/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 53 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 525 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 119 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1385 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, c, f, g, d, h, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c < active f < active g < active d < active h < active active < top active < encArg c < proper c < encArg f < proper f < encArg g < proper g < encArg d < proper d < encArg h < proper h < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: c, active, f, g, d, h, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c < active f < active g < active d < active h < active active < top active < encArg c < proper c < encArg f < proper f < encArg g < proper g < encArg d < proper d < encArg h < proper h < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: f(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n8_0))) -> *3_0, rt in Omega(n8_0) Induction Base: f(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: f(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, +(n8_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(f(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n8_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: f, active, g, d, h, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: f < active g < active d < active h < active active < top active < encArg f < proper f < encArg g < proper g < encArg d < proper d < encArg h < proper h < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top Lemmas: f(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n8_0))) -> *3_0, rt in Omega(n8_0) Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: g, active, d, h, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: g < active d < active h < active active < top active < encArg g < proper g < encArg d < proper d < encArg h < proper h < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: h(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n525_0))) -> *3_0, rt in Omega(n525_0) Induction Base: h(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: h(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, +(n525_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(h(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n525_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(f(f(X))) -> mark(c(f(g(f(X))))) active(c(X)) -> mark(d(X)) active(h(X)) -> mark(c(d(X))) active(f(X)) -> f(active(X)) active(h(X)) -> h(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) h(mark(X)) -> mark(h(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(c(X)) -> c(proper(X)) proper(g(X)) -> g(proper(X)) proper(d(X)) -> d(proper(X)) proper(h(X)) -> h(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) c(ok(X)) -> ok(c(X)) g(ok(X)) -> ok(g(X)) d(ok(X)) -> ok(d(X)) h(ok(X)) -> ok(h(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_f :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_c :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_g :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_d :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_h :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top Lemmas: f(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n8_0))) -> *3_0, rt in Omega(n8_0) h(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n525_0))) -> *3_0, rt in Omega(n525_0) Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n1356_0))) -> *3_0, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, +(n1356_0, 1)))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_mark:ok:cons_active:cons_f:cons_h:cons_proper:cons_c:cons_g:cons_d:cons_top2_0(+(1, n1356_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)