/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 450 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 7 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 446 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 114 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 122 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 131 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 147 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 120 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 73 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 84 ms] (30) typed CpxTrs (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 63.4 s] (32) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(pairNs) -> mark(cons(0, incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0, XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(pairNs) -> mark(cons(0, incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0, XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(pairNs) -> mark(cons(0, incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0, XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, incr, s, take, pair, zip, repItems, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active incr < active s < active take < active pair < active zip < active repItems < active tail < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg incr < proper incr < encArg s < proper s < encArg take < proper take < encArg pair < proper pair < encArg zip < proper zip < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, incr, s, take, pair, zip, repItems, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active incr < active s < active take < active pair < active zip < active repItems < active tail < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg incr < proper incr < encArg s < proper s < encArg take < proper take < encArg pair < proper pair < encArg zip < proper zip < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, incr, s, take, pair, zip, repItems, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active incr < active s < active take < active pair < active zip < active repItems < active tail < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg incr < proper incr < encArg s < proper s < encArg take < proper take < encArg pair < proper pair < encArg zip < proper zip < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: incr, active, s, take, pair, zip, repItems, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: incr < active s < active take < active pair < active zip < active repItems < active tail < active active < top active < encArg incr < proper incr < encArg s < proper s < encArg take < proper take < encArg pair < proper pair < encArg zip < proper zip < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2221_3) Induction Base: incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n2221_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2221_3) Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, take, pair, zip, repItems, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active take < active pair < active zip < active repItems < active tail < active active < top active < encArg s < proper s < encArg take < proper take < encArg pair < proper pair < encArg zip < proper zip < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3174_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3174_3) Induction Base: s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n3174_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3174_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2221_3) s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3174_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3174_3) Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: take, active, pair, zip, repItems, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: take < active pair < active zip < active repItems < active tail < active active < top active < encArg take < proper take < encArg pair < proper pair < encArg zip < proper zip < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4228_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4228_3) Induction Base: take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4228_3, 1))), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4228_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2221_3) s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3174_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3174_3) take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4228_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4228_3) Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: pair, active, zip, repItems, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: pair < active zip < active repItems < active tail < active active < top active < encArg pair < proper pair < encArg zip < proper zip < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: pair(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7180_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7180_3) Induction Base: pair(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: pair(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n7180_3, 1))), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(pair(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7180_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2221_3) s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3174_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3174_3) take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4228_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4228_3) pair(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7180_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7180_3) Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: zip, active, repItems, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: zip < active repItems < active tail < active active < top active < encArg zip < proper zip < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: zip(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10436_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n10436_3) Induction Base: zip(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: zip(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n10436_3, 1))), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(zip(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10436_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2221_3) s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3174_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3174_3) take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4228_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4228_3) pair(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7180_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7180_3) zip(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10436_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n10436_3) Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: repItems, active, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: repItems < active tail < active active < top active < encArg repItems < proper repItems < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: repItems(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n13996_3))) -> *3_3, rt in Omega(n13996_3) Induction Base: repItems(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: repItems(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n13996_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(repItems(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n13996_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (28) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2221_3) s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3174_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3174_3) take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4228_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4228_3) pair(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7180_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7180_3) zip(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10436_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n10436_3) repItems(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n13996_3))) -> *3_3, rt in Omega(n13996_3) Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: tail, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: tail < active active < top active < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: tail(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n15601_3))) -> *3_3, rt in Omega(n15601_3) Induction Base: tail(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: tail(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n15601_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(tail(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n15601_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (30) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(pairNs) -> mark(cons(0', incr(oddNs))) active(oddNs) -> mark(incr(pairNs)) active(incr(cons(X, XS))) -> mark(cons(s(X), incr(XS))) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(zip(nil, XS)) -> mark(nil) active(zip(X, nil)) -> mark(nil) active(zip(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(pair(X, Y), zip(XS, YS))) active(tail(cons(X, XS))) -> mark(XS) active(repItems(nil)) -> mark(nil) active(repItems(cons(X, XS))) -> mark(cons(X, cons(X, repItems(XS)))) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(zip(X1, X2)) -> zip(active(X1), X2) active(zip(X1, X2)) -> zip(X1, active(X2)) active(pair(X1, X2)) -> pair(active(X1), X2) active(pair(X1, X2)) -> pair(X1, active(X2)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) active(repItems(X)) -> repItems(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) zip(mark(X1), X2) -> mark(zip(X1, X2)) zip(X1, mark(X2)) -> mark(zip(X1, X2)) pair(mark(X1), X2) -> mark(pair(X1, X2)) pair(X1, mark(X2)) -> mark(pair(X1, X2)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) repItems(mark(X)) -> mark(repItems(X)) proper(pairNs) -> ok(pairNs) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(oddNs) -> ok(oddNs) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(zip(X1, X2)) -> zip(proper(X1), proper(X2)) proper(pair(X1, X2)) -> pair(proper(X1), proper(X2)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) proper(repItems(X)) -> repItems(proper(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) zip(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zip(X1, X2)) pair(ok(X1), ok(X2)) -> ok(pair(X1, X2)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) repItems(ok(X)) -> ok(repItems(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(oddNs) -> oddNs encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top 0' :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encArg :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top cons_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_active :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pairNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_mark :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_cons :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_0 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_incr :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_oddNs :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_s :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_take :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_nil :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_zip :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_pair :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_tail :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_repItems :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_proper :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_ok :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top encode_top :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top hole_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top1_3 :: pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) incr(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2221_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2221_3) s(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3174_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3174_3) take(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4228_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4228_3) pair(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7180_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7180_3) zip(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10436_3)), gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n10436_3) repItems(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n13996_3))) -> *3_3, rt in Omega(n13996_3) tail(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n15601_3))) -> *3_3, rt in Omega(n15601_3) Generator Equations: gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> pairNs gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(n7472334_3)) -> gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(n7472334_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) pairNs Induction Step: encArg(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(+(n7472334_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(n7472334_3))) ->_IH mark(gen_pairNs:0':oddNs:mark:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_incr:cons_s:cons_take:cons_zip:cons_pair:cons_tail:cons_repItems:cons_proper:cons_top2_3(c7472335_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (32) BOUNDS(1, INF)