/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- KILLED proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 393 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 3 ms] (12) TRS for Loop Detection (13) RelTrsToTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (14) CpxTRS (15) NonCtorToCtorProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (16) CpxRelTRS (17) RelTrsToWeightedTrsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (18) CpxWeightedTrs (19) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (20) CpxTypedWeightedTrs (21) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (22) CpxTypedWeightedCompleteTrs (23) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (24) CpxTypedWeightedCompleteTrs (25) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 28 ms] (26) CpxRNTS (27) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (28) CdtProblem (29) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 3 ms] (30) CdtProblem (31) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (32) CdtProblem (33) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (34) CdtProblem (35) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (36) CdtProblem (37) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 38 ms] (38) CdtProblem (39) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 32 ms] (40) CdtProblem (41) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (42) CdtProblem (43) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (44) CdtProblem (45) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (46) CdtProblem (47) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 55 ms] (48) CdtProblem (49) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (50) CdtProblem (51) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 96 ms] (52) CdtProblem (53) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 19 ms] (54) CdtProblem (55) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 18 ms] (56) CdtProblem (57) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 2 ms] (58) CdtProblem (59) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 91 ms] (60) CdtProblem (61) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 3 ms] (62) CdtProblem (63) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 51 ms] (64) CdtProblem (65) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (66) CdtProblem (67) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 261 ms] (68) CdtProblem (69) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 48 ms] (70) CdtProblem (71) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 157 ms] (72) CdtProblem (73) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 25 ms] (74) CdtProblem (75) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 158 ms] (76) CdtProblem (77) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 38 ms] (78) CdtProblem (79) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 52 ms] (80) CdtProblem (81) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 5 ms] (82) CdtProblem (83) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 41 ms] (84) CdtProblem (85) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 41 ms] (86) CdtProblem (87) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 41 ms] (88) CdtProblem (89) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (90) CdtProblem (91) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 62 ms] (92) CdtProblem (93) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 57 ms] (94) CdtProblem (95) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 57 ms] (96) CdtProblem (97) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 95 ms] (98) CdtProblem (99) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 77 ms] (100) CdtProblem (101) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 20 ms] (102) CdtProblem (103) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (104) CdtProblem (105) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 34 ms] (106) CdtProblem (107) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 45 ms] (108) CdtProblem (109) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (110) CdtProblem (111) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 53 ms] (112) CdtProblem (113) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 22 ms] (114) CdtProblem (115) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (116) CdtProblem (117) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 45 ms] (118) CdtProblem (119) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 50 ms] (120) CdtProblem (121) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 27 ms] (122) CdtProblem (123) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 27 ms] (124) CdtProblem (125) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 37 ms] (126) CdtProblem (127) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 49 ms] (128) CdtProblem (129) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 44 ms] (130) CdtProblem (131) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 23 ms] (132) CdtProblem (133) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 49 ms] (134) CdtProblem (135) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (136) CdtProblem ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) mark(U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) mark(s(X)) -> active(s(mark(X))) mark(plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) mark(U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(0) -> active(0) mark(U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) mark(x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) mark(and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) mark(isNat(X)) -> active(isNat(X)) U11(mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, mark(X2)) -> U11(X1, X2) U11(active(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) s(mark(X)) -> s(X) s(active(X)) -> s(X) plus(mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(active(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, active(X2)) -> plus(X1, X2) U31(mark(X)) -> U31(X) U31(active(X)) -> U31(X) U41(mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) x(mark(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, mark(X2)) -> x(X1, X2) x(active(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, active(X2)) -> x(X1, X2) and(mark(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, mark(X2)) -> and(X1, X2) and(active(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, active(X2)) -> and(X1, X2) isNat(mark(X)) -> isNat(X) isNat(active(X)) -> isNat(X) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) mark(U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) mark(s(X)) -> active(s(mark(X))) mark(plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) mark(U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(0) -> active(0) mark(U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) mark(x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) mark(and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) mark(isNat(X)) -> active(isNat(X)) U11(mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, mark(X2)) -> U11(X1, X2) U11(active(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) s(mark(X)) -> s(X) s(active(X)) -> s(X) plus(mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(active(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, active(X2)) -> plus(X1, X2) U31(mark(X)) -> U31(X) U31(active(X)) -> U31(X) U41(mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) x(mark(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, mark(X2)) -> x(X1, X2) x(active(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, active(X2)) -> x(X1, X2) and(mark(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, mark(X2)) -> and(X1, X2) and(active(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, active(X2)) -> and(X1, X2) isNat(mark(X)) -> isNat(X) isNat(active(X)) -> isNat(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) mark(U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) mark(s(X)) -> active(s(mark(X))) mark(plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) mark(U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(0) -> active(0) mark(U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) mark(x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) mark(and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) mark(isNat(X)) -> active(isNat(X)) U11(mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, mark(X2)) -> U11(X1, X2) U11(active(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) s(mark(X)) -> s(X) s(active(X)) -> s(X) plus(mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(active(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, active(X2)) -> plus(X1, X2) U31(mark(X)) -> U31(X) U31(active(X)) -> U31(X) U41(mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) x(mark(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, mark(X2)) -> x(X1, X2) x(active(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, active(X2)) -> x(X1, X2) and(mark(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, mark(X2)) -> and(X1, X2) and(active(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, active(X2)) -> and(X1, X2) isNat(mark(X)) -> isNat(X) isNat(active(X)) -> isNat(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) mark(U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) mark(s(X)) -> active(s(mark(X))) mark(plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) mark(U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(0') -> active(0') mark(U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) mark(x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) mark(and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) mark(isNat(X)) -> active(isNat(X)) U11(mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, mark(X2)) -> U11(X1, X2) U11(active(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) s(mark(X)) -> s(X) s(active(X)) -> s(X) plus(mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(active(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, active(X2)) -> plus(X1, X2) U31(mark(X)) -> U31(X) U31(active(X)) -> U31(X) U41(mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) x(mark(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, mark(X2)) -> x(X1, X2) x(active(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, active(X2)) -> x(X1, X2) and(mark(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, mark(X2)) -> and(X1, X2) and(active(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, active(X2)) -> and(X1, X2) isNat(mark(X)) -> isNat(X) isNat(active(X)) -> isNat(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(0') -> 0' encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) mark(U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) mark(s(X)) -> active(s(mark(X))) mark(plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) mark(U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(0') -> active(0') mark(U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) mark(x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) mark(and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) mark(isNat(X)) -> active(isNat(X)) U11(mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, mark(X2)) -> U11(X1, X2) U11(active(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) s(mark(X)) -> s(X) s(active(X)) -> s(X) plus(mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(active(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, active(X2)) -> plus(X1, X2) U31(mark(X)) -> U31(X) U31(active(X)) -> U31(X) U41(mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) x(mark(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, mark(X2)) -> x(X1, X2) x(active(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, active(X2)) -> x(X1, X2) and(mark(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, mark(X2)) -> and(X1, X2) and(active(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, active(X2)) -> and(X1, X2) isNat(mark(X)) -> isNat(X) isNat(active(X)) -> isNat(X) 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active isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < encArg s < mark plus < mark x < mark and < mark isNat < mark U11 < mark U21 < mark U31 < mark U41 < mark mark < encArg s < encArg plus < encArg x < encArg and < encArg isNat < encArg U11 < encArg U21 < encArg U31 < encArg U41 < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) mark(U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) mark(s(X)) -> active(s(mark(X))) mark(plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) mark(U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(0') -> active(0') mark(U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) mark(x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) mark(and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) mark(isNat(X)) -> active(isNat(X)) U11(mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, mark(X2)) -> U11(X1, X2) U11(active(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) s(mark(X)) -> s(X) s(active(X)) -> s(X) plus(mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(active(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, active(X2)) -> plus(X1, X2) U31(mark(X)) -> U31(X) U31(active(X)) -> U31(X) U41(mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) x(mark(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, mark(X2)) -> x(X1, X2) x(active(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, active(X2)) -> x(X1, X2) and(mark(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, mark(X2)) -> and(X1, X2) and(active(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, active(X2)) -> and(X1, X2) isNat(mark(X)) -> isNat(X) isNat(active(X)) -> isNat(X) encArg(tt) -> tt encArg(0') -> 0' encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), 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tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat encode_and :: tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat encode_isNat :: tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat hole_tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat1_4 :: tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat gen_tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat2_4 :: Nat -> tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat Generator Equations: gen_tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat2_4(0) <=> tt gen_tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat2_4(+(x, 1)) <=> cons_active(gen_tt:0':cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, mark, plus, x, and, isNat, U11, U21, U31, U41, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active = mark s < active plus < active x < active and < active isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < encArg s < mark plus < mark x < mark and < mark isNat < mark U11 < mark U21 < mark U31 < mark U41 < mark mark < encArg s < encArg plus < encArg x < encArg and < encArg isNat < encArg U11 < encArg U21 < encArg U31 < encArg U41 < encArg ---------------------------------------- (11) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) mark(U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) mark(s(X)) -> active(s(mark(X))) mark(plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) mark(U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(0) -> active(0) mark(U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) mark(x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) mark(and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) mark(isNat(X)) -> active(isNat(X)) U11(mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, mark(X2)) -> U11(X1, X2) U11(active(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) s(mark(X)) -> s(X) s(active(X)) -> s(X) plus(mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(active(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, active(X2)) -> plus(X1, X2) U31(mark(X)) -> U31(X) U31(active(X)) -> U31(X) U41(mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) x(mark(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, mark(X2)) -> x(X1, X2) x(active(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, active(X2)) -> x(X1, X2) and(mark(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, mark(X2)) -> and(X1, X2) and(active(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, active(X2)) -> and(X1, X2) isNat(mark(X)) -> isNat(X) isNat(active(X)) -> isNat(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (13) RelTrsToTrsProof (UPPER BOUND(ID)) transformed relative TRS to TRS ---------------------------------------- (14) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) mark(U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) mark(s(X)) -> active(s(mark(X))) mark(plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) mark(U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(0) -> active(0) mark(U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) mark(x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) mark(and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) mark(isNat(X)) -> active(isNat(X)) U11(mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, mark(X2)) -> U11(X1, X2) U11(active(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) U21(X1, X2, active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) s(mark(X)) -> s(X) s(active(X)) -> s(X) plus(mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(active(X1), X2) -> plus(X1, X2) plus(X1, active(X2)) -> plus(X1, X2) U31(mark(X)) -> U31(X) U31(active(X)) -> U31(X) U41(mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) U41(X1, X2, active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) x(mark(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, mark(X2)) -> x(X1, X2) x(active(X1), X2) -> x(X1, X2) x(X1, active(X2)) -> x(X1, X2) and(mark(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, mark(X2)) -> and(X1, X2) and(active(X1), X2) -> and(X1, X2) and(X1, active(X2)) -> and(X1, X2) isNat(mark(X)) -> isNat(X) isNat(active(X)) -> isNat(X) encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (15) NonCtorToCtorProof (UPPER BOUND(ID)) transformed non-ctor to ctor-system ---------------------------------------- (16) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: mark(tt) -> active(tt) mark(0) -> active(0) active(c_U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(c_plus(N, c_s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) U21(c_mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) isNat(c_active(X)) -> isNat(X) U41(c_active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) x(c_active(X1), X2) -> x(X1, X2) mark(c_U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) U11(X1, c_mark(X2)) -> U11(X1, X2) mark(c_x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) U41(X1, X2, c_mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) U41(c_mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) mark(c_U31(X)) -> active(U31(mark(X))) mark(c_U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) U41(X1, c_active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) x(X1, c_active(X2)) -> x(X1, X2) active(c_U31(tt)) -> mark(0) U41(X1, c_mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) active(c_isNat(c_x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) isNat(c_mark(X)) -> isNat(X) x(X1, c_mark(X2)) -> x(X1, X2) active(c_isNat(0)) -> mark(tt) U21(X1, X2, c_mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) plus(X1, c_mark(X2)) -> plus(X1, X2) plus(c_active(X1), X2) -> plus(X1, X2) mark(c_s(X)) -> active(s(mark(X))) x(c_mark(X1), X2) -> x(X1, X2) U41(X1, X2, c_active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) s(c_active(X)) -> s(X) active(c_x(N, c_s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) U31(c_mark(X)) -> U31(X) and(c_active(X1), X2) -> and(X1, X2) active(c_plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) mark(c_and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) active(c_isNat(c_s(V1))) -> mark(isNat(V1)) U31(c_active(X)) -> U31(X) active(c_U11(tt, N)) -> mark(N) U21(X1, c_mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) s(c_mark(X)) -> s(X) active(c_U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) mark(c_U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) plus(c_mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) U11(c_mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) U11(X1, c_active(X2)) -> U11(X1, X2) U21(X1, X2, c_active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) U21(c_active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) active(c_and(tt, X)) -> mark(X) active(c_isNat(c_plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) mark(c_isNat(X)) -> active(isNat(X)) and(X1, c_mark(X2)) -> and(X1, X2) and(c_mark(X1), X2) -> and(X1, X2) active(c_x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) U21(X1, c_active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) plus(X1, c_active(X2)) -> plus(X1, X2) mark(c_plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) U11(c_active(X1), X2) -> U11(X1, X2) and(X1, c_active(X2)) -> and(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) s(x0) -> c_s(x0) isNat(x0) -> c_isNat(x0) active(x0) -> c_active(x0) U41(x0, x1, x2) -> c_U41(x0, x1, x2) plus(x0, x1) -> c_plus(x0, x1) U31(x0) -> c_U31(x0) U21(x0, x1, x2) -> c_U21(x0, x1, x2) x(x0, x1) -> c_x(x0, x1) and(x0, x1) -> c_and(x0, x1) U11(x0, x1) -> c_U11(x0, x1) mark(x0) -> c_mark(x0) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (17) RelTrsToWeightedTrsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Transformed relative TRS to weighted TRS ---------------------------------------- (18) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxWeightedTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: mark(tt) -> active(tt) [1] mark(0) -> active(0) [1] active(c_U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) [1] active(c_plus(N, c_s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) [1] U21(c_mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] isNat(c_active(X)) -> isNat(X) [1] U41(c_active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] x(c_active(X1), X2) -> x(X1, X2) [1] mark(c_U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) [1] U11(X1, c_mark(X2)) -> U11(X1, X2) [1] mark(c_x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) [1] U41(X1, X2, c_mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) [1] U41(c_mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] mark(c_U31(X)) -> active(U31(mark(X))) [1] mark(c_U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) [1] U41(X1, c_active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] x(X1, c_active(X2)) -> x(X1, X2) [1] active(c_U31(tt)) -> mark(0) [1] U41(X1, c_mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] active(c_isNat(c_x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) [1] isNat(c_mark(X)) -> isNat(X) [1] x(X1, c_mark(X2)) -> x(X1, X2) [1] active(c_isNat(0)) -> mark(tt) [1] U21(X1, X2, c_mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) [1] plus(X1, c_mark(X2)) -> plus(X1, X2) [1] plus(c_active(X1), X2) -> plus(X1, X2) [1] mark(c_s(X)) -> active(s(mark(X))) [1] x(c_mark(X1), X2) -> x(X1, X2) [1] U41(X1, X2, c_active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) [1] s(c_active(X)) -> s(X) [1] active(c_x(N, c_s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) [1] U31(c_mark(X)) -> U31(X) [1] and(c_active(X1), X2) -> and(X1, X2) [1] active(c_plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) [1] mark(c_and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) [1] active(c_isNat(c_s(V1))) -> mark(isNat(V1)) [1] U31(c_active(X)) -> U31(X) [1] active(c_U11(tt, N)) -> mark(N) [1] U21(X1, c_mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] s(c_mark(X)) -> s(X) [1] active(c_U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) [1] mark(c_U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) [1] plus(c_mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) [1] U11(c_mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) [1] U11(X1, c_active(X2)) -> U11(X1, X2) [1] U21(X1, X2, c_active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) [1] U21(c_active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] active(c_and(tt, X)) -> mark(X) [1] active(c_isNat(c_plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) [1] mark(c_isNat(X)) -> active(isNat(X)) [1] and(X1, c_mark(X2)) -> and(X1, X2) [1] and(c_mark(X1), X2) -> and(X1, X2) [1] active(c_x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) [1] U21(X1, c_active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] plus(X1, c_active(X2)) -> plus(X1, X2) [1] mark(c_plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) [1] U11(c_active(X1), X2) -> U11(X1, X2) [1] and(X1, c_active(X2)) -> and(X1, X2) [1] encArg(tt) -> tt [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) [0] encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) [0] encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_tt -> tt [0] encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) [0] encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) [0] encode_0 -> 0 [0] encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] isNat(x0) -> c_isNat(x0) [0] active(x0) -> c_active(x0) [0] U41(x0, x1, x2) -> c_U41(x0, x1, x2) [0] plus(x0, x1) -> c_plus(x0, x1) [0] U31(x0) -> c_U31(x0) [0] U21(x0, x1, x2) -> c_U21(x0, x1, x2) [0] x(x0, x1) -> c_x(x0, x1) [0] and(x0, x1) -> c_and(x0, x1) [0] U11(x0, x1) -> c_U11(x0, x1) [0] mark(x0) -> c_mark(x0) [0] Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (19) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (20) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: mark(tt) -> active(tt) [1] mark(0) -> active(0) [1] active(c_U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) [1] active(c_plus(N, c_s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) [1] U21(c_mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] isNat(c_active(X)) -> isNat(X) [1] U41(c_active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] x(c_active(X1), X2) -> x(X1, X2) [1] mark(c_U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) [1] U11(X1, c_mark(X2)) -> U11(X1, X2) [1] mark(c_x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) [1] U41(X1, X2, c_mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) [1] U41(c_mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] mark(c_U31(X)) -> active(U31(mark(X))) [1] mark(c_U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) [1] U41(X1, c_active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] x(X1, c_active(X2)) -> x(X1, X2) [1] active(c_U31(tt)) -> mark(0) [1] U41(X1, c_mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] active(c_isNat(c_x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) [1] isNat(c_mark(X)) -> isNat(X) [1] x(X1, c_mark(X2)) -> x(X1, X2) [1] active(c_isNat(0)) -> mark(tt) [1] U21(X1, X2, c_mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) [1] plus(X1, c_mark(X2)) -> plus(X1, X2) [1] plus(c_active(X1), X2) -> plus(X1, X2) [1] mark(c_s(X)) -> active(s(mark(X))) [1] x(c_mark(X1), X2) -> x(X1, X2) [1] U41(X1, X2, c_active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) [1] s(c_active(X)) -> s(X) [1] active(c_x(N, c_s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) [1] U31(c_mark(X)) -> U31(X) [1] and(c_active(X1), X2) -> and(X1, X2) [1] active(c_plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) [1] mark(c_and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) [1] active(c_isNat(c_s(V1))) -> mark(isNat(V1)) [1] U31(c_active(X)) -> U31(X) [1] active(c_U11(tt, N)) -> mark(N) [1] U21(X1, c_mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] s(c_mark(X)) -> s(X) [1] active(c_U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) [1] mark(c_U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) [1] plus(c_mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) [1] U11(c_mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) [1] U11(X1, c_active(X2)) -> U11(X1, X2) [1] U21(X1, X2, c_active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) [1] U21(c_active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] active(c_and(tt, X)) -> mark(X) [1] active(c_isNat(c_plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) [1] mark(c_isNat(X)) -> active(isNat(X)) [1] and(X1, c_mark(X2)) -> and(X1, X2) [1] and(c_mark(X1), X2) -> and(X1, X2) [1] active(c_x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) [1] U21(X1, c_active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] plus(X1, c_active(X2)) -> plus(X1, X2) [1] mark(c_plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) [1] U11(c_active(X1), X2) -> U11(X1, X2) [1] and(X1, c_active(X2)) -> and(X1, X2) [1] encArg(tt) -> tt [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) [0] encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) [0] encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_tt -> tt [0] encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) [0] encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) [0] encode_0 -> 0 [0] encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] isNat(x0) -> c_isNat(x0) [0] active(x0) -> c_active(x0) [0] U41(x0, x1, x2) -> c_U41(x0, x1, x2) [0] plus(x0, x1) -> c_plus(x0, x1) [0] U31(x0) -> c_U31(x0) [0] U21(x0, x1, x2) -> c_U21(x0, x1, x2) [0] x(x0, x1) -> c_x(x0, x1) [0] and(x0, x1) -> c_and(x0, x1) [0] U11(x0, x1) -> c_U11(x0, x1) [0] mark(x0) -> c_mark(x0) [0] The TRS has the following type information: mark :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat tt :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat active :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat 0 :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat c_U21 :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat s :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat plus :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> 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tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat encode_and :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat encode_isNat :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (21) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The transformation into a RNTS is sound, since: (a) The obligation is a constructor system where every type has a constant constructor, (b) The following defined symbols do not have to be completely defined, as they can never occur inside other defined symbols: none (c) The following functions are completely defined: encArg_1 encode_active_1 encode_U11_2 encode_tt encode_mark_1 encode_U21_3 encode_s_1 encode_plus_2 encode_U31_1 encode_0 encode_U41_3 encode_x_2 encode_and_2 encode_isNat_1 s_1 isNat_1 active_1 U41_3 plus_2 U31_1 U21_3 x_2 and_2 U11_2 mark_1 Due to the following rules being added: encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_active(v0) -> null_encode_active [0] encode_U11(v0, v1) -> null_encode_U11 [0] encode_tt -> null_encode_tt [0] encode_mark(v0) -> null_encode_mark [0] encode_U21(v0, v1, v2) -> null_encode_U21 [0] encode_s(v0) -> null_encode_s [0] encode_plus(v0, v1) -> null_encode_plus [0] encode_U31(v0) -> null_encode_U31 [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_U41(v0, v1, v2) -> null_encode_U41 [0] encode_x(v0, v1) -> null_encode_x [0] encode_and(v0, v1) -> null_encode_and [0] encode_isNat(v0) -> null_encode_isNat [0] s(v0) -> null_s [0] isNat(v0) -> null_isNat [0] active(v0) -> null_active [0] U41(v0, v1, v2) -> null_U41 [0] plus(v0, v1) -> null_plus [0] U31(v0) -> null_U31 [0] U21(v0, v1, v2) -> null_U21 [0] x(v0, v1) -> null_x [0] and(v0, v1) -> null_and [0] U11(v0, v1) -> null_U11 [0] mark(v0) -> null_mark [0] And the following fresh constants: null_encArg, null_encode_active, null_encode_U11, null_encode_tt, null_encode_mark, null_encode_U21, null_encode_s, null_encode_plus, null_encode_U31, null_encode_0, null_encode_U41, null_encode_x, null_encode_and, null_encode_isNat, null_s, null_isNat, null_active, null_U41, null_plus, null_U31, null_U21, null_x, null_and, null_U11, null_mark ---------------------------------------- (22) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: mark(tt) -> active(tt) [1] mark(0) -> active(0) [1] active(c_U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) [1] active(c_plus(N, c_s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) [1] U21(c_mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] isNat(c_active(X)) -> isNat(X) [1] U41(c_active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] x(c_active(X1), X2) -> x(X1, X2) [1] mark(c_U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) [1] U11(X1, c_mark(X2)) -> U11(X1, X2) [1] mark(c_x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) [1] U41(X1, X2, c_mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) [1] U41(c_mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] mark(c_U31(X)) -> active(U31(mark(X))) [1] mark(c_U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) [1] U41(X1, c_active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] x(X1, c_active(X2)) -> x(X1, X2) [1] active(c_U31(tt)) -> mark(0) [1] U41(X1, c_mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] active(c_isNat(c_x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) [1] isNat(c_mark(X)) -> isNat(X) [1] x(X1, c_mark(X2)) -> x(X1, X2) [1] active(c_isNat(0)) -> mark(tt) [1] U21(X1, X2, c_mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) [1] plus(X1, c_mark(X2)) -> plus(X1, X2) [1] plus(c_active(X1), X2) -> plus(X1, X2) [1] mark(c_s(X)) -> active(s(mark(X))) [1] x(c_mark(X1), X2) -> x(X1, X2) [1] U41(X1, X2, c_active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) [1] s(c_active(X)) -> s(X) [1] active(c_x(N, c_s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) [1] U31(c_mark(X)) -> U31(X) [1] and(c_active(X1), X2) -> and(X1, X2) [1] active(c_plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) [1] mark(c_and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) [1] active(c_isNat(c_s(V1))) -> mark(isNat(V1)) [1] U31(c_active(X)) -> U31(X) [1] active(c_U11(tt, N)) -> mark(N) [1] U21(X1, c_mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] s(c_mark(X)) -> s(X) [1] active(c_U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) [1] mark(c_U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) [1] plus(c_mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) [1] U11(c_mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) [1] U11(X1, c_active(X2)) -> U11(X1, X2) [1] U21(X1, X2, c_active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) [1] U21(c_active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] active(c_and(tt, X)) -> mark(X) [1] active(c_isNat(c_plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) [1] mark(c_isNat(X)) -> active(isNat(X)) [1] and(X1, c_mark(X2)) -> and(X1, X2) [1] and(c_mark(X1), X2) -> and(X1, X2) [1] active(c_x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) [1] U21(X1, c_active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] plus(X1, c_active(X2)) -> plus(X1, X2) [1] mark(c_plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) [1] U11(c_active(X1), X2) -> U11(X1, X2) [1] and(X1, c_active(X2)) -> and(X1, X2) [1] encArg(tt) -> tt [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) [0] encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) [0] encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_tt -> tt [0] encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) [0] encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) [0] encode_0 -> 0 [0] encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] isNat(x0) -> c_isNat(x0) [0] active(x0) -> c_active(x0) [0] U41(x0, x1, x2) -> c_U41(x0, x1, x2) [0] plus(x0, x1) -> c_plus(x0, x1) [0] U31(x0) -> c_U31(x0) [0] U21(x0, x1, x2) -> c_U21(x0, x1, x2) [0] x(x0, x1) -> c_x(x0, x1) [0] and(x0, x1) -> c_and(x0, x1) [0] U11(x0, x1) -> c_U11(x0, x1) [0] mark(x0) -> c_mark(x0) [0] encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_active(v0) -> null_encode_active [0] encode_U11(v0, v1) -> null_encode_U11 [0] encode_tt -> null_encode_tt [0] encode_mark(v0) -> null_encode_mark [0] encode_U21(v0, v1, v2) -> null_encode_U21 [0] encode_s(v0) -> null_encode_s [0] encode_plus(v0, v1) -> null_encode_plus [0] encode_U31(v0) -> null_encode_U31 [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_U41(v0, v1, v2) -> null_encode_U41 [0] encode_x(v0, v1) -> null_encode_x [0] encode_and(v0, v1) -> null_encode_and [0] encode_isNat(v0) -> null_encode_isNat [0] s(v0) -> null_s [0] isNat(v0) -> null_isNat [0] active(v0) -> null_active [0] U41(v0, v1, v2) -> null_U41 [0] plus(v0, v1) -> null_plus [0] U31(v0) -> null_U31 [0] U21(v0, v1, v2) -> null_U21 [0] x(v0, v1) -> null_x [0] and(v0, v1) -> null_and [0] U11(v0, v1) -> null_U11 [0] mark(v0) -> null_mark [0] The TRS has the following type information: mark :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark tt :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark active :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark 0 :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark c_U21 :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark 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tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark s :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark plus :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark c_plus :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark 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[0] encode_plus(v0, v1) -> null_encode_plus [0] encode_U31(v0) -> null_encode_U31 [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_U41(v0, v1, v2) -> null_encode_U41 [0] encode_x(v0, v1) -> null_encode_x [0] encode_and(v0, v1) -> null_encode_and [0] encode_isNat(v0) -> null_encode_isNat [0] s(v0) -> null_s [0] isNat(v0) -> null_isNat [0] active(v0) -> null_active [0] U41(v0, v1, v2) -> null_U41 [0] plus(v0, v1) -> null_plus [0] U31(v0) -> null_U31 [0] U21(v0, v1, v2) -> null_U21 [0] x(v0, v1) -> null_x [0] and(v0, v1) -> null_and [0] U11(v0, v1) -> null_U11 [0] mark(v0) -> null_mark [0] And the following fresh constants: null_encArg, null_encode_active, null_encode_U11, null_encode_tt, null_encode_mark, null_encode_U21, null_encode_s, null_encode_plus, null_encode_U31, null_encode_0, null_encode_U41, null_encode_x, null_encode_and, null_encode_isNat, null_s, null_isNat, null_active, null_U41, null_plus, null_U31, null_U21, null_x, null_and, null_U11, null_mark ---------------------------------------- (24) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where all functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: mark(tt) -> active(tt) [1] mark(0) -> active(0) [1] active(c_U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) [1] active(c_plus(N, c_s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) [1] U21(c_mark(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] isNat(c_active(X)) -> isNat(X) [1] U41(c_active(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] x(c_active(X1), X2) -> x(X1, X2) [1] mark(c_U11(X1, X2)) -> active(U11(mark(X1), X2)) [1] U11(X1, c_mark(X2)) -> U11(X1, X2) [1] mark(c_x(X1, X2)) -> active(x(mark(X1), mark(X2))) [1] U41(X1, X2, c_mark(X3)) -> U41(X1, X2, X3) [1] U41(c_mark(X1), X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] mark(c_U31(X)) -> active(U31(mark(X))) [1] mark(c_U21(X1, X2, X3)) -> active(U21(mark(X1), X2, X3)) [1] U41(X1, c_active(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] x(X1, c_active(X2)) -> x(X1, X2) [1] active(c_U31(tt)) -> mark(0) [1] U41(X1, c_mark(X2), X3) -> U41(X1, X2, X3) [1] active(c_isNat(c_x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) [1] isNat(c_mark(X)) -> isNat(X) [1] x(X1, c_mark(X2)) -> x(X1, X2) [1] active(c_isNat(0)) -> mark(tt) [1] U21(X1, X2, c_mark(X3)) -> U21(X1, X2, X3) [1] plus(X1, c_mark(X2)) -> plus(X1, X2) [1] plus(c_active(X1), X2) -> plus(X1, X2) [1] mark(c_s(X)) -> active(s(mark(X))) [1] x(c_mark(X1), X2) -> x(X1, X2) [1] U41(X1, X2, c_active(X3)) -> U41(X1, X2, X3) [1] s(c_active(X)) -> s(X) [1] active(c_x(N, c_s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) [1] U31(c_mark(X)) -> U31(X) [1] and(c_active(X1), X2) -> and(X1, X2) [1] active(c_plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) [1] mark(c_and(X1, X2)) -> active(and(mark(X1), X2)) [1] active(c_isNat(c_s(V1))) -> mark(isNat(V1)) [1] U31(c_active(X)) -> U31(X) [1] active(c_U11(tt, N)) -> mark(N) [1] U21(X1, c_mark(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] s(c_mark(X)) -> s(X) [1] active(c_U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) [1] mark(c_U41(X1, X2, X3)) -> active(U41(mark(X1), X2, X3)) [1] plus(c_mark(X1), X2) -> plus(X1, X2) [1] U11(c_mark(X1), X2) -> U11(X1, X2) [1] U11(X1, c_active(X2)) -> U11(X1, X2) [1] U21(X1, X2, c_active(X3)) -> U21(X1, X2, X3) [1] U21(c_active(X1), X2, X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] active(c_and(tt, X)) -> mark(X) [1] active(c_isNat(c_plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) [1] mark(c_isNat(X)) -> active(isNat(X)) [1] and(X1, c_mark(X2)) -> and(X1, X2) [1] and(c_mark(X1), X2) -> and(X1, X2) [1] active(c_x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) [1] U21(X1, c_active(X2), X3) -> U21(X1, X2, X3) [1] plus(X1, c_active(X2)) -> plus(X1, X2) [1] mark(c_plus(X1, X2)) -> active(plus(mark(X1), mark(X2))) [1] U11(c_active(X1), X2) -> U11(X1, X2) [1] and(X1, c_active(X2)) -> and(X1, X2) [1] encArg(tt) -> tt [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) [0] encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) [0] encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_tt -> tt [0] encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) [0] encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) [0] encode_0 -> 0 [0] encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) [0] encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] isNat(x0) -> c_isNat(x0) [0] active(x0) -> c_active(x0) [0] U41(x0, x1, x2) -> c_U41(x0, x1, x2) [0] plus(x0, x1) -> c_plus(x0, x1) [0] U31(x0) -> c_U31(x0) [0] U21(x0, x1, x2) -> c_U21(x0, x1, x2) [0] x(x0, x1) -> c_x(x0, x1) [0] and(x0, x1) -> c_and(x0, x1) [0] U11(x0, x1) -> c_U11(x0, x1) [0] mark(x0) -> c_mark(x0) [0] encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_active(v0) -> null_encode_active [0] encode_U11(v0, v1) -> null_encode_U11 [0] encode_tt -> null_encode_tt [0] encode_mark(v0) -> null_encode_mark [0] encode_U21(v0, v1, v2) -> null_encode_U21 [0] encode_s(v0) -> null_encode_s [0] encode_plus(v0, v1) -> null_encode_plus [0] encode_U31(v0) -> null_encode_U31 [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_U41(v0, v1, v2) -> null_encode_U41 [0] encode_x(v0, v1) -> null_encode_x [0] encode_and(v0, v1) -> null_encode_and [0] encode_isNat(v0) -> null_encode_isNat [0] s(v0) -> null_s [0] isNat(v0) -> null_isNat [0] active(v0) -> null_active [0] U41(v0, v1, v2) -> null_U41 [0] plus(v0, v1) -> null_plus [0] U31(v0) -> null_U31 [0] U21(v0, v1, v2) -> null_U21 [0] x(v0, v1) -> null_x [0] and(v0, v1) -> null_and [0] U11(v0, v1) -> null_U11 [0] mark(v0) -> null_mark [0] The TRS has the following type information: mark :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark tt :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark active :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark 0 :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark c_U21 :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark 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tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark s :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark plus :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark c_plus :: tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark -> tt:0:c_U21:c_s:c_plus:c_mark:c_active:c_U11:c_x:c_U31:c_isNat:c_and:c_U41:cons_active:cons_mark:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_isNat:null_encArg:null_encode_active:null_encode_U11:null_encode_tt:null_encode_mark:null_encode_U21:null_encode_s:null_encode_plus:null_encode_U31:null_encode_0:null_encode_U41:null_encode_x:null_encode_and:null_encode_isNat:null_s:null_isNat:null_active:null_U41:null_plus:null_U31:null_U21:null_x:null_and:null_U11:null_mark 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The constant constructors are abstracted as follows: tt => 1 0 => 0 null_encArg => 0 null_encode_active => 0 null_encode_U11 => 0 null_encode_tt => 0 null_encode_mark => 0 null_encode_U21 => 0 null_encode_s => 0 null_encode_plus => 0 null_encode_U31 => 0 null_encode_0 => 0 null_encode_U41 => 0 null_encode_x => 0 null_encode_and => 0 null_encode_isNat => 0 null_s => 0 null_isNat => 0 null_active => 0 null_U41 => 0 null_plus => 0 null_U31 => 0 null_U21 => 0 null_x => 0 null_and => 0 null_U11 => 0 null_mark => 0 ---------------------------------------- (26) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: U11(z, z') -{ 1 }-> U11(X1, X2) :|: X1 >= 0, z' = 1 + X2, X2 >= 0, z = X1 U11(z, z') -{ 1 }-> U11(X1, X2) :|: X1 >= 0, z = 1 + X1, X2 >= 0, z' = X2 U11(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 U11(z, z') -{ 0 }-> 1 + x0 + x1 :|: z = x0, x0 >= 0, x1 >= 0, z' = x1 U21(z, z', z'') -{ 1 }-> U21(X1, X2, X3) :|: X1 >= 0, z = 1 + X1, X3 >= 0, X2 >= 0, z' = X2, z'' = X3 U21(z, z', z'') -{ 1 }-> U21(X1, X2, X3) :|: X1 >= 0, X3 >= 0, X2 >= 0, z = X1, z' = X2, z'' = 1 + X3 U21(z, z', z'') -{ 1 }-> U21(X1, X2, X3) :|: X1 >= 0, X3 >= 0, z' = 1 + X2, X2 >= 0, z = X1, z'' = X3 U21(z, z', z'') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z'' = v2, v1 >= 0, z = v0, z' = v1, v2 >= 0 U21(z, z', z'') -{ 0 }-> 1 + x0 + x1 + x2 :|: z = x0, x0 >= 0, x1 >= 0, z' = x1, z'' = x2, x2 >= 0 U31(z) -{ 1 }-> U31(X) :|: z = 1 + X, X >= 0 U31(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 U31(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 U41(z, z', z'') -{ 1 }-> U41(X1, X2, X3) :|: X1 >= 0, z = 1 + X1, X3 >= 0, X2 >= 0, z' = X2, z'' = X3 U41(z, z', z'') -{ 1 }-> U41(X1, X2, X3) :|: X1 >= 0, X3 >= 0, X2 >= 0, z = X1, z' = X2, z'' = 1 + X3 U41(z, z', z'') -{ 1 }-> U41(X1, X2, X3) :|: X1 >= 0, X3 >= 0, z' = 1 + X2, X2 >= 0, z = X1, z'' = X3 U41(z, z', z'') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z'' = v2, v1 >= 0, z = v0, z' = v1, v2 >= 0 U41(z, z', z'') -{ 0 }-> 1 + x0 + x1 + x2 :|: z = x0, x0 >= 0, x1 >= 0, z' = x1, z'' = x2, x2 >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(N) :|: z = 1 + 1 + N, N >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(X) :|: z = 1 + 1 + X, X >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(s(plus(N, M))) :|: z = 1 + 1 + M + N, M >= 0, N >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(plus(x(N, M), N)) :|: z = 1 + 1 + M + N, M >= 0, N >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(isNat(V1)) :|: V1 >= 0, z = 1 + (1 + V1) active(z) -{ 1 }-> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) :|: V1 >= 0, V2 >= 0, z = 1 + (1 + V1 + V2) active(z) -{ 1 }-> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) :|: M >= 0, z = 1 + N + (1 + M), N >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(U31(isNat(N))) :|: z = 1 + N + 0, N >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) :|: M >= 0, z = 1 + N + (1 + M), N >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(U11(isNat(N), N)) :|: z = 1 + N + 0, N >= 0 active(z) -{ 1 }-> mark(1) :|: z = 1 + 0 active(z) -{ 1 }-> mark(0) :|: z = 1 + 1 active(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 active(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 and(z, z') -{ 1 }-> and(X1, X2) :|: X1 >= 0, z = 1 + X1, X2 >= 0, z' = X2 and(z, z') -{ 1 }-> and(X1, X2) :|: X1 >= 0, z' = 1 + X2, X2 >= 0, z = X1 and(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 and(z, z') -{ 0 }-> 1 + x0 + x1 :|: z = x0, x0 >= 0, x1 >= 0, z' = x1 encArg(z) -{ 0 }-> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> mark(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> isNat(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> active(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2 + x_3, x_3 >= 0, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> U31(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2 + x_3, x_3 >= 0, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 1 :|: z = 1 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0 -{ 0 }-> 0 :|: encode_U11(z, z') -{ 0 }-> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_U11(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 encode_U21(z, z', z'') -{ 0 }-> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) :|: x_1 >= 0, x_3 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2, z'' = x_3 encode_U21(z, z', z'') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z'' = v2, v1 >= 0, z = v0, z' = v1, v2 >= 0 encode_U31(z) -{ 0 }-> U31(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_U31(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_U41(z, z', z'') -{ 0 }-> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) :|: x_1 >= 0, x_3 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2, z'' = x_3 encode_U41(z, z', z'') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z'' = v2, v1 >= 0, z = v0, z' = v1, v2 >= 0 encode_active(z) -{ 0 }-> active(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_active(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_and(z, z') -{ 0 }-> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_and(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 encode_isNat(z) -{ 0 }-> isNat(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_isNat(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_mark(z) -{ 0 }-> mark(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_mark(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_plus(z, z') -{ 0 }-> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_plus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 encode_s(z) -{ 0 }-> s(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_s(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_tt -{ 0 }-> 1 :|: encode_tt -{ 0 }-> 0 :|: encode_x(z, z') -{ 0 }-> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_x(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 isNat(z) -{ 1 }-> isNat(X) :|: z = 1 + X, X >= 0 isNat(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 isNat(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 mark(z) -{ 1 }-> active(x(mark(X1), mark(X2))) :|: X1 >= 0, X2 >= 0, z = 1 + X1 + X2 mark(z) -{ 1 }-> active(s(mark(X))) :|: z = 1 + X, X >= 0 mark(z) -{ 1 }-> active(plus(mark(X1), mark(X2))) :|: X1 >= 0, X2 >= 0, z = 1 + X1 + X2 mark(z) -{ 1 }-> active(isNat(X)) :|: z = 1 + X, X >= 0 mark(z) -{ 1 }-> active(and(mark(X1), X2)) :|: X1 >= 0, X2 >= 0, z = 1 + X1 + X2 mark(z) -{ 1 }-> active(U41(mark(X1), X2, X3)) :|: X1 >= 0, X3 >= 0, z = 1 + X1 + X2 + X3, X2 >= 0 mark(z) -{ 1 }-> active(U31(mark(X))) :|: z = 1 + X, X >= 0 mark(z) -{ 1 }-> active(U21(mark(X1), X2, X3)) :|: X1 >= 0, X3 >= 0, z = 1 + X1 + X2 + X3, X2 >= 0 mark(z) -{ 1 }-> active(U11(mark(X1), X2)) :|: X1 >= 0, X2 >= 0, z = 1 + X1 + X2 mark(z) -{ 1 }-> active(1) :|: z = 1 mark(z) -{ 1 }-> active(0) :|: z = 0 mark(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 mark(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 plus(z, z') -{ 1 }-> plus(X1, X2) :|: X1 >= 0, z' = 1 + X2, X2 >= 0, z = X1 plus(z, z') -{ 1 }-> plus(X1, X2) :|: X1 >= 0, z = 1 + X1, X2 >= 0, z' = X2 plus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 plus(z, z') -{ 0 }-> 1 + x0 + x1 :|: z = x0, x0 >= 0, x1 >= 0, z' = x1 s(z) -{ 1 }-> s(X) :|: z = 1 + X, X >= 0 s(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 s(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 x(z, z') -{ 1 }-> x(X1, X2) :|: X1 >= 0, z = 1 + X1, X2 >= 0, z' = X2 x(z, z') -{ 1 }-> x(X1, X2) :|: X1 >= 0, z' = 1 + X2, X2 >= 0, z = X1 x(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 x(z, z') -{ 0 }-> 1 + x0 + x1 :|: z = x0, x0 >= 0, x1 >= 0, z' = x1 Only complete derivations are relevant for the runtime complexity. ---------------------------------------- (27) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (28) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) encode_active(z0) -> active(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encode_tt -> tt encode_mark(z0) -> mark(encArg(z0)) encode_U21(z0, z1, z2) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_U31(z0) -> U31(encArg(z0)) encode_0 -> 0 encode_U41(z0, z1, z2) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_x(z0, z1) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encode_and(z0, z1) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encode_isNat(z0) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(tt) -> c ENCARG(0) -> c1 ENCARG(cons_active(z0)) -> c2(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_mark(z0)) -> c3(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_ACTIVE(z0) -> c13(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1) -> c14(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_TT -> c15 ENCODE_MARK(z0) -> c16(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c17(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_S(z0) -> c18(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c19(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_U31(z0) -> c20(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_0 -> c21 ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c22(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_X(z0, z1) -> c23(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_AND(z0, z1) -> c24(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_ISNAT(z0) -> c25(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), S(plus(z1, z0)), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), PLUS(x(z1, z0), z1), X(z1, z0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), AND(isNat(z0), isNat(z1)), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), AND(isNat(z0), isNat(z1)), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), U11'(isNat(z0), z0), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), U21'(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0), AND(isNat(z1), isNat(z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), U31'(isNat(z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), U41'(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0), AND(isNat(z1), isNat(z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(tt) -> c40(ACTIVE(tt)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c45(ACTIVE(0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), S(plus(z1, z0)), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), PLUS(x(z1, z0), z1), X(z1, z0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), AND(isNat(z0), isNat(z1)), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), AND(isNat(z0), isNat(z1)), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), U11'(isNat(z0), z0), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), U21'(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0), AND(isNat(z1), isNat(z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), U31'(isNat(z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), U41'(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0), AND(isNat(z1), isNat(z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(tt) -> c40(ACTIVE(tt)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c45(ACTIVE(0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> 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encode_isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_TT, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_0, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1 Compound Symbols: c, c1, c2_2, c3_2, c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c13_2, c14_3, c15, c16_2, c17_4, c18_2, c19_3, c20_2, c21, c22_4, c23_3, c24_3, c25_2, c26_1, c27_3, c28_1, c29_3, c30_1, c31_1, c32_4, c33_2, c34_4, c35_3, c36_5, c37_3, c38_5, c39_3, c40_1, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c45_1, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1 ---------------------------------------- (29) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing nodes: ENCODE_TT -> c15 ENCARG(0) -> c1 ENCODE_0 -> c21 ENCARG(tt) -> c ---------------------------------------- (30) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) encode_active(z0) -> active(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encode_tt -> tt encode_mark(z0) -> mark(encArg(z0)) encode_U21(z0, z1, z2) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_U31(z0) -> U31(encArg(z0)) encode_0 -> 0 encode_U41(z0, z1, z2) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_x(z0, z1) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encode_and(z0, z1) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encode_isNat(z0) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_active(z0)) -> c2(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_mark(z0)) -> c3(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_ACTIVE(z0) -> c13(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1) -> c14(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MARK(z0) -> c16(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c17(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_S(z0) -> c18(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c19(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_U31(z0) -> c20(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c22(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_X(z0, z1) -> c23(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_AND(z0, z1) -> c24(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_ISNAT(z0) -> c25(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), S(plus(z1, z0)), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), PLUS(x(z1, z0), z1), X(z1, z0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), AND(isNat(z0), isNat(z1)), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), AND(isNat(z0), isNat(z1)), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), U11'(isNat(z0), z0), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), U21'(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0), AND(isNat(z1), isNat(z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), U31'(isNat(z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), U41'(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0), AND(isNat(z1), isNat(z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(tt) -> c40(ACTIVE(tt)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c45(ACTIVE(0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), S(plus(z1, z0)), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), PLUS(x(z1, z0), z1), X(z1, z0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), AND(isNat(z0), isNat(z1)), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), AND(isNat(z0), isNat(z1)), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), U11'(isNat(z0), z0), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), U21'(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0), AND(isNat(z1), isNat(z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), U31'(isNat(z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), U41'(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0), AND(isNat(z1), isNat(z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(tt) -> c40(ACTIVE(tt)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c45(ACTIVE(0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1, encArg_1, encode_active_1, encode_U11_2, encode_tt, encode_mark_1, encode_U21_3, encode_s_1, encode_plus_2, encode_U31_1, encode_0, encode_U41_3, encode_x_2, encode_and_2, encode_isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1 Compound Symbols: c2_2, c3_2, c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c13_2, c14_3, c16_2, c17_4, c18_2, c19_3, c20_2, c22_4, c23_3, c24_3, c25_2, c26_1, c27_3, c28_1, c29_3, c30_1, c31_1, c32_4, c33_2, c34_4, c35_3, c36_5, c37_3, c38_5, c39_3, c40_1, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c45_1, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1 ---------------------------------------- (31) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 12 trailing tuple parts ---------------------------------------- (32) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) encode_active(z0) -> active(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encode_tt -> tt encode_mark(z0) -> mark(encArg(z0)) encode_U21(z0, z1, z2) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_U31(z0) -> U31(encArg(z0)) encode_0 -> 0 encode_U41(z0, z1, z2) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_x(z0, z1) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encode_and(z0, z1) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encode_isNat(z0) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_active(z0)) -> c2(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_mark(z0)) -> c3(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_ACTIVE(z0) -> c13(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1) -> c14(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_MARK(z0) -> c16(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c17(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_S(z0) -> c18(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c19(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_U31(z0) -> c20(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c22(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_X(z0, z1) -> c23(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_AND(z0, z1) -> c24(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_ISNAT(z0) -> c25(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> 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c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1, encArg_1, encode_active_1, encode_U11_2, encode_tt, encode_mark_1, encode_U21_3, encode_s_1, encode_plus_2, encode_U31_1, encode_0, encode_U41_3, encode_x_2, encode_and_2, encode_isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1 Compound Symbols: c2_2, c3_2, c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c13_2, c14_3, c16_2, c17_4, c18_2, c19_3, c20_2, c22_4, c23_3, c24_3, c25_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45 ---------------------------------------- (33) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (34) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) encode_active(z0) -> active(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encode_tt -> tt encode_mark(z0) -> mark(encArg(z0)) encode_U21(z0, z1, z2) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_U31(z0) -> U31(encArg(z0)) encode_0 -> 0 encode_U41(z0, z1, z2) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_x(z0, z1) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encode_and(z0, z1) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encode_isNat(z0) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_active(z0)) -> c2(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_mark(z0)) -> c3(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_MARK(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U31(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_X(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ENCARG(z0)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1, encArg_1, encode_active_1, encode_U11_2, encode_tt, encode_mark_1, encode_U21_3, encode_s_1, encode_plus_2, encode_U31_1, encode_0, encode_U41_3, encode_x_2, encode_and_2, encode_isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c2_2, c3_2, c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1 ---------------------------------------- (35) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 19 leading nodes: ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_MARK(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_S(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U31(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_X(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_X(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ENCARG(z0)) ---------------------------------------- (36) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) encode_active(z0) -> active(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encode_tt -> tt encode_mark(z0) -> mark(encArg(z0)) encode_U21(z0, z1, z2) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_U31(z0) -> U31(encArg(z0)) encode_0 -> 0 encode_U41(z0, z1, z2) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_x(z0, z1) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encode_and(z0, z1) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encode_isNat(z0) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_active(z0)) -> c2(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_mark(z0)) -> c3(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1, encArg_1, encode_active_1, encode_U11_2, encode_tt, encode_mark_1, encode_U21_3, encode_s_1, encode_plus_2, encode_U31_1, encode_0, encode_U41_3, encode_x_2, encode_and_2, encode_isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c2_2, c3_2, c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1 ---------------------------------------- (37) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_active(z0) -> active(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encode_tt -> tt encode_mark(z0) -> mark(encArg(z0)) encode_U21(z0, z1, z2) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_U31(z0) -> U31(encArg(z0)) encode_0 -> 0 encode_U41(z0, z1, z2) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_x(z0, z1) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encode_and(z0, z1) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encode_isNat(z0) -> isNat(encArg(z0)) ---------------------------------------- (38) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_active(z0)) -> c2(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_mark(z0)) -> c3(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c2_2, c3_2, c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1 ---------------------------------------- (39) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_active(z0)) -> c2(ACTIVE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_active(tt)) -> c2(ACTIVE(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_active(0)) -> c2(ACTIVE(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ---------------------------------------- (40) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> 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ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(tt)) -> c2(ACTIVE(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_active(0)) -> c2(ACTIVE(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> 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ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c3_2, c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2 ---------------------------------------- (41) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCARG(cons_active(tt)) -> c2(ACTIVE(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_active(0)) -> c2(ACTIVE(0), ENCARG(0)) ---------------------------------------- (42) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_mark(z0)) -> c3(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c3_2, c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2 ---------------------------------------- (43) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_mark(z0)) -> c3(MARK(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ---------------------------------------- (44) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2 ---------------------------------------- (45) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (46) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c4_3, c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1 ---------------------------------------- (47) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_U11(z0, z1)) -> c4(U11'(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) by ENCARG(cons_U11(x0, tt)) -> c4(U11'(encArg(x0), tt), ENCARG(x0), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_U11(x0, 0)) -> c4(U11'(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_U11(x0, cons_active(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_mark(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_s(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U31(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_x(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_and(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_isNat(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U11(tt, x1)) -> c4(U11'(tt, encArg(x1)), ENCARG(tt), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(0, x1)) -> c4(U11'(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_active(z0), x1)) -> c4(U11'(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_mark(z0), x1)) -> c4(U11'(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c4(U11'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_s(z0), x1)) -> c4(U11'(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U31(z0), x1)) -> c4(U11'(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c4(U11'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_x(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_and(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_isNat(z0), x1)) -> c4(U11'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ---------------------------------------- (48) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> 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ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), 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ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0)) ENCARG(cons_U11(x0, tt)) -> c4(U11'(encArg(x0), tt), ENCARG(x0), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_U11(x0, 0)) -> c4(U11'(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_U11(x0, cons_active(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_mark(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_s(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U31(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_x(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_and(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_isNat(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U11(tt, x1)) -> c4(U11'(tt, encArg(x1)), ENCARG(tt), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(0, x1)) -> c4(U11'(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_active(z0), x1)) -> c4(U11'(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_mark(z0), x1)) -> c4(U11'(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c4(U11'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_s(z0), x1)) -> c4(U11'(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U31(z0), x1)) -> c4(U11'(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c4(U11'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_x(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_and(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_isNat(z0), x1)) -> c4(U11'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> 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c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3 ---------------------------------------- (49) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing tuple parts ---------------------------------------- (50) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> 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c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> 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z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_and(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_isNat(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U11(cons_active(z0), x1)) -> c4(U11'(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_mark(z0), x1)) -> c4(U11'(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c4(U11'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_s(z0), x1)) -> c4(U11'(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U31(z0), x1)) -> c4(U11'(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c4(U11'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_x(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_and(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_isNat(z0), x1)) -> c4(U11'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(x0, tt)) -> c4(U11'(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_U11(x0, 0)) -> c4(U11'(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_U11(tt, x1)) -> c4(U11'(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(0, x1)) -> c4(U11'(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c5_4, c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2 ---------------------------------------- (51) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c5(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) by ENCARG(cons_U21(x0, x1, tt)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, 0)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(0)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_active(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_mark(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U11(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_s(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_plus(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U31(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_x(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_and(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_isNat(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, tt, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(tt), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, 0, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_active(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), active(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_mark(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), mark(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U11(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U21(z0, z1, z2), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_s(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), s(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_plus(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U31(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_x(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_and(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_isNat(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(tt, x1, x2)) -> c5(U21'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(tt), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(0, x1, x2)) -> c5(U21'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(0), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_active(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_s(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ---------------------------------------- (52) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> 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ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_isNat(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, tt, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(tt), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, 0, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_active(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), active(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_mark(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), mark(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U11(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U21(z0, z1, z2), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_s(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), s(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_plus(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U31(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_x(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_and(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_isNat(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(tt, x1, x2)) -> c5(U21'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(tt), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(0, x1, x2)) -> c5(U21'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(0), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_active(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_s(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4 ---------------------------------------- (53) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing tuple parts ---------------------------------------- (54) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, 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isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), 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ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_s(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, tt)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, 0)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, tt, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, 0, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(tt, x1, x2)) -> c5(U21'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(0, x1, x2)) -> c5(U21'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c6_2, c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3 ---------------------------------------- (55) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_s(z0)) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_s(tt)) -> c6(S(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_s(0)) -> c6(S(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_s(cons_active(z0))) -> c6(S(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_s(cons_mark(z0))) -> c6(S(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U11(z0, z1))) -> c6(S(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c6(S(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c6(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_plus(z0, z1))) -> c6(S(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U31(z0))) -> c6(S(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c6(S(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_x(z0, z1))) -> c6(S(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_and(z0, z1))) -> c6(S(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_isNat(z0))) -> c6(S(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ---------------------------------------- (56) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> 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c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0)) ENCARG(cons_U11(x0, cons_active(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_mark(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_s(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U31(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_x(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_and(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_isNat(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), 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-> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_s(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_plus(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U31(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_x(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), x(encArg(z0), 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ENCARG(cons_U21(x0, cons_s(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), s(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_plus(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U31(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_x(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_and(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_isNat(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_active(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_s(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, tt)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, 0)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, tt, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, 0, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(tt, x1, x2)) -> c5(U21'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(0, x1, x2)) -> c5(U21'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_s(tt)) -> c6(S(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_s(0)) -> c6(S(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_s(cons_active(z0))) -> c6(S(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_s(cons_mark(z0))) -> c6(S(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U11(z0, z1))) -> c6(S(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c6(S(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c6(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_plus(z0, z1))) -> c6(S(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U31(z0))) -> c6(S(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c6(S(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_x(z0, z1))) -> c6(S(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_and(z0, z1))) -> c6(S(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_isNat(z0))) -> c6(S(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2 ---------------------------------------- (57) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCARG(cons_s(0)) -> c6(S(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_s(tt)) -> c6(S(tt), ENCARG(tt)) ---------------------------------------- (58) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, 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z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), 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encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_and(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_isNat(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_active(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_s(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, tt)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, 0)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, tt, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, 0, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(tt, x1, x2)) -> c5(U21'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(0, x1, x2)) -> c5(U21'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_s(cons_active(z0))) -> c6(S(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_s(cons_mark(z0))) -> c6(S(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U11(z0, z1))) -> c6(S(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c6(S(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c6(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_plus(z0, z1))) -> c6(S(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U31(z0))) -> c6(S(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c6(S(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_x(z0, z1))) -> c6(S(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_and(z0, z1))) -> c6(S(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_isNat(z0))) -> c6(S(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c7_3, c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2 ---------------------------------------- (59) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c7(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) by ENCARG(cons_plus(x0, tt)) -> c7(PLUS(encArg(x0), tt), ENCARG(x0), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_plus(x0, 0)) -> c7(PLUS(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_plus(x0, cons_active(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_mark(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_s(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U31(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_x(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_and(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_isNat(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_plus(tt, x1)) -> c7(PLUS(tt, encArg(x1)), ENCARG(tt), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(0, x1)) -> c7(PLUS(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_active(z0), x1)) -> c7(PLUS(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_mark(z0), x1)) -> c7(PLUS(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c7(PLUS(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_s(z0), x1)) -> c7(PLUS(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U31(z0), x1)) -> c7(PLUS(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c7(PLUS(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_x(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_and(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_isNat(z0), x1)) -> c7(PLUS(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ---------------------------------------- (60) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), 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ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), 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ENCARG(cons_U21(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_s(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, tt)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, 0)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, tt, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, 0, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(tt, x1, x2)) -> c5(U21'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(0, x1, x2)) -> c5(U21'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_s(cons_active(z0))) -> c6(S(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_s(cons_mark(z0))) -> c6(S(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U11(z0, 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cons_active(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_mark(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_s(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U31(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_x(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_and(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_isNat(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_plus(tt, x1)) -> c7(PLUS(tt, encArg(x1)), ENCARG(tt), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(0, x1)) -> c7(PLUS(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_active(z0), x1)) -> c7(PLUS(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_mark(z0), x1)) -> c7(PLUS(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c7(PLUS(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_s(z0), x1)) -> c7(PLUS(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U31(z0), x1)) -> c7(PLUS(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c7(PLUS(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_x(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_and(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_isNat(z0), x1)) -> c7(PLUS(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, 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mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3 ---------------------------------------- (61) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing tuple parts ---------------------------------------- (62) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0)) ENCARG(cons_U11(x0, cons_active(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_mark(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_s(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U31(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_x(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_and(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_isNat(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U11(cons_active(z0), x1)) -> c4(U11'(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_mark(z0), x1)) -> c4(U11'(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), 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c4(U11'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(x0, tt)) -> c4(U11'(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_U11(x0, 0)) -> c4(U11'(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_U11(tt, x1)) -> c4(U11'(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(0, x1)) -> c4(U11'(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_active(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_mark(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U11(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_s(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_plus(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U31(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_x(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_and(z0, z1))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U21(x0, x1, cons_isNat(z0))) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), 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c5(U21'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_x(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_and(z0, z1), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, cons_isNat(z0), x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_active(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_s(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c5(U21'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c5(U21'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c5(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, tt)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, x1, 0)) -> c5(U21'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U21(x0, tt, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(x0, 0, x2)) -> c5(U21'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(tt, x1, x2)) -> c5(U21'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U21(0, x1, x2)) -> c5(U21'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_s(cons_active(z0))) -> c6(S(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_s(cons_mark(z0))) -> c6(S(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U11(z0, z1))) -> c6(S(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c6(S(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c6(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_plus(z0, z1))) -> c6(S(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U31(z0))) -> c6(S(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c6(S(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_x(z0, z1))) -> c6(S(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_and(z0, z1))) -> c6(S(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_isNat(z0))) -> c6(S(isNat(encArg(z0))), 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ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(0, x1)) -> c7(PLUS(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c8_2, c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2 ---------------------------------------- (63) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_U31(z0)) -> c8(U31'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_U31(tt)) -> c8(U31'(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_U31(0)) -> c8(U31'(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_U31(cons_active(z0))) -> c8(U31'(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_mark(z0))) -> c8(U31'(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_U11(z0, z1))) -> c8(U31'(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c8(U31'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U31(cons_s(z0))) -> c8(U31'(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_plus(z0, z1))) -> c8(U31'(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_U31(z0))) -> c8(U31'(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c8(U31'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U31(cons_x(z0, z1))) -> c8(U31'(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_and(z0, z1))) -> c8(U31'(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_isNat(z0))) -> c8(U31'(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ---------------------------------------- (64) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, 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ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0)) ENCARG(cons_U11(x0, cons_active(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_mark(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), 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ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c7(PLUS(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_s(z0), x1)) -> c7(PLUS(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U31(z0), x1)) -> c7(PLUS(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c7(PLUS(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_x(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_and(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_isNat(z0), x1)) -> c7(PLUS(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(x0, tt)) -> c7(PLUS(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_plus(x0, 0)) -> c7(PLUS(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_plus(tt, x1)) -> c7(PLUS(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(0, x1)) -> c7(PLUS(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U31(tt)) -> c8(U31'(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_U31(0)) -> c8(U31'(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_U31(cons_active(z0))) -> c8(U31'(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_mark(z0))) -> c8(U31'(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_U11(z0, z1))) -> c8(U31'(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c8(U31'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U31(cons_s(z0))) -> c8(U31'(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_plus(z0, z1))) -> c8(U31'(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_U31(z0))) -> c8(U31'(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c8(U31'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U31(cons_x(z0, z1))) -> c8(U31'(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_and(z0, z1))) -> c8(U31'(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_isNat(z0))) -> c8(U31'(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2 ---------------------------------------- (65) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCARG(cons_U31(tt)) -> c8(U31'(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_U31(0)) -> c8(U31'(0), ENCARG(0)) ---------------------------------------- (66) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), 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z2))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c6(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_plus(z0, z1))) -> c6(S(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_U31(z0))) -> c6(S(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_s(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c6(S(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_s(cons_x(z0, z1))) -> c6(S(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_and(z0, z1))) -> c6(S(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_s(cons_isNat(z0))) -> c6(S(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_active(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_mark(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_s(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U31(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c7(PLUS(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_x(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_and(z0, z1))) -> c7(PLUS(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_plus(x0, cons_isNat(z0))) -> c7(PLUS(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_plus(cons_active(z0), x1)) -> c7(PLUS(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_mark(z0), x1)) -> c7(PLUS(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c7(PLUS(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_s(z0), x1)) -> c7(PLUS(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U31(z0), x1)) -> c7(PLUS(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c7(PLUS(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_x(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_and(z0, z1), x1)) -> c7(PLUS(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(cons_isNat(z0), x1)) -> c7(PLUS(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(x0, tt)) -> c7(PLUS(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_plus(x0, 0)) -> c7(PLUS(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_plus(tt, x1)) -> c7(PLUS(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_plus(0, x1)) -> c7(PLUS(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U31(cons_active(z0))) -> c8(U31'(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_mark(z0))) -> c8(U31'(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_U11(z0, z1))) -> c8(U31'(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c8(U31'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U31(cons_s(z0))) -> c8(U31'(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_plus(z0, z1))) -> c8(U31'(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_U31(z0))) -> c8(U31'(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U31(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c8(U31'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U31(cons_x(z0, z1))) -> c8(U31'(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_and(z0, z1))) -> c8(U31'(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U31(cons_isNat(z0))) -> c8(U31'(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c9_4, c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2 ---------------------------------------- (67) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c9(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) by ENCARG(cons_U41(x0, x1, tt)) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_U41(x0, x1, 0)) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(0)) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_active(z0))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_mark(z0))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_U11(z0, z1))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_s(z0))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_plus(z0, z1))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_U31(z0))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_x(z0, z1))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_and(z0, z1))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U41(x0, x1, cons_isNat(z0))) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(x1), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U41(x0, tt, x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(tt), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, 0, x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_active(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), active(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_mark(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), mark(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U11(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U21(z0, z1, z2), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_s(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), s(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_plus(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U31(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_x(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_and(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_isNat(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(tt, x1, x2)) -> c9(U41'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(tt), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(0, x1, x2)) -> c9(U41'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(0), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_active(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c9(U41'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_s(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c9(U41'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ---------------------------------------- (68) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> 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c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> 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c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4 ---------------------------------------- (69) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing tuple parts ---------------------------------------- (70) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> 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ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U41(x0, cons_active(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), active(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_mark(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), mark(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U11(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U21(z0, z1, z2), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_s(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), s(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_plus(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U31(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_x(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_and(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_isNat(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_active(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c9(U41'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_s(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c9(U41'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, x1, tt)) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U41(x0, x1, 0)) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U41(x0, tt, x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, 0, x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(tt, x1, x2)) -> c9(U41'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(0, x1, x2)) -> c9(U41'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c10_3, c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3 ---------------------------------------- (71) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_x(z0, z1)) -> c10(X(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) by ENCARG(cons_x(x0, tt)) -> c10(X(encArg(x0), tt), ENCARG(x0), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_x(x0, 0)) -> c10(X(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_x(x0, cons_active(z0))) -> c10(X(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_mark(z0))) -> c10(X(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c10(X(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_x(x0, cons_s(z0))) -> c10(X(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U31(z0))) -> c10(X(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c10(X(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_x(x0, cons_x(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_and(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_isNat(z0))) -> c10(X(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_x(tt, x1)) -> c10(X(tt, encArg(x1)), ENCARG(tt), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(0, x1)) -> c10(X(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_active(z0), x1)) -> c10(X(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_mark(z0), x1)) -> c10(X(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c10(X(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c10(X(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_s(z0), x1)) -> c10(X(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c10(X(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U31(z0), x1)) -> c10(X(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c10(X(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_x(z0, z1), x1)) -> c10(X(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_and(z0, z1), x1)) -> c10(X(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_isNat(z0), x1)) -> c10(X(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ---------------------------------------- (72) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, 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z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0)) ENCARG(cons_U11(x0, cons_active(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_mark(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_s(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U31(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_x(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_and(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_isNat(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_U11(cons_active(z0), x1)) -> c4(U11'(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_mark(z0), x1)) -> c4(U11'(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c4(U11'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c4(U11'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U11(cons_s(z0), x1)) 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ENCARG(cons_U41(cons_s(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c9(U41'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_x(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_and(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_isNat(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, x1, tt)) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), tt), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U41(x0, x1, 0)) -> c9(U41'(encArg(x0), encArg(x1), 0), ENCARG(x0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_U41(x0, tt, x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), tt, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, 0, x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(tt, x1, x2)) -> c9(U41'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(0, x1, x2)) -> c9(U41'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_x(x0, tt)) -> c10(X(encArg(x0), tt), ENCARG(x0), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_x(x0, 0)) -> c10(X(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_x(x0, cons_active(z0))) -> c10(X(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_mark(z0))) -> c10(X(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c10(X(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_x(x0, cons_s(z0))) -> c10(X(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U31(z0))) -> c10(X(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c10(X(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_x(x0, cons_x(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_and(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_isNat(z0))) -> c10(X(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_x(tt, x1)) -> c10(X(tt, encArg(x1)), ENCARG(tt), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(0, x1)) -> c10(X(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_active(z0), x1)) -> c10(X(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_mark(z0), x1)) -> c10(X(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c10(X(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c10(X(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_s(z0), x1)) -> c10(X(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c10(X(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U31(z0), x1)) -> c10(X(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c10(X(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_x(z0, z1), x1)) -> c10(X(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_and(z0, z1), x1)) -> c10(X(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_isNat(z0), x1)) -> c10(X(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> 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ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3 ---------------------------------------- (73) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing tuple parts ---------------------------------------- (74) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> 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encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_plus(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U31(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_x(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_and(z0, z1), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(x0, cons_isNat(z0), x2)) -> c9(U41'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_active(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_mark(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U11(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c9(U41'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_s(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_plus(z0, z1), x1, x2)) -> c9(U41'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(cons_U31(z0), x1, x2)) -> c9(U41'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), 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c9(U41'(encArg(x0), 0, encArg(x2)), ENCARG(x0), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(tt, x1, x2)) -> c9(U41'(tt, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_U41(0, x1, x2)) -> c9(U41'(0, encArg(x1), encArg(x2)), ENCARG(x1), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_x(x0, cons_active(z0))) -> c10(X(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_mark(z0))) -> c10(X(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c10(X(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_x(x0, cons_s(z0))) -> c10(X(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U31(z0))) -> c10(X(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_x(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c10(X(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_x(x0, cons_x(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_and(z0, z1))) -> c10(X(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_x(x0, cons_isNat(z0))) -> c10(X(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_x(cons_active(z0), x1)) -> c10(X(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_mark(z0), x1)) -> c10(X(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c10(X(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c10(X(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_s(z0), x1)) -> c10(X(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c10(X(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U31(z0), x1)) -> c10(X(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c10(X(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_x(z0, z1), x1)) -> c10(X(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_and(z0, z1), x1)) -> c10(X(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_isNat(z0), x1)) -> c10(X(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(x0, tt)) -> c10(X(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_x(x0, 0)) -> c10(X(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_x(tt, x1)) -> c10(X(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(0, x1)) -> c10(X(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, 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z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c11_3, c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2 ---------------------------------------- (75) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_and(z0, z1)) -> c11(AND(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) by ENCARG(cons_and(x0, tt)) -> c11(AND(encArg(x0), tt), ENCARG(x0), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_and(x0, 0)) -> c11(AND(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_and(x0, cons_active(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_and(x0, cons_mark(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c11(AND(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_and(x0, cons_s(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_and(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U31(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c11(AND(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_and(x0, cons_x(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_and(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_isNat(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_and(tt, x1)) -> c11(AND(tt, encArg(x1)), ENCARG(tt), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(0, x1)) -> c11(AND(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_active(z0), x1)) -> c11(AND(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_mark(z0), x1)) -> c11(AND(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c11(AND(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_s(z0), x1)) -> c11(AND(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c11(AND(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U31(z0), x1)) -> c11(AND(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_x(z0, z1), x1)) -> c11(AND(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_and(z0, z1), x1)) -> c11(AND(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_isNat(z0), x1)) -> c11(AND(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ---------------------------------------- (76) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> 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c11(AND(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c11(AND(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U31(z0), x1)) -> c11(AND(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_x(z0, z1), x1)) -> c11(AND(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_and(z0, z1), x1)) -> c11(AND(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_isNat(z0), x1)) -> c11(AND(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3 ---------------------------------------- (77) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing tuple parts ---------------------------------------- (78) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) 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plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U31(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c11(AND(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_and(x0, cons_x(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_and(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_isNat(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_and(cons_active(z0), x1)) -> c11(AND(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_mark(z0), x1)) -> c11(AND(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c11(AND(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_s(z0), x1)) -> c11(AND(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c11(AND(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U31(z0), x1)) -> c11(AND(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_x(z0, z1), x1)) -> c11(AND(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_and(z0, z1), x1)) -> c11(AND(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_isNat(z0), x1)) -> c11(AND(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(x0, tt)) -> c11(AND(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_and(x0, 0)) -> c11(AND(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_and(tt, x1)) -> c11(AND(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(0, x1)) -> c11(AND(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c12_2, c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2 ---------------------------------------- (79) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_isNat(z0)) -> c12(ISNAT(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_isNat(tt)) -> c12(ISNAT(tt), ENCARG(tt)) ENCARG(cons_isNat(0)) -> c12(ISNAT(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_isNat(cons_active(z0))) -> c12(ISNAT(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_mark(z0))) -> c12(ISNAT(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_U11(z0, z1))) -> c12(ISNAT(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c12(ISNAT(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_isNat(cons_s(z0))) -> c12(ISNAT(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_plus(z0, z1))) -> c12(ISNAT(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_U31(z0))) -> c12(ISNAT(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c12(ISNAT(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_isNat(cons_x(z0, z1))) -> c12(ISNAT(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_and(z0, z1))) -> c12(ISNAT(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_isNat(z0))) -> c12(ISNAT(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ---------------------------------------- (80) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) 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ENCARG(cons_x(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c10(X(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U31(z0), x1)) -> c10(X(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c10(X(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_x(z0, z1), x1)) -> c10(X(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_and(z0, z1), x1)) -> c10(X(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(cons_isNat(z0), x1)) -> c10(X(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(x0, tt)) -> c10(X(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_x(x0, 0)) -> c10(X(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_x(tt, x1)) -> c10(X(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_x(0, x1)) -> c10(X(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(x0, 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ENCARG(cons_and(x0, cons_x(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_and(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_isNat(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_and(cons_active(z0), x1)) -> c11(AND(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_mark(z0), x1)) -> c11(AND(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c11(AND(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_s(z0), x1)) -> c11(AND(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c11(AND(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U31(z0), x1)) -> c11(AND(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_x(z0, z1), x1)) -> c11(AND(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_and(z0, z1), x1)) -> c11(AND(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_isNat(z0), x1)) -> c11(AND(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(x0, tt)) -> c11(AND(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_and(x0, 0)) -> c11(AND(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_and(tt, x1)) -> c11(AND(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(0, x1)) -> c11(AND(0, 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c12(ISNAT(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_and(z0, z1))) -> c12(ISNAT(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_isNat(z0))) -> c12(ISNAT(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, 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ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2 ---------------------------------------- (81) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCARG(cons_isNat(0)) -> c12(ISNAT(0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_isNat(tt)) -> c12(ISNAT(tt), ENCARG(tt)) ---------------------------------------- (82) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> 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c12(ISNAT(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c12(ISNAT(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_isNat(cons_s(z0))) -> c12(ISNAT(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_plus(z0, z1))) -> c12(ISNAT(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_U31(z0))) -> c12(ISNAT(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c12(ISNAT(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_isNat(cons_x(z0, z1))) -> c12(ISNAT(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_and(z0, z1))) -> c12(ISNAT(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_isNat(z0))) -> c12(ISNAT(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c39_3, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2 ---------------------------------------- (83) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(mark(z0), z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) by MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(z0, z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U11(U11(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U11(tt, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(tt), x1)), U11'(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(U11(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U11(s(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(s(mark(z0))), x1)), U11'(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(U11(plus(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U11(U31(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U31(mark(z0))), x1)), U11'(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(U11(0, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(0), x1)), U11'(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(U11(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U11(x(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(U11(and(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(and(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(U11(isNat(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(isNat(z0)), x1)), U11'(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(U11(x0, x1)) -> c39(U11'(mark(x0), x1)) ---------------------------------------- (84) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) 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cons_U11(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c11(AND(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_and(x0, cons_s(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_and(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U31(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_and(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c11(AND(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_and(x0, cons_x(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_and(z0, z1))) -> c11(AND(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_and(x0, cons_isNat(z0))) -> c11(AND(encArg(x0), isNat(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_and(cons_active(z0), x1)) -> c11(AND(active(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_active(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_mark(z0), x1)) -> c11(AND(mark(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_mark(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U11(z0, z1), x1)) -> c11(AND(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U11(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U21(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_s(z0), x1)) -> c11(AND(s(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_s(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_plus(z0, z1), x1)) -> c11(AND(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_plus(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U31(z0), x1)) -> c11(AND(U31(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U31(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_U41(z0, z1, z2), x1)) -> c11(AND(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1)), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_x(z0, z1), x1)) -> c11(AND(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_x(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_and(z0, z1), x1)) -> c11(AND(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_and(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(cons_isNat(z0), x1)) -> c11(AND(isNat(encArg(z0)), encArg(x1)), ENCARG(cons_isNat(z0)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(x0, tt)) -> c11(AND(encArg(x0), tt), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_and(x0, 0)) -> c11(AND(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_and(tt, x1)) -> c11(AND(tt, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_and(0, x1)) -> c11(AND(0, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_isNat(cons_active(z0))) -> c12(ISNAT(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_mark(z0))) -> c12(ISNAT(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_U11(z0, z1))) -> c12(ISNAT(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c12(ISNAT(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_isNat(cons_s(z0))) -> c12(ISNAT(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_plus(z0, z1))) -> c12(ISNAT(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_U31(z0))) -> c12(ISNAT(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_isNat(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c12(ISNAT(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_isNat(cons_x(z0, z1))) -> c12(ISNAT(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_and(z0, z1))) -> c12(ISNAT(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_isNat(cons_isNat(z0))) -> c12(ISNAT(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(z0, z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U11(U11(z0, z1), x1)) -> 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MARK(x(z0, z1))) MARK(U11(and(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(and(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(U11(isNat(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(isNat(z0)), x1)), U11'(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(U11(x0, x1)) -> c39(U11'(mark(x0), x1)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, 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c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(z0, z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U11(U11(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U11(tt, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(tt), x1)), U11'(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(U11(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U11(s(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(s(mark(z0))), x1)), U11'(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(U11(plus(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U11(U31(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U31(mark(z0))), x1)), U11'(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(U11(0, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(0), x1)), U11'(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(U11(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U11(x(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(U11(and(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(and(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(U11(isNat(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(isNat(z0)), x1)), U11'(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(U11(x0, x1)) -> c39(U11'(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c41_3, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1 ---------------------------------------- (85) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(mark(z0), z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) by MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(z0, z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U21(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U21(tt, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(tt), x1, x2)), U21'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U21(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U21(s(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U21(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U21(U31(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U21(0, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(0), x1, x2)), U21'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U21(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U21(x(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U21(and(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U21(isNat(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(isNat(z0)), x1, x2)), U21'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U21(x0, x1, x2)) -> c41(U21'(mark(x0), x1, x2)) ---------------------------------------- (86) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, 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c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> 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MARK(U11(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U11(s(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(s(mark(z0))), x1)), U11'(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(U11(plus(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U11(U31(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U31(mark(z0))), x1)), U11'(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(U11(0, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(0), x1)), U11'(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(U11(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U11(x(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(U11(and(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(and(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(U11(isNat(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(isNat(z0)), x1)), U11'(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(U11(x0, x1)) -> c39(U11'(mark(x0), x1)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(z0, z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U21(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U21(tt, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(tt), x1, x2)), U21'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U21(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U21(s(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U21(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U21(U31(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U21(0, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(0), x1, x2)), U21'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U21(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U21(x(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U21(and(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U21(isNat(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(isNat(z0)), x1, x2)), U21'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U21(x0, x1, x2)) -> c41(U21'(mark(x0), x1, x2)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(z0, z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U11(U11(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U11(tt, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(tt), x1)), U11'(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(U11(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U11(s(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(s(mark(z0))), x1)), U11'(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(U11(plus(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U11(U31(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U31(mark(z0))), x1)), U11'(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(U11(0, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(0), x1)), U11'(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(U11(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U11(x(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(U11(and(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(and(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(U11(isNat(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(isNat(z0)), x1)), U11'(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(U11(x0, x1)) -> c39(U11'(mark(x0), x1)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(z0, z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U21(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U21(tt, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(tt), x1, x2)), U21'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U21(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U21(s(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U21(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U21(U31(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U21(0, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(0), x1, x2)), U21'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U21(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U21(x(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U21(and(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U21(isNat(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(isNat(z0)), x1, x2)), U21'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U21(x0, x1, x2)) -> c41(U21'(mark(x0), x1, x2)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c42_3, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1 ---------------------------------------- (87) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(mark(z0))), S(mark(z0)), MARK(z0)) by MARK(s(z0)) -> c42(ACTIVE(s(z0)), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(s(U11(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(U11(mark(z0), z1)))), S(mark(U11(z0, z1))), MARK(U11(z0, z1))) MARK(s(tt)) -> c42(ACTIVE(s(active(tt))), S(mark(tt)), MARK(tt)) MARK(s(U21(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U21(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(s(s(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(s(mark(z0))))), S(mark(s(z0))), MARK(s(z0))) MARK(s(plus(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(s(U31(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(U31(mark(z0))))), S(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(s(0)) -> c42(ACTIVE(s(active(0))), S(mark(0)), MARK(0)) MARK(s(U41(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(s(x(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(x(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(s(and(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(and(mark(z0), z1)))), S(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(s(isNat(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(isNat(z0)))), S(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) ---------------------------------------- (88) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, 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S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), 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MARK(U21(s(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U21(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U21(U31(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U21(0, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(0), x1, x2)), U21'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U21(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U21(x(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U21(and(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U21(isNat(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(isNat(z0)), x1, x2)), 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S(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(s(and(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(and(mark(z0), z1)))), S(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(s(isNat(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(isNat(z0)))), S(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, 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-> c42(ACTIVE(s(z0)), S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(s(U11(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(U11(mark(z0), z1)))), S(mark(U11(z0, z1))), MARK(U11(z0, z1))) MARK(s(tt)) -> c42(ACTIVE(s(active(tt))), S(mark(tt)), MARK(tt)) MARK(s(U21(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U21(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(s(s(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(s(mark(z0))))), S(mark(s(z0))), MARK(s(z0))) MARK(s(plus(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(s(U31(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(U31(mark(z0))))), S(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(s(0)) -> c42(ACTIVE(s(active(0))), S(mark(0)), MARK(0)) MARK(s(U41(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(s(x(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(x(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(s(and(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(and(mark(z0), z1)))), S(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(s(isNat(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(isNat(z0)))), S(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3 ---------------------------------------- (89) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (90) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> 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c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> 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MARK(U21(x(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U21(and(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U21(isNat(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(isNat(z0)), x1, x2)), U21'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U21(x0, x1, x2)) -> c41(U21'(mark(x0), x1, x2)) MARK(s(U11(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(U11(mark(z0), z1)))), S(mark(U11(z0, z1))), MARK(U11(z0, z1))) MARK(s(tt)) -> c42(ACTIVE(s(active(tt))), S(mark(tt)), MARK(tt)) MARK(s(U21(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U21(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(s(s(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(s(mark(z0))))), S(mark(s(z0))), MARK(s(z0))) MARK(s(plus(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(s(U31(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(U31(mark(z0))))), S(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(s(0)) -> c42(ACTIVE(s(active(0))), S(mark(0)), MARK(0)) MARK(s(U41(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(s(x(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(x(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(s(and(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(and(mark(z0), z1)))), S(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(s(isNat(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(isNat(z0)))), S(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(s(z0)) -> c42(S(mark(z0)), MARK(z0)) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U41(z0, z1, 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isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 MARK(U11(z0, z1)) -> c39(ACTIVE(U11(z0, z1)), U11'(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(U11(U11(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U11(tt, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(tt), x1)), U11'(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(U11(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U11(s(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(s(mark(z0))), x1)), U11'(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(U11(plus(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U11(U31(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U31(mark(z0))), x1)), U11'(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(U11(0, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(0), x1)), U11'(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(U11(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U11(x(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(U11(and(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(and(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(U11(isNat(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(isNat(z0)), x1)), U11'(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(U11(x0, x1)) -> c39(U11'(mark(x0), x1)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(z0, z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U21(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), 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U21'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U21(and(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U21(isNat(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(isNat(z0)), x1, x2)), U21'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U21(x0, x1, x2)) -> c41(U21'(mark(x0), x1, x2)) MARK(s(U11(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(U11(mark(z0), z1)))), S(mark(U11(z0, z1))), MARK(U11(z0, z1))) MARK(s(tt)) -> c42(ACTIVE(s(active(tt))), S(mark(tt)), MARK(tt)) MARK(s(U21(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U21(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(s(s(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(s(mark(z0))))), S(mark(s(z0))), MARK(s(z0))) MARK(s(plus(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(s(U31(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(U31(mark(z0))))), S(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(s(0)) -> c42(ACTIVE(s(active(0))), S(mark(0)), MARK(0)) MARK(s(U41(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(s(x(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(x(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(s(and(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(and(mark(z0), z1)))), S(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(s(isNat(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(isNat(z0)))), S(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(s(z0)) -> c42(S(mark(z0)), MARK(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c43_4, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2 ---------------------------------------- (91) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(plus(z0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(z0), mark(z1))), PLUS(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) by MARK(plus(z0, x1)) -> c43(ACTIVE(plus(z0, mark(x1))), PLUS(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(plus(x0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), z1)), PLUS(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(plus(x0, U11(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), PLUS(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, 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---------------------------------------- (92) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) 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U11'(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(U11(0, x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(0), x1)), U11'(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(U11(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), U11'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U11(x(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), U11'(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(U11(and(z0, z1), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(and(mark(z0), z1)), x1)), U11'(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(U11(isNat(z0), x1)) -> c39(ACTIVE(U11(active(isNat(z0)), x1)), U11'(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(U11(x0, x1)) -> c39(U11'(mark(x0), x1)) MARK(U21(z0, z1, z2)) -> c41(ACTIVE(U21(z0, z1, z2)), U21'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U21(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U21(tt, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(tt), x1, x2)), U21'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U21(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U21(s(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U21(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U21(U31(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U21'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U21(0, x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(0), x1, x2)), U21'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U21(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U21'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U21(x(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U21'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U21(and(z0, z1), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U21'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U21(isNat(z0), x1, x2)) -> c41(ACTIVE(U21(active(isNat(z0)), x1, x2)), U21'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U21(x0, x1, x2)) -> c41(U21'(mark(x0), x1, x2)) MARK(s(U11(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(U11(mark(z0), z1)))), S(mark(U11(z0, z1))), MARK(U11(z0, z1))) MARK(s(tt)) -> c42(ACTIVE(s(active(tt))), S(mark(tt)), MARK(tt)) MARK(s(U21(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U21(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(s(s(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(s(mark(z0))))), S(mark(s(z0))), MARK(s(z0))) MARK(s(plus(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(s(U31(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(U31(mark(z0))))), S(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(s(0)) -> c42(ACTIVE(s(active(0))), S(mark(0)), MARK(0)) MARK(s(U41(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(s(x(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(x(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(s(and(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(and(mark(z0), z1)))), S(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(s(isNat(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(isNat(z0)))), S(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(s(z0)) -> c42(S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, x1)) -> c43(ACTIVE(plus(z0, mark(x1))), PLUS(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(plus(x0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), z1)), PLUS(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(plus(x0, U11(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), PLUS(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(plus(x0, tt)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(tt))), PLUS(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(plus(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), PLUS(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(plus(x0, s(z0))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(s(mark(z0))))), PLUS(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(plus(x0, plus(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), PLUS(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(plus(x0, U31(z0))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), PLUS(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(plus(x0, 0)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(0))), PLUS(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(plus(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), PLUS(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(plus(x0, x(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), PLUS(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(plus(x0, and(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), PLUS(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(plus(x0, isNat(z0))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(isNat(z0)))), PLUS(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(plus(U11(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), PLUS(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(tt, x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(tt), mark(x1))), PLUS(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(plus(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), PLUS(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(plus(s(z0), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(s(mark(z0))), mark(x1))), PLUS(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(plus(plus(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), PLUS(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(U31(z0), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), PLUS(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(plus(0, x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(0), mark(x1))), PLUS(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(plus(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), PLUS(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(plus(x(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), PLUS(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(and(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), PLUS(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(isNat(z0), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(isNat(z0)), mark(x1))), PLUS(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c44_3, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4 ---------------------------------------- (93) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(mark(z0))), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) by MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(z0)), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U31(U11(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U11(mark(z0), z1)))), U31'(mark(U11(z0, z1))), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U31(tt)) -> c44(ACTIVE(U31(active(tt))), U31'(mark(tt)), MARK(tt)) MARK(U31(U21(z0, z1, z2))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U21(mark(z0), z1, z2)))), U31'(mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U31(s(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(s(mark(z0))))), U31'(mark(s(z0))), MARK(s(z0))) MARK(U31(plus(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), U31'(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U31(U31(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U31(mark(z0))))), U31'(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(U31(0)) -> c44(ACTIVE(U31(active(0))), U31'(mark(0)), MARK(0)) MARK(U31(U41(z0, z1, z2))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), U31'(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U31(x(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(x(mark(z0), mark(z1))))), U31'(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(U31(and(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(and(mark(z0), z1)))), U31'(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(U31(isNat(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(isNat(z0)))), U31'(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) ---------------------------------------- (94) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> 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c43(ACTIVE(plus(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), PLUS(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(plus(0, x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(0), mark(x1))), PLUS(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(plus(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), PLUS(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(plus(x(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), PLUS(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(and(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), PLUS(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(isNat(z0), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(isNat(z0)), mark(x1))), PLUS(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(U31(z0)) -> c44(ACTIVE(U31(z0)), U31'(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(U31(U11(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U11(mark(z0), z1)))), U31'(mark(U11(z0, z1))), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U31(tt)) -> c44(ACTIVE(U31(active(tt))), U31'(mark(tt)), MARK(tt)) MARK(U31(U21(z0, z1, z2))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U21(mark(z0), z1, z2)))), U31'(mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U31(s(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(s(mark(z0))))), U31'(mark(s(z0))), MARK(s(z0))) MARK(U31(plus(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), U31'(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U31(U31(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U31(mark(z0))))), U31'(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(U31(0)) -> c44(ACTIVE(U31(active(0))), U31'(mark(0)), MARK(0)) MARK(U31(U41(z0, z1, z2))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), U31'(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U31(x(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(x(mark(z0), mark(z1))))), U31'(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(U31(and(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(and(mark(z0), z1)))), U31'(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(U31(isNat(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(isNat(z0)))), U31'(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c46_3, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3 ---------------------------------------- (95) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(mark(z0), z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) by MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(z0, z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U41(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U41(tt, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(tt), x1, x2)), U41'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U41(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U41(s(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U41(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U41(U31(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U41(0, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(0), x1, x2)), U41'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U41(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U41(x(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U41(and(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U41(isNat(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) ---------------------------------------- (96) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> 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ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) 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MARK(U31(isNat(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(isNat(z0)))), U31'(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(z0, z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U41(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U41(tt, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(tt), x1, x2)), U41'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U41(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U41(s(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U41(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U41(U31(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U41(0, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(0), x1, x2)), U41'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U41(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U41(x(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U41(and(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U41(isNat(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c47_4, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1 ---------------------------------------- (97) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(x(z0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(z0), mark(z1))), X(mark(z0), mark(z1)), MARK(z0), MARK(z1)) by MARK(x(z0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(z0, mark(x1))), X(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(x(x0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), z1)), X(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(x(x0, and(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(x(x0, isNat(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(isNat(z0)))), X(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(x(U11(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(tt, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) ---------------------------------------- (98) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) 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ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) 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c42(ACTIVE(s(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(s(U31(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(U31(mark(z0))))), S(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(s(0)) -> c42(ACTIVE(s(active(0))), S(mark(0)), MARK(0)) MARK(s(U41(z0, z1, z2))) -> c42(ACTIVE(s(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), S(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(s(x(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(x(mark(z0), mark(z1))))), S(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(s(and(z0, z1))) -> c42(ACTIVE(s(active(and(mark(z0), z1)))), S(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(s(isNat(z0))) -> c42(ACTIVE(s(active(isNat(z0)))), S(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(s(z0)) -> c42(S(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(plus(z0, x1)) -> c43(ACTIVE(plus(z0, mark(x1))), PLUS(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(plus(x0, z1)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), z1)), PLUS(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(plus(x0, U11(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), PLUS(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(plus(x0, tt)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(tt))), PLUS(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(plus(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), PLUS(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(plus(x0, s(z0))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(s(mark(z0))))), PLUS(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(plus(x0, plus(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), PLUS(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(plus(x0, U31(z0))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), PLUS(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(plus(x0, 0)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(0))), PLUS(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(plus(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), PLUS(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), 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MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(plus(plus(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), PLUS(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(U31(z0), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), PLUS(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(plus(0, x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(0), mark(x1))), PLUS(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(plus(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), PLUS(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(plus(x(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), PLUS(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(and(z0, z1), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), PLUS(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(plus(isNat(z0), x1)) -> c43(ACTIVE(plus(active(isNat(z0)), mark(x1))), PLUS(mark(isNat(z0)), mark(x1)), 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U31'(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(U31(and(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(and(mark(z0), z1)))), U31'(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(U31(isNat(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(isNat(z0)))), U31'(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(z0, z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U41(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U41(tt, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(tt), x1, x2)), U41'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U41(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U41(s(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U41(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U41(U31(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U41(0, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(0), x1, x2)), U41'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U41(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U41(x(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U41(and(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U41(isNat(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) MARK(x(z0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(z0, mark(x1))), X(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(x(x0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), z1)), X(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(x(x0, and(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(x(x0, isNat(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(isNat(z0)))), X(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(x(U11(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(tt, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c48_3, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4 ---------------------------------------- (99) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(mark(z0), z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) by MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) ---------------------------------------- (100) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), 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U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> 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ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> 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ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, 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c44(ACTIVE(U31(active(U21(mark(z0), z1, z2)))), U31'(mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U31(s(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(s(mark(z0))))), U31'(mark(s(z0))), MARK(s(z0))) MARK(U31(plus(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(plus(mark(z0), mark(z1))))), U31'(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U31(U31(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U31(mark(z0))))), U31'(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(U31(0)) -> c44(ACTIVE(U31(active(0))), U31'(mark(0)), MARK(0)) MARK(U31(U41(z0, z1, z2))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), U31'(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U31(x(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(x(mark(z0), mark(z1))))), U31'(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(U31(and(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(and(mark(z0), z1)))), U31'(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(U31(isNat(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(isNat(z0)))), U31'(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(z0, z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U41(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U41(tt, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(tt), x1, x2)), U41'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U41(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U41(s(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U41(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U41(U31(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U41(0, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(0), x1, x2)), U41'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U41(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U41(x(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U41(and(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U41(isNat(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) MARK(x(z0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(z0, mark(x1))), X(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(x(x0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), z1)), X(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(x(x0, and(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(x(x0, isNat(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(isNat(z0)))), X(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(x(U11(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(tt, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (101) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_ACTIVE(z0) -> c(ACTIVE(encArg(z0))) by ENCODE_ACTIVE(tt) -> c(ACTIVE(tt)) ENCODE_ACTIVE(0) -> c(ACTIVE(0)) ENCODE_ACTIVE(cons_active(z0)) -> c(ACTIVE(active(encArg(z0)))) ENCODE_ACTIVE(cons_mark(z0)) -> c(ACTIVE(mark(encArg(z0)))) ENCODE_ACTIVE(cons_U11(z0, z1)) -> c(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_ACTIVE(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_ACTIVE(cons_s(z0)) -> c(ACTIVE(s(encArg(z0)))) ENCODE_ACTIVE(cons_plus(z0, z1)) -> c(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_ACTIVE(cons_U31(z0)) -> c(ACTIVE(U31(encArg(z0)))) ENCODE_ACTIVE(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_ACTIVE(cons_x(z0, z1)) -> c(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_ACTIVE(cons_and(z0, z1)) -> c(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_ACTIVE(cons_isNat(z0)) -> c(ACTIVE(isNat(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (102) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) 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Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) 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MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(x(x0, and(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(x(x0, isNat(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(isNat(z0)))), X(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(x(U11(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(tt, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (103) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCODE_ACTIVE(tt) -> c(ACTIVE(tt)) ENCODE_ACTIVE(0) -> c(ACTIVE(0)) ---------------------------------------- (104) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> 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U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (105) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_U11(z0, z1) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1))) by ENCODE_U11(x0, tt) -> c(U11'(encArg(x0), tt)) ENCODE_U11(x0, 0) -> c(U11'(encArg(x0), 0)) ENCODE_U11(x0, cons_active(z0)) -> c(U11'(encArg(x0), active(encArg(z0)))) ENCODE_U11(x0, cons_mark(z0)) -> c(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0)))) ENCODE_U11(x0, cons_U11(z0, z1)) -> c(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U11(x0, cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(U11'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_U11(x0, cons_s(z0)) -> c(U11'(encArg(x0), s(encArg(z0)))) ENCODE_U11(x0, cons_plus(z0, z1)) -> c(U11'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U11(x0, cons_U31(z0)) -> c(U11'(encArg(x0), U31(encArg(z0)))) ENCODE_U11(x0, cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(U11'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_U11(x0, cons_x(z0, z1)) -> c(U11'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U11(x0, cons_and(z0, z1)) -> c(U11'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U11(x0, cons_isNat(z0)) -> c(U11'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)))) ENCODE_U11(tt, x1) -> c(U11'(tt, encArg(x1))) ENCODE_U11(0, x1) -> c(U11'(0, encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_active(z0), x1) -> c(U11'(active(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_mark(z0), x1) -> c(U11'(mark(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_U11(z0, z1), x1) -> c(U11'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_U21(z0, z1, z2), x1) -> c(U11'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_s(z0), x1) -> c(U11'(s(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_plus(z0, z1), x1) -> c(U11'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_U31(z0), x1) -> c(U11'(U31(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_U41(z0, z1, z2), x1) -> c(U11'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_x(z0, z1), x1) -> c(U11'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_and(z0, z1), x1) -> c(U11'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_U11(cons_isNat(z0), x1) -> c(U11'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1))) ---------------------------------------- (106) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> 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z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (107) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_MARK(z0) -> c(MARK(encArg(z0))) by ENCODE_MARK(tt) -> c(MARK(tt)) ENCODE_MARK(0) -> c(MARK(0)) ENCODE_MARK(cons_active(z0)) -> c(MARK(active(encArg(z0)))) ENCODE_MARK(cons_mark(z0)) -> c(MARK(mark(encArg(z0)))) ENCODE_MARK(cons_U11(z0, z1)) -> c(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_MARK(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_MARK(cons_s(z0)) -> c(MARK(s(encArg(z0)))) ENCODE_MARK(cons_plus(z0, z1)) -> c(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_MARK(cons_U31(z0)) -> c(MARK(U31(encArg(z0)))) ENCODE_MARK(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_MARK(cons_x(z0, z1)) -> c(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_MARK(cons_and(z0, z1)) -> c(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_MARK(cons_isNat(z0)) -> c(MARK(isNat(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (108) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt)) 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and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (109) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_MARK(tt) -> c(MARK(tt)) ENCODE_MARK(0) -> c(MARK(0)) ---------------------------------------- (110) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, 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isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), 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c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) 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c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (111) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_U21(z0, z1, z2) -> c(U21'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) by ENCODE_U21(x0, x1, tt) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), tt)) ENCODE_U21(x0, x1, 0) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), 0)) ENCODE_U21(x0, x1, cons_active(z0)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), active(encArg(z0)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_mark(z0)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), mark(encArg(z0)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_U11(z0, z1)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_s(z0)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), s(encArg(z0)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_plus(z0, z1)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_U31(z0)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U31(encArg(z0)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_x(z0, z1)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_and(z0, z1)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U21(x0, x1, cons_isNat(z0)) -> c(U21'(encArg(x0), encArg(x1), isNat(encArg(z0)))) ENCODE_U21(x0, tt, x2) -> c(U21'(encArg(x0), tt, encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, 0, x2) -> c(U21'(encArg(x0), 0, encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_active(z0), x2) -> c(U21'(encArg(x0), active(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_mark(z0), x2) -> c(U21'(encArg(x0), mark(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_U11(z0, z1), x2) -> c(U21'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_U21(z0, z1, z2), x2) -> c(U21'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_s(z0), x2) -> c(U21'(encArg(x0), s(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_plus(z0, z1), x2) -> c(U21'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_U31(z0), x2) -> c(U21'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2) -> c(U21'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_x(z0, z1), x2) -> c(U21'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_and(z0, z1), x2) -> c(U21'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))) ENCODE_U21(x0, cons_isNat(z0), x2) -> c(U21'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U21(tt, x1, x2) -> c(U21'(tt, encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(0, x1, x2) -> c(U21'(0, encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_active(z0), x1, x2) -> c(U21'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_mark(z0), x1, x2) -> c(U21'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_U11(z0, z1), x1, x2) -> c(U21'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2) -> c(U21'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_s(z0), x1, x2) -> c(U21'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_plus(z0, z1), x1, x2) -> c(U21'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_U31(z0), x1, x2) -> c(U21'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2) -> c(U21'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_x(z0, z1), x1, x2) -> c(U21'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_and(z0, z1), x1, x2) -> c(U21'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U21(cons_isNat(z0), x1, x2) -> c(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ---------------------------------------- (112) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) 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-> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> c3(MARK(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_isNat(z0))) -> c3(MARK(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(tt)) -> c3(MARK(tt)) ENCARG(cons_mark(0)) -> c3(MARK(0)) ENCARG(cons_U11(x0, cons_active(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), active(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_mark(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) 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c(U21'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) S tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) 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U31'(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(z0, z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U41(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U41(tt, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(tt), x1, x2)), U41'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U41(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U41(s(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U41(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U41(U31(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U41(0, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(0), x1, x2)), U41'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U41(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U41(x(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U41(and(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U41(isNat(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) MARK(x(z0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(z0, mark(x1))), X(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(x(x0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), z1)), X(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(x(x0, and(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(x(x0, isNat(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(isNat(z0)))), X(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(x(U11(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(tt, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (113) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_S(z0) -> c(S(encArg(z0))) by ENCODE_S(tt) -> c(S(tt)) ENCODE_S(0) -> c(S(0)) ENCODE_S(cons_active(z0)) -> c(S(active(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_mark(z0)) -> c(S(mark(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_U11(z0, z1)) -> c(S(U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_S(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(S(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_plus(z0, z1)) -> c(S(plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_S(cons_U31(z0)) -> c(S(U31(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(S(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_S(cons_x(z0, z1)) -> c(S(x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_S(cons_and(z0, z1)) -> c(S(and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_S(cons_isNat(z0)) -> c(S(isNat(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (114) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> 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c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(tt))), PLUS(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(plus(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), PLUS(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(plus(x0, s(z0))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(s(mark(z0))))), PLUS(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(plus(x0, plus(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), PLUS(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(plus(x0, U31(z0))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), PLUS(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(plus(x0, 0)) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(0))), PLUS(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(plus(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), PLUS(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(plus(x0, x(z0, z1))) -> c43(ACTIVE(plus(mark(x0), 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z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (117) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) by ENCODE_PLUS(x0, tt) -> c(PLUS(encArg(x0), tt)) ENCODE_PLUS(x0, 0) -> c(PLUS(encArg(x0), 0)) ENCODE_PLUS(x0, cons_active(z0)) -> c(PLUS(encArg(x0), active(encArg(z0)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_mark(z0)) -> c(PLUS(encArg(x0), mark(encArg(z0)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_U11(z0, z1)) -> c(PLUS(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(PLUS(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_s(z0)) -> c(PLUS(encArg(x0), s(encArg(z0)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_plus(z0, z1)) -> c(PLUS(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_U31(z0)) -> c(PLUS(encArg(x0), U31(encArg(z0)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(PLUS(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_x(z0, z1)) -> c(PLUS(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_and(z0, z1)) -> c(PLUS(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_PLUS(x0, cons_isNat(z0)) -> c(PLUS(encArg(x0), isNat(encArg(z0)))) ENCODE_PLUS(tt, x1) -> c(PLUS(tt, encArg(x1))) ENCODE_PLUS(0, x1) -> c(PLUS(0, encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_active(z0), x1) -> c(PLUS(active(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_mark(z0), x1) -> c(PLUS(mark(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_U11(z0, z1), x1) -> c(PLUS(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_U21(z0, z1, z2), x1) -> c(PLUS(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_s(z0), x1) -> c(PLUS(s(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_plus(z0, z1), x1) -> c(PLUS(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_U31(z0), x1) -> c(PLUS(U31(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_U41(z0, z1, z2), x1) -> c(PLUS(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_x(z0, z1), x1) -> c(PLUS(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_and(z0, z1), x1) -> c(PLUS(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_PLUS(cons_isNat(z0), x1) -> c(PLUS(isNat(encArg(z0)), encArg(x1))) ---------------------------------------- (118) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> 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U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> c3(MARK(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_and(z0, z1))) -> 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MARK(U41(U31(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U41(0, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(0), x1, x2)), U41'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U41(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U41(x(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U41(and(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U41(isNat(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) MARK(x(z0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(z0, mark(x1))), X(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(x(x0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), z1)), X(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(x(x0, and(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(x(x0, isNat(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(isNat(z0)))), X(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(x(U11(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(tt, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (119) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_U31(z0) -> c(U31'(encArg(z0))) by ENCODE_U31(tt) -> c(U31'(tt)) ENCODE_U31(0) -> c(U31'(0)) ENCODE_U31(cons_active(z0)) -> c(U31'(active(encArg(z0)))) ENCODE_U31(cons_mark(z0)) -> c(U31'(mark(encArg(z0)))) ENCODE_U31(cons_U11(z0, z1)) -> c(U31'(U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U31(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(U31'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_U31(cons_s(z0)) -> c(U31'(s(encArg(z0)))) ENCODE_U31(cons_plus(z0, z1)) -> c(U31'(plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U31(cons_U31(z0)) -> c(U31'(U31(encArg(z0)))) ENCODE_U31(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(U31'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_U31(cons_x(z0, z1)) -> c(U31'(x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U31(cons_and(z0, z1)) -> c(U31'(and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U31(cons_isNat(z0)) -> c(U31'(isNat(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (120) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), 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mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (121) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCODE_U31(tt) -> c(U31'(tt)) ENCODE_U31(0) -> c(U31'(0)) ---------------------------------------- (122) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), 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ENCARG(x0), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_mark(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), mark(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U11(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U21(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_s(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), s(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_plus(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U31(z0))) -> c4(U11'(encArg(x0), U31(encArg(z0))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_U41(z0, z1, z2))) -> c4(U11'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_U11(x0, cons_x(z0, z1))) -> c4(U11'(encArg(x0), x(encArg(z0), 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c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (123) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_U41(z0, z1, z2) -> c(U41'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) by ENCODE_U41(x0, x1, tt) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), tt)) ENCODE_U41(x0, x1, 0) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), 0)) ENCODE_U41(x0, x1, cons_active(z0)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), active(encArg(z0)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_mark(z0)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), mark(encArg(z0)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_U11(z0, z1)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_s(z0)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), s(encArg(z0)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_plus(z0, z1)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_U31(z0)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), U31(encArg(z0)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_x(z0, z1)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_and(z0, z1)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_U41(x0, x1, cons_isNat(z0)) -> c(U41'(encArg(x0), encArg(x1), isNat(encArg(z0)))) ENCODE_U41(x0, tt, x2) -> c(U41'(encArg(x0), tt, encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, 0, x2) -> c(U41'(encArg(x0), 0, encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_active(z0), x2) -> c(U41'(encArg(x0), active(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_mark(z0), x2) -> c(U41'(encArg(x0), mark(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_U11(z0, z1), x2) -> c(U41'(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_U21(z0, z1, z2), x2) -> c(U41'(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_s(z0), x2) -> c(U41'(encArg(x0), s(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_plus(z0, z1), x2) -> c(U41'(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_U31(z0), x2) -> c(U41'(encArg(x0), U31(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_U41(z0, z1, z2), x2) -> c(U41'(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_x(z0, z1), x2) -> c(U41'(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_and(z0, z1), x2) -> c(U41'(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))) ENCODE_U41(x0, cons_isNat(z0), x2) -> c(U41'(encArg(x0), isNat(encArg(z0)), encArg(x2))) ENCODE_U41(tt, x1, x2) -> c(U41'(tt, encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(0, x1, x2) -> c(U41'(0, encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_active(z0), x1, x2) -> c(U41'(active(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_mark(z0), x1, x2) -> c(U41'(mark(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_U11(z0, z1), x1, x2) -> c(U41'(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_U21(z0, z1, z2), x1, x2) -> c(U41'(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_s(z0), x1, x2) -> c(U41'(s(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_plus(z0, z1), x1, x2) -> c(U41'(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_U31(z0), x1, x2) -> c(U41'(U31(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_U41(z0, z1, z2), x1, x2) -> c(U41'(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_x(z0, z1), x1, x2) -> c(U41'(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_and(z0, z1), x1, x2) -> c(U41'(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1), encArg(x2))) ENCODE_U41(cons_isNat(z0), x1, x2) -> c(U41'(isNat(encArg(z0)), encArg(x1), encArg(x2))) ---------------------------------------- (124) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), 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c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (125) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_X(z0, z1) -> c(X(encArg(z0), encArg(z1))) by ENCODE_X(x0, tt) -> c(X(encArg(x0), tt)) ENCODE_X(x0, 0) -> c(X(encArg(x0), 0)) ENCODE_X(x0, cons_active(z0)) -> c(X(encArg(x0), active(encArg(z0)))) ENCODE_X(x0, cons_mark(z0)) -> c(X(encArg(x0), mark(encArg(z0)))) ENCODE_X(x0, cons_U11(z0, z1)) -> c(X(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_X(x0, cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(X(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_X(x0, cons_s(z0)) -> c(X(encArg(x0), s(encArg(z0)))) ENCODE_X(x0, cons_plus(z0, z1)) -> c(X(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_X(x0, cons_U31(z0)) -> c(X(encArg(x0), U31(encArg(z0)))) ENCODE_X(x0, cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(X(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_X(x0, cons_x(z0, z1)) -> c(X(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_X(x0, cons_and(z0, z1)) -> c(X(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_X(x0, cons_isNat(z0)) -> c(X(encArg(x0), isNat(encArg(z0)))) ENCODE_X(tt, x1) -> c(X(tt, encArg(x1))) ENCODE_X(0, x1) -> c(X(0, encArg(x1))) ENCODE_X(cons_active(z0), x1) -> c(X(active(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_mark(z0), x1) -> c(X(mark(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_U11(z0, z1), x1) -> c(X(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_U21(z0, z1, z2), x1) -> c(X(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_s(z0), x1) -> c(X(s(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_plus(z0, z1), x1) -> c(X(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_U31(z0), x1) -> c(X(U31(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_U41(z0, z1, z2), x1) -> c(X(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_x(z0, z1), x1) -> c(X(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_and(z0, z1), x1) -> c(X(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_X(cons_isNat(z0), x1) -> c(X(isNat(encArg(z0)), encArg(x1))) ---------------------------------------- (126) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(x(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_x(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(and(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_and(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0))) -> c2(ACTIVE(isNat(encArg(z0))), ENCARG(cons_isNat(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_active(z0))) -> c3(MARK(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_mark(z0))) -> c3(MARK(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U11(z0, z1))) -> c3(MARK(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_s(z0))) -> c3(MARK(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_plus(z0, z1))) -> c3(MARK(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_mark(cons_U31(z0))) -> c3(MARK(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_mark(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c3(MARK(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_mark(cons_x(z0, z1))) -> 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x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) MARK(x(z0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(z0, mark(x1))), X(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(x(x0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), z1)), X(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(x(x0, and(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(x(x0, isNat(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(isNat(z0)))), X(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(x(U11(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(tt, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (127) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_AND(z0, z1) -> c(AND(encArg(z0), encArg(z1))) by ENCODE_AND(x0, tt) -> c(AND(encArg(x0), tt)) ENCODE_AND(x0, 0) -> c(AND(encArg(x0), 0)) ENCODE_AND(x0, cons_active(z0)) -> c(AND(encArg(x0), active(encArg(z0)))) ENCODE_AND(x0, cons_mark(z0)) -> c(AND(encArg(x0), mark(encArg(z0)))) ENCODE_AND(x0, cons_U11(z0, z1)) -> c(AND(encArg(x0), U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_AND(x0, cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(AND(encArg(x0), U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_AND(x0, cons_s(z0)) -> c(AND(encArg(x0), s(encArg(z0)))) ENCODE_AND(x0, cons_plus(z0, z1)) -> c(AND(encArg(x0), plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_AND(x0, cons_U31(z0)) -> c(AND(encArg(x0), U31(encArg(z0)))) ENCODE_AND(x0, cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(AND(encArg(x0), U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_AND(x0, cons_x(z0, z1)) -> c(AND(encArg(x0), x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_AND(x0, cons_and(z0, z1)) -> c(AND(encArg(x0), and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_AND(x0, cons_isNat(z0)) -> c(AND(encArg(x0), isNat(encArg(z0)))) ENCODE_AND(tt, x1) -> c(AND(tt, encArg(x1))) ENCODE_AND(0, x1) -> c(AND(0, encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_active(z0), x1) -> c(AND(active(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_mark(z0), x1) -> c(AND(mark(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_U11(z0, z1), x1) -> c(AND(U11(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_U21(z0, z1, z2), x1) -> c(AND(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_s(z0), x1) -> c(AND(s(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_plus(z0, z1), x1) -> c(AND(plus(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_U31(z0), x1) -> c(AND(U31(encArg(z0)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_U41(z0, z1, z2), x1) -> c(AND(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_x(z0, z1), x1) -> c(AND(x(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_and(z0, z1), x1) -> c(AND(and(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCODE_AND(cons_isNat(z0), x1) -> c(AND(isNat(encArg(z0)), encArg(x1))) ---------------------------------------- (128) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 MARK(0) -> c45 ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) ENCARG(cons_active(cons_mark(z0))) -> c2(ACTIVE(mark(encArg(z0))), ENCARG(cons_mark(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(U11(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_U11(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U21(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_s(z0))) -> c2(ACTIVE(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1))) -> c2(ACTIVE(plus(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_plus(z0, z1))) ENCARG(cons_active(cons_U31(z0))) -> c2(ACTIVE(U31(encArg(z0))), ENCARG(cons_U31(z0))) ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2))) -> c2(ACTIVE(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))), ENCARG(cons_U41(z0, z1, z2))) ENCARG(cons_active(cons_x(z0, 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U31'(mark(plus(z0, z1))), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U31(U31(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U31(mark(z0))))), U31'(mark(U31(z0))), MARK(U31(z0))) MARK(U31(0)) -> c44(ACTIVE(U31(active(0))), U31'(mark(0)), MARK(0)) MARK(U31(U41(z0, z1, z2))) -> c44(ACTIVE(U31(active(U41(mark(z0), z1, z2)))), U31'(mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U31(x(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(x(mark(z0), mark(z1))))), U31'(mark(x(z0, z1))), MARK(x(z0, z1))) MARK(U31(and(z0, z1))) -> c44(ACTIVE(U31(active(and(mark(z0), z1)))), U31'(mark(and(z0, z1))), MARK(and(z0, z1))) MARK(U31(isNat(z0))) -> c44(ACTIVE(U31(active(isNat(z0)))), U31'(mark(isNat(z0))), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(z0, z1, z2)) -> c46(ACTIVE(U41(z0, z1, z2)), U41'(mark(z0), z1, z2), MARK(z0)) MARK(U41(U11(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U11(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(U11(z0, z1)), x1, x2), MARK(U11(z0, z1))) MARK(U41(tt, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(tt), x1, x2)), U41'(mark(tt), x1, x2), MARK(tt)) MARK(U41(U21(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U21(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(U41(s(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(s(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(s(z0)), x1, x2), MARK(s(z0))) MARK(U41(plus(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(plus(z0, z1)), x1, x2), MARK(plus(z0, z1))) MARK(U41(U31(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U31(mark(z0))), x1, x2)), U41'(mark(U31(z0)), x1, x2), MARK(U31(z0))) MARK(U41(0, x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(0), x1, x2)), U41'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U41(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U41(x(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U41(and(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U41(isNat(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) MARK(x(z0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(z0, mark(x1))), X(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(x(x0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), z1)), X(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(x(z0, z1))), MARK(x0), MARK(x(z0, z1))) MARK(x(x0, and(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(and(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(and(z0, z1))), MARK(x0), MARK(and(z0, z1))) MARK(x(x0, isNat(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(isNat(z0)))), X(mark(x0), mark(isNat(z0))), MARK(x0), MARK(isNat(z0))) MARK(x(U11(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U11(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(U11(z0, z1)), mark(x1)), MARK(U11(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(tt, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(tt), mark(x1))), X(mark(tt), mark(x1)), MARK(tt), MARK(x1)) MARK(x(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U21(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U21(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U21(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(s(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(s(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCODE_ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c_1, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1 ---------------------------------------- (129) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_ISNAT(z0) -> c(ISNAT(encArg(z0))) by ENCODE_ISNAT(tt) -> c(ISNAT(tt)) ENCODE_ISNAT(0) -> c(ISNAT(0)) ENCODE_ISNAT(cons_active(z0)) -> c(ISNAT(active(encArg(z0)))) ENCODE_ISNAT(cons_mark(z0)) -> c(ISNAT(mark(encArg(z0)))) ENCODE_ISNAT(cons_U11(z0, z1)) -> c(ISNAT(U11(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_ISNAT(cons_U21(z0, z1, z2)) -> c(ISNAT(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_ISNAT(cons_s(z0)) -> c(ISNAT(s(encArg(z0)))) ENCODE_ISNAT(cons_plus(z0, z1)) -> c(ISNAT(plus(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_ISNAT(cons_U31(z0)) -> c(ISNAT(U31(encArg(z0)))) ENCODE_ISNAT(cons_U41(z0, z1, z2)) -> c(ISNAT(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))) ENCODE_ISNAT(cons_x(z0, z1)) -> c(ISNAT(x(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_ISNAT(cons_and(z0, z1)) -> c(ISNAT(and(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_ISNAT(cons_isNat(z0)) -> c(ISNAT(isNat(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (130) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(isNat(s(z0))) -> mark(isNat(z0)) active(isNat(x(z0, z1))) -> mark(and(isNat(z0), isNat(z1))) active(plus(z0, 0)) -> mark(U11(isNat(z0), z0)) active(plus(z0, s(z1))) -> mark(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) active(x(z0, 0)) -> mark(U31(isNat(z0))) active(x(z0, s(z1))) -> mark(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)) mark(U11(z0, z1)) -> active(U11(mark(z0), z1)) mark(tt) -> active(tt) mark(U21(z0, z1, z2)) -> active(U21(mark(z0), z1, z2)) mark(s(z0)) -> active(s(mark(z0))) mark(plus(z0, z1)) -> active(plus(mark(z0), mark(z1))) mark(U31(z0)) -> active(U31(mark(z0))) mark(0) -> active(0) mark(U41(z0, z1, z2)) -> active(U41(mark(z0), z1, z2)) mark(x(z0, z1)) -> active(x(mark(z0), mark(z1))) mark(and(z0, z1)) -> active(and(mark(z0), z1)) mark(isNat(z0)) -> active(isNat(z0)) U11(mark(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, mark(z1)) -> U11(z0, z1) U11(active(z0), z1) -> U11(z0, z1) U11(z0, active(z1)) -> U11(z0, z1) U21(mark(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, mark(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, mark(z2)) -> U21(z0, z1, z2) U21(active(z0), z1, z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, active(z1), z2) -> U21(z0, z1, z2) U21(z0, z1, active(z2)) -> U21(z0, z1, z2) s(mark(z0)) -> s(z0) s(active(z0)) -> s(z0) plus(mark(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, mark(z1)) -> plus(z0, z1) plus(active(z0), z1) -> plus(z0, z1) plus(z0, active(z1)) -> plus(z0, z1) U31(mark(z0)) -> U31(z0) U31(active(z0)) -> U31(z0) U41(mark(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, mark(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, mark(z2)) -> U41(z0, z1, z2) U41(active(z0), z1, z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, active(z1), z2) -> U41(z0, z1, z2) U41(z0, z1, active(z2)) -> U41(z0, z1, z2) x(mark(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, mark(z1)) -> x(z0, z1) x(active(z0), z1) -> x(z0, z1) x(z0, active(z1)) -> x(z0, z1) and(mark(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, mark(z1)) -> and(z0, z1) and(active(z0), z1) -> and(z0, z1) and(z0, active(z1)) -> and(z0, z1) isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) U31'(mark(z0)) -> c66(U31'(z0)) U31'(active(z0)) -> c67(U31'(z0)) U41'(mark(z0), z1, z2) -> c68(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, mark(z1), z2) -> c69(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, mark(z2)) -> c70(U41'(z0, z1, z2)) U41'(active(z0), z1, z2) -> c71(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, active(z1), z2) -> c72(U41'(z0, z1, z2)) U41'(z0, z1, active(z2)) -> c73(U41'(z0, z1, z2)) X(mark(z0), z1) -> c74(X(z0, z1)) X(z0, mark(z1)) -> c75(X(z0, z1)) X(active(z0), z1) -> c76(X(z0, z1)) X(z0, active(z1)) -> c77(X(z0, z1)) AND(mark(z0), z1) -> c78(AND(z0, z1)) AND(z0, mark(z1)) -> c79(AND(z0, z1)) AND(active(z0), z1) -> c80(AND(z0, z1)) AND(z0, active(z1)) -> c81(AND(z0, z1)) ISNAT(mark(z0)) -> c82(ISNAT(z0)) ISNAT(active(z0)) -> c83(ISNAT(z0)) ACTIVE(U21(tt, z0, z1)) -> c27(MARK(s(plus(z1, z0))), PLUS(z1, z0)) ACTIVE(U41(tt, z0, z1)) -> c29(MARK(plus(x(z1, z0), z1)), X(z1, z0)) ACTIVE(isNat(plus(z0, z1))) -> c32(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(isNat(x(z0, z1))) -> c34(MARK(and(isNat(z0), isNat(z1))), ISNAT(z0), ISNAT(z1)) ACTIVE(plus(z0, 0)) -> c35(MARK(U11(isNat(z0), z0)), ISNAT(z0)) ACTIVE(plus(z0, s(z1))) -> c36(MARK(U21(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, 0)) -> c37(MARK(U31(isNat(z0))), ISNAT(z0)) ACTIVE(x(z0, s(z1))) -> c38(MARK(U41(and(isNat(z1), isNat(z0)), z1, z0)), ISNAT(z1), ISNAT(z0)) MARK(tt) -> c40 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X(mark(s(z0)), mark(x1)), MARK(s(z0)), MARK(x1)) MARK(x(plus(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(plus(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(plus(z0, z1)), mark(x1)), MARK(plus(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(U31(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(tt), x1)), AND(mark(tt), x1), MARK(tt)) MARK(and(U21(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U21(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U21(z0, z1, z2)), x1), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(and(s(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(s(mark(z0))), x1)), AND(mark(s(z0)), x1), MARK(s(z0))) MARK(and(plus(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(plus(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(plus(z0, z1)), x1), MARK(plus(z0, z1))) MARK(and(U31(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U31(mark(z0))), x1)), AND(mark(U31(z0)), x1), MARK(U31(z0))) MARK(and(0, x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(0), x1)), AND(mark(0), x1), MARK(0)) MARK(and(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1)), AND(mark(U41(z0, z1, z2)), x1), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(and(x(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1)), AND(mark(x(z0, z1)), x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1, c_1 ---------------------------------------- (131) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCODE_ISNAT(tt) -> c(ISNAT(tt)) ENCODE_ISNAT(0) -> c(ISNAT(0)) ---------------------------------------- (132) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> 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c46(ACTIVE(U41(active(0), x1, x2)), U41'(mark(0), x1, x2), MARK(0)) MARK(U41(U41(z0, z1, z2), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(U41(mark(z0), z1, z2)), x1, x2)), U41'(mark(U41(z0, z1, z2)), x1, x2), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(U41(x(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(x(mark(z0), mark(z1))), x1, x2)), U41'(mark(x(z0, z1)), x1, x2), MARK(x(z0, z1))) MARK(U41(and(z0, z1), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(and(mark(z0), z1)), x1, x2)), U41'(mark(and(z0, z1)), x1, x2), MARK(and(z0, z1))) MARK(U41(isNat(z0), x1, x2)) -> c46(ACTIVE(U41(active(isNat(z0)), x1, x2)), U41'(mark(isNat(z0)), x1, x2), MARK(isNat(z0))) MARK(U41(x0, x1, x2)) -> c46(U41'(mark(x0), x1, x2)) MARK(x(z0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(z0, mark(x1))), X(mark(z0), mark(x1)), MARK(z0), MARK(x1)) MARK(x(x0, z1)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), z1)), X(mark(x0), mark(z1)), MARK(x0), MARK(z1)) MARK(x(x0, U11(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U11(mark(z0), z1)))), X(mark(x0), mark(U11(z0, z1))), MARK(x0), MARK(U11(z0, z1))) MARK(x(x0, tt)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(tt))), X(mark(x0), mark(tt)), MARK(x0), MARK(tt)) MARK(x(x0, U21(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U21(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U21(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U21(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, s(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(s(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(s(z0))), MARK(x0), MARK(s(z0))) MARK(x(x0, plus(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(plus(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), mark(plus(z0, z1))), MARK(x0), MARK(plus(z0, z1))) MARK(x(x0, U31(z0))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U31(mark(z0))))), X(mark(x0), mark(U31(z0))), MARK(x0), MARK(U31(z0))) MARK(x(x0, 0)) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(0))), X(mark(x0), mark(0)), MARK(x0), MARK(0)) MARK(x(x0, U41(z0, z1, z2))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(U41(mark(z0), z1, z2)))), X(mark(x0), mark(U41(z0, z1, z2))), MARK(x0), MARK(U41(z0, z1, z2))) MARK(x(x0, x(z0, z1))) -> c47(ACTIVE(x(mark(x0), active(x(mark(z0), mark(z1))))), X(mark(x0), 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-> c47(ACTIVE(x(active(U31(mark(z0))), mark(x1))), X(mark(U31(z0)), mark(x1)), MARK(U31(z0)), MARK(x1)) MARK(x(0, x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(0), mark(x1))), X(mark(0), mark(x1)), MARK(0), MARK(x1)) MARK(x(U41(z0, z1, z2), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(U41(mark(z0), z1, z2)), mark(x1))), X(mark(U41(z0, z1, z2)), mark(x1)), MARK(U41(z0, z1, z2)), MARK(x1)) MARK(x(x(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(x(mark(z0), mark(z1))), mark(x1))), X(mark(x(z0, z1)), mark(x1)), MARK(x(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(and(z0, z1), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(and(mark(z0), z1)), mark(x1))), X(mark(and(z0, z1)), mark(x1)), MARK(and(z0, z1)), MARK(x1)) MARK(x(isNat(z0), x1)) -> c47(ACTIVE(x(active(isNat(z0)), mark(x1))), X(mark(isNat(z0)), mark(x1)), MARK(isNat(z0)), MARK(x1)) MARK(and(z0, z1)) -> c48(ACTIVE(and(z0, z1)), AND(mark(z0), z1), MARK(z0)) MARK(and(U11(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(U11(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(U11(z0, z1)), x1), MARK(U11(z0, z1))) MARK(and(tt, x1)) -> 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MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1, c_1 ---------------------------------------- (133) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_active(cons_active(z0))) -> c2(ACTIVE(active(encArg(z0))), ENCARG(cons_active(z0))) by ENCARG(cons_active(cons_active(tt))) -> c2(ACTIVE(active(tt)), ENCARG(cons_active(tt))) ENCARG(cons_active(cons_active(0))) -> c2(ACTIVE(active(0)), ENCARG(cons_active(0))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_active(z0)))) -> c2(ACTIVE(active(active(encArg(z0)))), ENCARG(cons_active(cons_active(z0)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_mark(z0)))) -> c2(ACTIVE(active(mark(encArg(z0)))), ENCARG(cons_active(cons_mark(z0)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_U11(z0, z1)))) -> c2(ACTIVE(active(U11(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_active(cons_U11(z0, z1)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2)))) -> c2(ACTIVE(active(U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))), ENCARG(cons_active(cons_U21(z0, z1, z2)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_s(z0)))) -> c2(ACTIVE(active(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_active(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_plus(z0, z1)))) -> c2(ACTIVE(active(plus(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_active(cons_plus(z0, z1)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_U31(z0)))) -> c2(ACTIVE(active(U31(encArg(z0)))), ENCARG(cons_active(cons_U31(z0)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2)))) -> c2(ACTIVE(active(U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))), ENCARG(cons_active(cons_U41(z0, z1, z2)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_x(z0, z1)))) -> c2(ACTIVE(active(x(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_active(cons_x(z0, z1)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_and(z0, z1)))) -> c2(ACTIVE(active(and(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(cons_active(cons_and(z0, z1)))) ENCARG(cons_active(cons_active(cons_isNat(z0)))) -> c2(ACTIVE(active(isNat(encArg(z0)))), ENCARG(cons_active(cons_isNat(z0)))) ---------------------------------------- (134) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U31(z0)) -> U31(encArg(z0)) encArg(cons_U41(z0, z1, z2)) -> U41(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_x(z0, z1)) -> x(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_and(z0, z1)) -> and(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_isNat(z0)) -> isNat(encArg(z0)) active(U11(tt, z0)) -> mark(z0) active(U21(tt, z0, z1)) -> mark(s(plus(z1, z0))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, z0, z1)) -> mark(plus(x(z1, z0), z1)) active(and(tt, z0)) -> mark(z0) active(isNat(0)) -> 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isNat(mark(z0)) -> isNat(z0) isNat(active(z0)) -> isNat(z0) Tuples: ACTIVE(U11(tt, z0)) -> c26(MARK(z0)) ACTIVE(U31(tt)) -> c28(MARK(0)) ACTIVE(and(tt, z0)) -> c30(MARK(z0)) ACTIVE(isNat(0)) -> c31(MARK(tt)) ACTIVE(isNat(s(z0))) -> c33(MARK(isNat(z0)), ISNAT(z0)) MARK(isNat(z0)) -> c49(ACTIVE(isNat(z0)), ISNAT(z0)) U11'(mark(z0), z1) -> c50(U11'(z0, z1)) U11'(z0, mark(z1)) -> c51(U11'(z0, z1)) U11'(active(z0), z1) -> c52(U11'(z0, z1)) U11'(z0, active(z1)) -> c53(U11'(z0, z1)) U21'(mark(z0), z1, z2) -> c54(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, mark(z1), z2) -> c55(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, mark(z2)) -> c56(U21'(z0, z1, z2)) U21'(active(z0), z1, z2) -> c57(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, active(z1), z2) -> c58(U21'(z0, z1, z2)) U21'(z0, z1, active(z2)) -> c59(U21'(z0, z1, z2)) S(mark(z0)) -> c60(S(z0)) S(active(z0)) -> c61(S(z0)) PLUS(mark(z0), z1) -> c62(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, mark(z1)) -> c63(PLUS(z0, z1)) PLUS(active(z0), z1) -> c64(PLUS(z0, z1)) PLUS(z0, active(z1)) -> c65(PLUS(z0, z1)) 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x1), MARK(x(z0, z1))) MARK(and(and(z0, z1), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(and(mark(z0), z1)), x1)), AND(mark(and(z0, z1)), x1), MARK(and(z0, z1))) MARK(and(isNat(z0), x1)) -> c48(ACTIVE(and(active(isNat(z0)), x1)), AND(mark(isNat(z0)), x1), MARK(isNat(z0))) MARK(and(x0, x1)) -> c48(AND(mark(x0), x1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, active_1, mark_1, U11_2, U21_3, s_1, plus_2, U31_1, U41_3, x_2, and_2, isNat_1 Defined Pair Symbols: ACTIVE_1, MARK_1, U11'_2, U21'_3, S_1, PLUS_2, U31'_1, U41'_3, X_2, AND_2, ISNAT_1, ENCARG_1, ENCODE_ACTIVE_1, ENCODE_U11_2, ENCODE_MARK_1, ENCODE_U21_3, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_U31_1, ENCODE_U41_3, ENCODE_X_2, ENCODE_AND_2, ENCODE_ISNAT_1 Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1, c_1 ---------------------------------------- (135) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCARG(cons_active(cons_active(tt))) -> c2(ACTIVE(active(tt)), ENCARG(cons_active(tt))) ENCARG(cons_active(cons_active(0))) -> c2(ACTIVE(active(0)), ENCARG(cons_active(0))) ---------------------------------------- (136) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(0) -> 0 encArg(cons_active(z0)) -> active(encArg(z0)) encArg(cons_mark(z0)) -> mark(encArg(z0)) encArg(cons_U11(z0, z1)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_U21(z0, z1, z2)) -> U21(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), 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Compound Symbols: c26_1, c28_1, c30_1, c31_1, c33_2, c49_2, c50_1, c51_1, c52_1, c53_1, c54_1, c55_1, c56_1, c57_1, c58_1, c59_1, c60_1, c61_1, c62_1, c63_1, c64_1, c65_1, c66_1, c67_1, c68_1, c69_1, c70_1, c71_1, c72_1, c73_1, c74_1, c75_1, c76_1, c77_1, c78_1, c79_1, c80_1, c81_1, c82_1, c83_1, c27_2, c29_2, c32_3, c34_3, c35_2, c36_3, c37_2, c38_3, c40, c45, c2_2, c3_2, c3_1, c4_3, c4_2, c5_4, c5_3, c6_2, c7_3, c7_2, c8_2, c9_4, c9_3, c10_3, c10_2, c11_3, c11_2, c12_2, c39_3, c39_1, c41_3, c41_1, c42_3, c42_2, c43_4, c44_3, c46_3, c46_1, c47_4, c48_3, c48_1, c_1