/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 394 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 2 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 467 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 146 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 125 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 164 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 18.5 s] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0, X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0, X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0, X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top 0' :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encArg :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_0 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top hole_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top1_4 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4 :: Nat -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, s, add, cons, first, from, and, if, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active add < active cons < active first < active from < active and < active if < active active < top active < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg cons < proper cons < encArg first < proper first < encArg from < proper from < encArg and < proper and < encArg if < proper if < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top 0' :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encArg :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_0 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top hole_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top1_4 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4 :: Nat -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top Generator Equations: gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(0) <=> true gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, add, cons, first, from, and, if, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active add < active cons < active first < active from < active and < active if < active active < top active < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg cons < proper cons < encArg first < proper first < encArg from < proper from < encArg and < proper and < encArg if < proper if < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: add(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n8_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8_4) Induction Base: add(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) Induction Step: add(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, +(n8_4, 1))), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1) mark(add(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n8_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top 0' :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encArg :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_0 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top hole_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top1_4 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4 :: Nat -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top Generator Equations: gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(0) <=> true gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: add, active, cons, first, from, and, if, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: add < active cons < active first < active from < active and < active if < active active < top active < encArg add < proper add < encArg cons < proper cons < encArg first < proper first < encArg from < proper from < encArg and < proper and < encArg if < proper if < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top 0' :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encArg :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_0 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top hole_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top1_4 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4 :: Nat -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top Lemmas: add(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n8_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8_4) Generator Equations: gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(0) <=> true gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, first, from, and, if, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active first < active from < active and < active if < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg first < proper first < encArg from < proper from < encArg and < proper and < encArg if < proper if < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: first(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n1878_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1878_4) Induction Base: first(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) Induction Step: first(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, +(n1878_4, 1))), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1) mark(first(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n1878_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top 0' :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encArg :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_0 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top hole_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top1_4 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4 :: Nat -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top Lemmas: add(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n8_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8_4) first(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n1878_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1878_4) Generator Equations: gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(0) <=> true gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: from, active, and, if, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: from < active and < active if < active active < top active < encArg from < proper from < encArg and < proper and < encArg if < proper if < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: and(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n4108_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4108_4) Induction Base: and(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) Induction Step: and(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, +(n4108_4, 1))), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1) mark(and(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n4108_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top 0' :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encArg :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_0 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top hole_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top1_4 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4 :: Nat -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top Lemmas: add(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n8_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8_4) first(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n1878_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1878_4) and(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n4108_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4108_4) Generator Equations: gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(0) <=> true gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: if < active active < top active < encArg if < proper if < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: if(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n6577_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n6577_4) Induction Base: if(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(c)) Induction Step: if(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, +(n6577_4, 1))), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(c)) ->_R^Omega(1) mark(if(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n6577_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(c))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(true, X)) -> mark(X) active(and(false, Y)) -> mark(false) active(if(true, X, Y)) -> mark(X) active(if(false, X, Y)) -> mark(Y) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(true) -> ok(true) proper(false) -> ok(false) proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(true) -> true encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top 0' :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encArg :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top cons_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_active :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_and :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_true :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_mark :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_false :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_if :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_add :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_0 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_s :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_first :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_nil :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_cons :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_from :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_proper :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_ok :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top encode_top :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top hole_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top1_4 :: true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4 :: Nat -> true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top Lemmas: add(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n8_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8_4) first(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n1878_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1878_4) and(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n4108_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4108_4) if(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(1, n6577_4)), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(b), gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n6577_4) Generator Equations: gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(0) <=> true gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(n91465_4)) -> gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(n91465_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(0)) ->_R^Omega(0) true Induction Step: encArg(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(+(n91465_4, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(n91465_4))) ->_IH mark(gen_true:mark:false:0':nil:ok:cons_active:cons_and:cons_if:cons_add:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_cons:cons_from:cons_top2_4(c91466_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)