/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 508 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 3 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 383 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 17.3 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(n__0, n__0) -> true eq(n__s(X), n__s(Y)) -> eq(activate(X), activate(Y)) eq(X, Y) -> false inf(X) -> cons(X, n__inf(s(X))) take(0, X) -> nil take(s(X), cons(Y, L)) -> cons(activate(Y), n__take(activate(X), activate(L))) length(nil) -> 0 length(cons(X, L)) -> s(n__length(activate(L))) 0 -> n__0 s(X) -> n__s(X) inf(X) -> n__inf(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) length(X) -> n__length(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__inf(X)) -> inf(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__length(X)) -> length(X) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(n__0) -> n__0 encArg(true) -> true encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__inf(x_1)) -> n__inf(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inf(x_1)) -> inf(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_true -> true encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inf(x_1) -> inf(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__inf(x_1) -> n__inf(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(n__0, n__0) -> true eq(n__s(X), n__s(Y)) -> eq(activate(X), activate(Y)) eq(X, Y) -> false inf(X) -> cons(X, n__inf(s(X))) take(0, X) -> nil take(s(X), cons(Y, L)) -> cons(activate(Y), n__take(activate(X), activate(L))) length(nil) -> 0 length(cons(X, L)) -> s(n__length(activate(L))) 0 -> n__0 s(X) -> n__s(X) inf(X) -> n__inf(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) length(X) -> n__length(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__inf(X)) -> inf(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__length(X)) -> length(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(true) -> true encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__inf(x_1)) -> n__inf(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inf(x_1)) -> inf(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_true -> true encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inf(x_1) -> inf(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__inf(x_1) -> n__inf(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(n__0, n__0) -> true eq(n__s(X), n__s(Y)) -> eq(activate(X), activate(Y)) eq(X, Y) -> false inf(X) -> cons(X, n__inf(s(X))) take(0, X) -> nil take(s(X), cons(Y, L)) -> cons(activate(Y), n__take(activate(X), activate(L))) length(nil) -> 0 length(cons(X, L)) -> s(n__length(activate(L))) 0 -> n__0 s(X) -> n__s(X) inf(X) -> n__inf(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) length(X) -> n__length(X) activate(n__0) -> 0 activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__inf(X)) -> inf(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__length(X)) -> length(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(true) -> true encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__inf(x_1)) -> n__inf(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inf(x_1)) -> inf(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_true -> true encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inf(x_1) -> inf(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__inf(x_1) -> n__inf(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(n__0, n__0) -> true eq(n__s(X), n__s(Y)) -> eq(activate(X), activate(Y)) eq(X, Y) -> false inf(X) -> cons(X, n__inf(s(X))) take(0', X) -> nil take(s(X), cons(Y, L)) -> cons(activate(Y), n__take(activate(X), activate(L))) length(nil) -> 0' length(cons(X, L)) -> s(n__length(activate(L))) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) inf(X) -> n__inf(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) length(X) -> n__length(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__inf(X)) -> inf(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__length(X)) -> length(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__0) -> n__0 encArg(true) -> true encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__inf(x_1)) -> n__inf(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inf(x_1)) -> inf(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_true -> true encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inf(x_1) -> inf(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__inf(x_1) -> n__inf(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(n__0, n__0) -> true eq(n__s(X), n__s(Y)) -> eq(activate(X), activate(Y)) eq(X, Y) -> false inf(X) -> cons(X, n__inf(s(X))) take(0', X) -> nil take(s(X), cons(Y, L)) -> cons(activate(Y), n__take(activate(X), activate(L))) length(nil) -> 0' length(cons(X, L)) -> s(n__length(activate(L))) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) inf(X) -> n__inf(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) length(X) -> n__length(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__inf(X)) -> inf(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__length(X)) -> length(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(true) -> true encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__inf(x_1)) -> n__inf(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inf(x_1)) -> inf(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_true -> true encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inf(x_1) -> inf(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__inf(x_1) -> n__inf(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) Types: eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate nil :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_cons :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_nil :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate1_3 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3 :: Nat -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: eq, activate, take, length, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < eq eq < encArg activate = take activate = length activate < encArg take = length take < encArg length < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(n__0, n__0) -> true eq(n__s(X), n__s(Y)) -> eq(activate(X), activate(Y)) eq(X, Y) -> false inf(X) -> cons(X, n__inf(s(X))) take(0', X) -> nil take(s(X), cons(Y, L)) -> cons(activate(Y), n__take(activate(X), activate(L))) length(nil) -> 0' length(cons(X, L)) -> s(n__length(activate(L))) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) inf(X) -> n__inf(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) length(X) -> n__length(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__inf(X)) -> inf(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__length(X)) -> length(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(true) -> true encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__inf(x_1)) -> n__inf(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inf(x_1)) -> inf(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_true -> true encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inf(x_1) -> inf(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__inf(x_1) -> n__inf(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) Types: eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate nil :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_cons :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_nil :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate1_3 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3 :: Nat -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate Generator Equations: gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(0) <=> n__0 gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: take, eq, activate, length, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < eq eq < encArg activate = take activate = length activate < encArg take = length take < encArg length < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: eq(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(1, n140_3)), gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(n140_3)) -> false, rt in Omega(1 + n140_3) Induction Base: eq(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(1, 0)), gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(0)) ->_R^Omega(1) false Induction Step: eq(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(1, +(n140_3, 1))), gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(n140_3, 1))) ->_R^Omega(1) eq(activate(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(1, n140_3))), activate(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(n140_3))) ->_R^Omega(1) eq(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(1, n140_3)), activate(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(n140_3))) ->_R^Omega(1) eq(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(1, n140_3)), gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(n140_3)) ->_IH false We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: eq(n__0, n__0) -> true eq(n__s(X), n__s(Y)) -> eq(activate(X), activate(Y)) eq(X, Y) -> false inf(X) -> cons(X, n__inf(s(X))) take(0', X) -> nil take(s(X), cons(Y, L)) -> cons(activate(Y), n__take(activate(X), activate(L))) length(nil) -> 0' length(cons(X, L)) -> s(n__length(activate(L))) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) inf(X) -> n__inf(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) length(X) -> n__length(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__inf(X)) -> inf(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__length(X)) -> length(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(true) -> true encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__inf(x_1)) -> n__inf(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inf(x_1)) -> inf(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_true -> true encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inf(x_1) -> inf(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__inf(x_1) -> n__inf(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) Types: eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate nil :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_cons :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_nil :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate1_3 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3 :: Nat -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate Generator Equations: gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(0) <=> n__0 gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: eq, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: eq < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(n__0, n__0) -> true eq(n__s(X), n__s(Y)) -> eq(activate(X), activate(Y)) eq(X, Y) -> false inf(X) -> cons(X, n__inf(s(X))) take(0', X) -> nil take(s(X), cons(Y, L)) -> cons(activate(Y), n__take(activate(X), activate(L))) length(nil) -> 0' length(cons(X, L)) -> s(n__length(activate(L))) 0' -> n__0 s(X) -> n__s(X) inf(X) -> n__inf(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) length(X) -> n__length(X) activate(n__0) -> 0' activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__inf(X)) -> inf(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__length(X)) -> length(X) activate(X) -> X encArg(n__0) -> n__0 encArg(true) -> true encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__inf(x_1)) -> n__inf(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inf(x_1)) -> inf(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_0) -> 0' encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_true -> true encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inf(x_1) -> inf(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__inf(x_1) -> n__inf(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) Types: eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate true :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate false :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate 0' :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate nil :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate n__length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encArg :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate cons_activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_eq :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_true :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_activate :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_false :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_cons :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__inf :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_s :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_0 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_nil :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__take :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate encode_n__length :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate hole_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate1_3 :: n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3 :: Nat -> n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate Lemmas: eq(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(1, n140_3)), gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(n140_3)) -> false, rt in Omega(1 + n140_3) Generator Equations: gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(0) <=> n__0 gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(n3827_3)) -> gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(n3827_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(0)) ->_R^Omega(0) n__0 Induction Step: encArg(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(+(n3827_3, 1))) ->_R^Omega(0) n__s(encArg(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(n3827_3))) ->_IH n__s(gen_n__0:true:n__s:false:n__inf:cons:nil:n__take:n__length:cons_eq:cons_inf:cons_take:cons_length:cons_0:cons_s:cons_activate2_3(c3828_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)