/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 357 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 7 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 241 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 695 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__U11(tt) -> a__U12(tt) a__U12(tt) -> tt a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__U11(tt) mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X)) -> a__U11(mark(X)) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__U11(X) -> U11(X) a__U12(X) -> U12(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1)) -> a__U11(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U11(x_1) -> a__U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__U11(tt) -> a__U12(tt) a__U12(tt) -> tt a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__U11(tt) mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X)) -> a__U11(mark(X)) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__U11(X) -> U11(X) a__U12(X) -> U12(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1)) -> a__U11(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U11(x_1) -> a__U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__U11(tt) -> a__U12(tt) a__U12(tt) -> tt a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__U11(tt) mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X)) -> a__U11(mark(X)) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__U11(X) -> U11(X) a__U12(X) -> U12(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1)) -> a__U11(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U11(x_1) -> a__U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__U11(tt) -> a__U12(tt) a__U12(tt) -> tt a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__U11(tt) mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X)) -> a__U11(mark(X)) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__U11(X) -> U11(X) a__U12(X) -> U12(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1)) -> a__U11(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U11(x_1) -> a__U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__U11(tt) -> a__U12(tt) a__U12(tt) -> tt a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__U11(tt) mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X)) -> a__U11(mark(X)) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__U11(X) -> U11(X) a__U12(X) -> U12(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1)) -> a__U11(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U11(x_1) -> a__U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Types: a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark __ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encArg :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode___ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0 :: Nat -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a____, mark, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a____ = mark a____ < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__U11(tt) -> a__U12(tt) a__U12(tt) -> tt a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__U11(tt) mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X)) -> a__U11(mark(X)) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__U11(X) -> U11(X) a__U12(X) -> U12(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1)) -> a__U11(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U11(x_1) -> a__U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Types: a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark __ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encArg :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode___ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0 :: Nat -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark Generator Equations: gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(0) <=> nil gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(+(x, 1)) <=> __(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a____, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a____ = mark a____ < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(n4_0)) -> gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(0), rt in Omega(1 + n4_0) Induction Base: mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(0)) ->_R^Omega(1) nil Induction Step: mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(+(n4_0, 1))) ->_R^Omega(1) a____(mark(nil), mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(n4_0))) ->_R^Omega(1) a____(nil, mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(n4_0))) ->_IH a____(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(0)) ->_R^Omega(1) mark(nil) ->_R^Omega(1) nil We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__U11(tt) -> a__U12(tt) a__U12(tt) -> tt a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__U11(tt) mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X)) -> a__U11(mark(X)) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__U11(X) -> U11(X) a__U12(X) -> U12(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1)) -> a__U11(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U11(x_1) -> a__U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Types: a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark __ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encArg :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode___ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0 :: Nat -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark Generator Equations: gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(0) <=> nil gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(+(x, 1)) <=> __(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a____, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a____ = mark a____ < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__U11(tt) -> a__U12(tt) a__U12(tt) -> tt a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__U11(tt) mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X)) -> a__U11(mark(X)) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__U11(X) -> U11(X) a__U12(X) -> U12(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1)) -> a__U11(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U11(x_1) -> a__U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Types: a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark __ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encArg :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark cons_mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a____ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode___ :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_mark :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_nil :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_tt :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_a__isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_U11 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_U12 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark encode_isNePal :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark hole___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark1_0 :: __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0 :: Nat -> __:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark Lemmas: mark(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(n4_0)) -> gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(0), rt in Omega(1 + n4_0) Generator Equations: gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(0) <=> nil gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(+(x, 1)) <=> __(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a____, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a____ = mark a____ < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(n1474_0)) -> gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(n1474_0), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(+(n1474_0, 1))) ->_R^Omega(0) __(encArg(nil), encArg(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(n1474_0))) ->_R^Omega(0) __(nil, encArg(gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(n1474_0))) ->_IH __(nil, gen___:nil:tt:U11:U12:isNePal:cons_a____:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__isNePal:cons_mark2_0(c1475_0)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)