/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 214 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 309 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 2823 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__app(nil, YS) -> mark(YS) a__app(cons(X, XS), YS) -> cons(mark(X), app(XS, YS)) a__from(X) -> cons(mark(X), from(s(X))) a__zWadr(nil, YS) -> nil a__zWadr(XS, nil) -> nil a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS)) a__prefix(L) -> cons(nil, zWadr(L, prefix(L))) mark(app(X1, X2)) -> a__app(mark(X1), mark(X2)) mark(from(X)) -> a__from(mark(X)) mark(zWadr(X1, X2)) -> a__zWadr(mark(X1), mark(X2)) mark(prefix(X)) -> a__prefix(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__app(X1, X2) -> app(X1, X2) a__from(X) -> from(X) a__zWadr(X1, X2) -> zWadr(X1, X2) a__prefix(X) -> prefix(X) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_a__app(x_1, x_2)) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__from(x_1)) -> a__from(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zWadr(x_1, x_2)) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__prefix(x_1)) -> a__prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__app(x_1, x_2) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__from(x_1) -> a__from(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__zWadr(x_1, x_2) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__prefix(x_1) -> a__prefix(encArg(x_1)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__app(nil, YS) -> mark(YS) a__app(cons(X, XS), YS) -> cons(mark(X), app(XS, YS)) a__from(X) -> cons(mark(X), from(s(X))) a__zWadr(nil, YS) -> nil a__zWadr(XS, nil) -> nil a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS)) a__prefix(L) -> cons(nil, zWadr(L, prefix(L))) mark(app(X1, X2)) -> a__app(mark(X1), mark(X2)) mark(from(X)) -> a__from(mark(X)) mark(zWadr(X1, X2)) -> a__zWadr(mark(X1), mark(X2)) mark(prefix(X)) -> a__prefix(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__app(X1, X2) -> app(X1, X2) a__from(X) -> from(X) a__zWadr(X1, X2) -> zWadr(X1, X2) a__prefix(X) -> prefix(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_a__app(x_1, x_2)) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__from(x_1)) -> a__from(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zWadr(x_1, x_2)) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__prefix(x_1)) -> a__prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__app(x_1, x_2) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__from(x_1) -> a__from(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__zWadr(x_1, x_2) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__prefix(x_1) -> a__prefix(encArg(x_1)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__app(nil, YS) -> mark(YS) a__app(cons(X, XS), YS) -> cons(mark(X), app(XS, YS)) a__from(X) -> cons(mark(X), from(s(X))) a__zWadr(nil, YS) -> nil a__zWadr(XS, nil) -> nil a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS)) a__prefix(L) -> cons(nil, zWadr(L, prefix(L))) mark(app(X1, X2)) -> a__app(mark(X1), mark(X2)) mark(from(X)) -> a__from(mark(X)) mark(zWadr(X1, X2)) -> a__zWadr(mark(X1), mark(X2)) mark(prefix(X)) -> a__prefix(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__app(X1, X2) -> app(X1, X2) a__from(X) -> from(X) a__zWadr(X1, X2) -> zWadr(X1, X2) a__prefix(X) -> prefix(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_a__app(x_1, x_2)) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__from(x_1)) -> a__from(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zWadr(x_1, x_2)) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__prefix(x_1)) -> a__prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__app(x_1, x_2) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__from(x_1) -> a__from(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__zWadr(x_1, x_2) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__prefix(x_1) -> a__prefix(encArg(x_1)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__app(nil, YS) -> mark(YS) a__app(cons(X, XS), YS) -> cons(mark(X), app(XS, YS)) a__from(X) -> cons(mark(X), from(s(X))) a__zWadr(nil, YS) -> nil a__zWadr(XS, nil) -> nil a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS)) a__prefix(L) -> cons(nil, zWadr(L, prefix(L))) mark(app(X1, X2)) -> a__app(mark(X1), mark(X2)) mark(from(X)) -> a__from(mark(X)) mark(zWadr(X1, X2)) -> a__zWadr(mark(X1), mark(X2)) mark(prefix(X)) -> a__prefix(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__app(X1, X2) -> app(X1, X2) a__from(X) -> from(X) a__zWadr(X1, X2) -> zWadr(X1, X2) a__prefix(X) -> prefix(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_a__app(x_1, x_2)) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__from(x_1)) -> a__from(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zWadr(x_1, x_2)) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__prefix(x_1)) -> a__prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__app(x_1, x_2) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__from(x_1) -> a__from(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__zWadr(x_1, x_2) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__prefix(x_1) -> a__prefix(encArg(x_1)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__app(nil, YS) -> mark(YS) a__app(cons(X, XS), YS) -> cons(mark(X), app(XS, YS)) a__from(X) -> cons(mark(X), from(s(X))) a__zWadr(nil, YS) -> nil a__zWadr(XS, nil) -> nil a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS)) a__prefix(L) -> cons(nil, zWadr(L, prefix(L))) mark(app(X1, X2)) -> a__app(mark(X1), mark(X2)) mark(from(X)) -> a__from(mark(X)) mark(zWadr(X1, X2)) -> a__zWadr(mark(X1), mark(X2)) mark(prefix(X)) -> a__prefix(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__app(X1, X2) -> app(X1, X2) a__from(X) -> from(X) a__zWadr(X1, X2) -> zWadr(X1, X2) a__prefix(X) -> prefix(X) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_a__app(x_1, x_2)) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__from(x_1)) -> a__from(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zWadr(x_1, x_2)) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__prefix(x_1)) -> a__prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__app(x_1, x_2) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__from(x_1) -> a__from(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__zWadr(x_1, x_2) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__prefix(x_1) -> a__prefix(encArg(x_1)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) Types: a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark nil :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark s :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encArg :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_nil :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_cons :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_s :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark hole_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark1_0 :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0 :: Nat -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__app, mark, a__from, a__zWadr, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__app = mark a__app = a__from a__app = a__zWadr a__app < encArg mark = a__from mark = a__zWadr mark < encArg a__from = a__zWadr a__from < encArg a__zWadr < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__app(nil, YS) -> mark(YS) a__app(cons(X, XS), YS) -> cons(mark(X), app(XS, YS)) a__from(X) -> cons(mark(X), from(s(X))) a__zWadr(nil, YS) -> nil a__zWadr(XS, nil) -> nil a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS)) a__prefix(L) -> cons(nil, zWadr(L, prefix(L))) mark(app(X1, X2)) -> a__app(mark(X1), mark(X2)) mark(from(X)) -> a__from(mark(X)) mark(zWadr(X1, X2)) -> a__zWadr(mark(X1), mark(X2)) mark(prefix(X)) -> a__prefix(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__app(X1, X2) -> app(X1, X2) a__from(X) -> from(X) a__zWadr(X1, X2) -> zWadr(X1, X2) a__prefix(X) -> prefix(X) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_a__app(x_1, x_2)) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__from(x_1)) -> a__from(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zWadr(x_1, x_2)) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__prefix(x_1)) -> a__prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__app(x_1, x_2) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__from(x_1) -> a__from(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__zWadr(x_1, x_2) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__prefix(x_1) -> a__prefix(encArg(x_1)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) Types: a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark nil :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark s :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encArg :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_nil :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_cons :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_s :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark hole_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark1_0 :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0 :: Nat -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark Generator Equations: gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(0) <=> nil gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(+(x, 1)) <=> cons(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(x), nil) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__app, a__from, a__zWadr, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__app = mark a__app = a__from a__app = a__zWadr a__app < encArg mark = a__from mark = a__zWadr mark < encArg a__from = a__zWadr a__from < encArg a__zWadr < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4_0)) -> gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4_0), rt in Omega(1 + n4_0) Induction Base: mark(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(0)) ->_R^Omega(1) nil Induction Step: mark(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(+(n4_0, 1))) ->_R^Omega(1) cons(mark(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4_0)), nil) ->_IH cons(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(c5_0), nil) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: a__app(nil, YS) -> mark(YS) a__app(cons(X, XS), YS) -> cons(mark(X), app(XS, YS)) a__from(X) -> cons(mark(X), from(s(X))) a__zWadr(nil, YS) -> nil a__zWadr(XS, nil) -> nil a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS)) a__prefix(L) -> cons(nil, zWadr(L, prefix(L))) mark(app(X1, X2)) -> a__app(mark(X1), mark(X2)) mark(from(X)) -> a__from(mark(X)) mark(zWadr(X1, X2)) -> a__zWadr(mark(X1), mark(X2)) mark(prefix(X)) -> a__prefix(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__app(X1, X2) -> app(X1, X2) a__from(X) -> from(X) a__zWadr(X1, X2) -> zWadr(X1, X2) a__prefix(X) -> prefix(X) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_a__app(x_1, x_2)) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__from(x_1)) -> a__from(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zWadr(x_1, x_2)) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__prefix(x_1)) -> a__prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__app(x_1, x_2) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__from(x_1) -> a__from(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__zWadr(x_1, x_2) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__prefix(x_1) -> a__prefix(encArg(x_1)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) Types: a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark nil :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark s :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encArg :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_nil :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_cons :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_s :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark hole_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark1_0 :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0 :: Nat -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark Generator Equations: gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(0) <=> nil gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(+(x, 1)) <=> cons(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(x), nil) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__app, a__from, a__zWadr, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__app = mark a__app = a__from a__app = a__zWadr a__app < encArg mark = a__from mark = a__zWadr mark < encArg a__from = a__zWadr a__from < encArg a__zWadr < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__app(nil, YS) -> mark(YS) a__app(cons(X, XS), YS) -> cons(mark(X), app(XS, YS)) a__from(X) -> cons(mark(X), from(s(X))) a__zWadr(nil, YS) -> nil a__zWadr(XS, nil) -> nil a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS)) a__prefix(L) -> cons(nil, zWadr(L, prefix(L))) mark(app(X1, X2)) -> a__app(mark(X1), mark(X2)) mark(from(X)) -> a__from(mark(X)) mark(zWadr(X1, X2)) -> a__zWadr(mark(X1), mark(X2)) mark(prefix(X)) -> a__prefix(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__app(X1, X2) -> app(X1, X2) a__from(X) -> from(X) a__zWadr(X1, X2) -> zWadr(X1, X2) a__prefix(X) -> prefix(X) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_a__app(x_1, x_2)) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__from(x_1)) -> a__from(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zWadr(x_1, x_2)) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__prefix(x_1)) -> a__prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__app(x_1, x_2) -> a__app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__from(x_1) -> a__from(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__zWadr(x_1, x_2) -> a__zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__prefix(x_1) -> a__prefix(encArg(x_1)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) Types: a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark nil :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark s :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encArg :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark cons_mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_nil :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_mark :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_cons :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_app :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_from :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_s :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_zWadr :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_a__prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark encode_prefix :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark hole_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark1_0 :: nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0 :: Nat -> nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark Lemmas: mark(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4_0)) -> gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4_0), rt in Omega(1 + n4_0) Generator Equations: gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(0) <=> nil gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(+(x, 1)) <=> cons(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(x), nil) The following defined symbols remain to be analysed: a__app, a__from, a__zWadr, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__app = mark a__app = a__from a__app = a__zWadr a__app < encArg mark = a__from mark = a__zWadr mark < encArg a__from = a__zWadr a__from < encArg a__zWadr < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4467_0)) -> gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4467_0), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(+(n4467_0, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4467_0)), encArg(nil)) ->_IH cons(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(c4468_0), encArg(nil)) ->_R^Omega(0) cons(gen_nil:cons:app:s:from:zWadr:prefix:cons_a__app:cons_a__from:cons_a__zWadr:cons_a__prefix:cons_mark2_0(n4467_0), nil) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)