/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 274 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 291 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 73 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 82 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 99 ms]
        (22) typed CpxTrs
        (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 82 ms]
        (24) typed CpxTrs
        (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 71 ms]
        (26) typed CpxTrs
        (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 86 ms]
        (28) typed CpxTrs
        (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 100 ms]
        (30) typed CpxTrs
        (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 96 ms]
        (32) typed CpxTrs
        (33) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 54 ms]
        (34) typed CpxTrs
        (35) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 275 ms]
        (36) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
   U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
   U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
   U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
   plus(N, 0) -> N
   plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
   x(N, 0) -> 0
   x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
   activate(X) -> X

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_tt -> tt
   encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
   U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
   U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
   U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
   plus(N, 0) -> N
   plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
   x(N, 0) -> 0
   x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_tt -> tt
   encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
   U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
   U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
   U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
   plus(N, 0) -> N
   plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
   x(N, 0) -> 0
   x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_tt -> tt
   encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
   U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
   U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
   U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
   plus(N, 0') -> N
   plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
   x(N, 0') -> 0'
   x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0') -> 0'
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_tt -> tt
   encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
U11, U12, plus, U21, U22, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 = U12
U11 = plus
U11 < encArg
U12 = plus
U12 < encArg
plus < U22
plus < encArg
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U12, U11, plus, U21, U22, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 = U12
U11 = plus
U11 < encArg
U12 = plus
U12 < encArg
plus < U22
plus < encArg
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)

Induction Base:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

Induction Step:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n4_4, 1)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) ->_R^Omega(1)
s(plus(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n4_4, 1))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n4_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n4_4)))) ->_R^Omega(1)
s(U11(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
s(U12(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)))) ->_R^Omega(1)
s(U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4_4), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)))) ->_R^Omega(1)
s(U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_IH
s(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U12, U11, plus, U21, U22, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 = U12
U11 = plus
U11 < encArg
U12 = plus
U12 < encArg
plus < U22
plus < encArg
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, U11, U21, U22, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 = U12
U11 = plus
U11 < encArg
U12 = plus
U12 < encArg
plus < U22
plus < encArg
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1956_4)

Induction Base:
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, +(n1956_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
U11(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)) ->_R^Omega(1)
U12(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)) ->_R^Omega(1)
s(plus(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4)))) ->_IH
s(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1956_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U11, U12, U21, U22, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 = U12
U11 = plus
U11 < encArg
U12 = plus
U12 < encArg
plus < U22
plus < encArg
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)

Induction Base:
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

Induction Step:
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n4813_4, 1)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) ->_R^Omega(1)
U12(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n4813_4, 1))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n4813_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n4813_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) ->_R^Omega(1)
s(plus(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n4813_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n4813_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n4813_4)))) ->_R^Omega(1)
s(U11(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_IH
s(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1956_4)
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U12, plus, U21, U22, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 = U12
U11 = plus
U11 < encArg
U12 = plus
U12 < encArg
plus < U22
plus < encArg
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n7916_4)

Induction Base:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

Induction Step:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n7916_4, 1)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) ->_R^Omega(1)
s(plus(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n7916_4, 1))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n7916_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n7916_4)))) ->_R^Omega(1)
s(U11(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
s(U12(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)))) ->_R^Omega(1)
s(U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)))) ->_R^Omega(1)
s(U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_IH
s(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n7916_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n1956_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1956_4)
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, U21, U22, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 = U12
U11 = plus
U11 < encArg
U12 = plus
U12 < encArg
plus < U22
plus < encArg
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))) -> *3_4, rt in Omega(n10894_4)

Induction Base:
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, +(n10894_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
U11(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)) ->_R^Omega(1)
U12(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
U12(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)) ->_R^Omega(1)
s(plus(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4)))) ->_IH
s(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n7916_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))) -> *3_4, rt in Omega(n10894_4)
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U22, U21, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n14451_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n14451_4)

Induction Base:
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

Induction Step:
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n14451_4, 1)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) ->_R^Omega(1)
plus(x(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n14451_4, 1)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n14451_4)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n14451_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U21(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n14451_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U22(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n14451_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n14451_4), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n14451_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_IH
plus(*3_4, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(*3_4, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n7916_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))) -> *3_4, rt in Omega(n10894_4)
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n14451_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n14451_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
x, U21, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4))) -> *3_4, rt in Omega(n18055_4)

Induction Base:
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, +(n18055_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
U21(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)) ->_R^Omega(1)
U22(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)) ->_R^Omega(1)
plus(x(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_IH
plus(*3_4, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
plus(*3_4, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(28)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n7916_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))) -> *3_4, rt in Omega(n10894_4)
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n14451_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n14451_4)
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4))) -> *3_4, rt in Omega(n18055_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U21, U22, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U21(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n22593_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n22593_4)

Induction Base:
U21(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

Induction Step:
U21(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n22593_4, 1)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) ->_R^Omega(1)
U22(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n22593_4, 1))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n22593_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n22593_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) ->_R^Omega(1)
plus(x(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n22593_4)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n22593_4)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n22593_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U21(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n22593_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_IH
plus(*3_4, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(*3_4, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(30)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n7916_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))) -> *3_4, rt in Omega(n10894_4)
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n14451_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n14451_4)
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4))) -> *3_4, rt in Omega(n18055_4)
U21(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n22593_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n22593_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U22, x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n27385_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n27385_4)

Induction Base:
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

Induction Step:
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n27385_4, 1)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) ->_R^Omega(1)
plus(x(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n27385_4, 1)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n27385_4)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n27385_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U21(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n27385_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U22(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n27385_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n27385_4), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n27385_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_IH
plus(*3_4, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))) ->_R^Omega(1)
plus(*3_4, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(32)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n7916_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))) -> *3_4, rt in Omega(n10894_4)
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n27385_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n27385_4)
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n18055_4))) -> *3_4, rt in Omega(n18055_4)
U21(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n22593_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n22593_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U21 = U22
U21 = x
U21 < encArg
U22 = x
U22 < encArg
x < encArg

----------------------------------------

(33) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4))) -> *3_4, rt in Omega(n32048_4)

Induction Base:
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, +(n32048_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
U21(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)) ->_R^Omega(1)
U22(tt, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
U22(tt, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4)), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)) ->_R^Omega(1)
plus(x(activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a)), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4)))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
plus(x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4))), activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_IH
plus(*3_4, activate(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))) ->_R^Omega(1)
plus(*3_4, gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(34)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N))
U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M)))
U21(tt, M, N) -> U22(tt, activate(M), activate(N))
U22(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
plus(N, 0') -> N
plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N)
x(N, 0') -> 0'
x(N, s(M)) -> U21(tt, M, N)
activate(X) -> X
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_tt -> tt
encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'

Types:
U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
0' :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encArg :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
cons_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U11 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_tt :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U12 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_activate :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_s :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_plus :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U21 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_U22 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_x :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
encode_0 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
hole_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate1_4 :: tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4 :: Nat -> tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate


Lemmas:
U12(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n7916_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n7916_4)
plus(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n10894_4))) -> *3_4, rt in Omega(n10894_4)
U11(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n4813_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n4813_4)
U22(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n27385_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n27385_4)
x(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(a), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(1, n32048_4))) -> *3_4, rt in Omega(n32048_4)
U21(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n22593_4), gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n22593_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(35) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n37308_4)) -> gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n37308_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(0)
tt

Induction Step:
encArg(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(+(n37308_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(n37308_4))) ->_IH
s(gen_tt:s:0':cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U22:cons_plus:cons_x:cons_activate2_4(c37309_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(36)
BOUNDS(1, INF)