL(c33(x_1)) = x_1 POL(c34(x_1)) = x_1 POL(c35) = 0 POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_0) = 0 POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_geq(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(cons_s(x_1)) = [2] + x_1 POL(div(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = x_1 POL(false) = [2] POL(geq(x_1, x_2)) = [1] + x_2 POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_2 + x_3 POL(minus(x_1, x_2)) = x_1 POL(n__0) = 0 POL(n__s(x_1)) = [1] + x_1 POL(s(x_1)) = [1] + x_1 POL(true) = [1] ---------------------------------------- (32) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_geq(z0, z1)) -> geq(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_div(z0, z1)) -> div(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) minus(n__0, z0) -> 0 minus(n__s(z0), n__s(z1)) -> minus(activate(z0), activate(z1)) geq(z0, n__0) -> true geq(n__0, n__s(z0)) -> false geq(n__s(z0), n__s(z1)) -> geq(activate(z0), activate(z1)) if(true, z0, z1) -> activate(z0) if(false, z0, z1) -> activate(z1) 0 -> n__0 s(z0) -> n__s(z0) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(z0)) -> s(z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(n__s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c4(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_geq(z0, z1)) -> c5(GEQ(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c7(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_0) -> c8(0') ENCARG(cons_s(z0)) -> c9(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) 0' -> c31 S(z0) -> c32 ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 ENCARG(cons_div(z0, z1)) -> c6(ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_GEQ(z0, z1) -> c(GEQ(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) S tuples:none K tuples: GEQ(z0, n__0) -> c24 GEQ(n__0, n__s(z0)) -> c25 IF(true, z0, z1) -> c29(ACTIVATE(z0)) IF(false, z0, z1) -> c30(ACTIVATE(z1)) MINUS(n__0, z0) -> c22(0') MINUS(n__s(z0), n__s(z1)) -> c23(MINUS(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) GEQ(n__s(z0), n__s(z1)) -> c26(GEQ(activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) ACTIVATE(n__0) -> c33(0') ACTIVATE(n__s(z0)) -> c34(S(z0)) ACTIVATE(z0) -> c35 0' -> c31 S(z0) -> c32 Defined Rule Symbols: encArg_1, minus_2, geq_2, if_3, 0, s_1, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, MINUS_2, GEQ_2, IF_3, 0', S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_GEQ_2, ENCODE_S_1, ENCODE_IF_3 Compound Symbols: c1_1, c4_3, c5_3, c7_4, c8_1, c9_2, c10_2, c22_1, c23_3, c24, c25, c26_3, c29_1, c30_1, c31, c32, c33_1, c34_1, c35, c6_2, c_1 ---------------------------------------- (33) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The set S is empty ---------------------------------------- (34) BOUNDS(1, 1) ---------------------------------------- (35) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (36) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(n__0, Y) -> 0' minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0', n__s(Y)) -> 0' div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0' encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (37) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (38) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(n__0, Y) -> 0' minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0', n__s(Y)) -> 0' div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0' encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate ---------------------------------------- (39) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: minus, geq, div, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < div minus < encArg geq < div geq < encArg div < encArg ---------------------------------------- (40) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(n__0, Y) -> 0' minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0', n__s(Y)) -> 0' div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0' encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate Generator Equations: gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0 gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, geq, div, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < div minus < encArg geq < div geq < encArg div < encArg ---------------------------------------- (41) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(2, n4_4)), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))) -> minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(1), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)), rt in Omega(1 + n4_4) Induction Base: minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(2, 0)), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, 0))) ->_R^Omega(1) minus(activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(1)), activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0))) ->_R^Omega(1) minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(1), activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0))) ->_R^Omega(1) minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(1), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) Induction Step: minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(2, +(n4_4, 1))), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) minus(activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(2, n4_4))), activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4)))) ->_R^Omega(1) minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(2, n4_4)), activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4)))) ->_R^Omega(1) minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(2, n4_4)), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))) ->_IH minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(1), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (42) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (43) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: minus(n__0, Y) -> 0' minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0', n__s(Y)) -> 0' div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0' encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate Generator Equations: gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0 gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, geq, div, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < div minus < encArg geq < div geq < encArg div < encArg ---------------------------------------- (44) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (45) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (46) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(n__0, Y) -> 0' minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0', n__s(Y)) -> 0' div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0' encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate Lemmas: minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(2, n4_4)), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))) -> minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(1), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)), rt in Omega(1 + n4_4) Generator Equations: gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0 gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: geq, div, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: geq < div geq < encArg div < encArg ---------------------------------------- (47) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: geq(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10201_4), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n10201_4))) -> false, rt in Omega(1 + n10201_4) Induction Base: geq(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, 0))) ->_R^Omega(1) false Induction Step: geq(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n10201_4, 1)), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, +(n10201_4, 1)))) ->_R^Omega(1) geq(activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10201_4)), activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n10201_4)))) ->_R^Omega(1) geq(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10201_4), activate(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n10201_4)))) ->_R^Omega(1) geq(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10201_4), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n10201_4))) ->_IH false We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (48) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(n__0, Y) -> 0' minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y)) geq(X, n__0) -> true geq(n__0, n__s(Y)) -> false geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y)) div(0', n__s(Y)) -> 0' div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(div(minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0) if(true, X, Y) -> activate(X) if(false, X, Y) -> activate(Y) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_0 -> 0' encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_minus :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_geq :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_div :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate encode_if :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate Lemmas: minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(2, n4_4)), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n4_4))) -> minus(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(1), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)), rt in Omega(1 + n4_4) geq(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10201_4), gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(1, n10201_4))) -> false, rt in Omega(1 + n10201_4) Generator Equations: gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0 gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: div, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div < encArg ---------------------------------------- (49) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n11616_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n11616_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(0) n__0 Induction Step: encArg(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n11616_4, 1))) ->_R^Omega(0) n__s(encArg(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n11616_4))) ->_IH n__s(gen_n__0:n__s:true:false:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(c11617_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (50) BOUNDS(1, INF)