/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(NON_POLY, ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 2294 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection (13) DecreasingLoopProof [FINISHED, 7399 ms] (14) BOUNDS(EXP, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, M, N) -> a__U102(a__isNatKind(M), M, N) a__U102(tt, M, N) -> a__U103(a__isNat(N), M, N) a__U103(tt, M, N) -> a__U104(a__isNatKind(N), M, N) a__U104(tt, M, N) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N)) a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U12(tt, V1, V2) -> a__U13(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U13(tt, V1, V2) -> a__U14(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U14(tt, V1, V2) -> a__U15(a__isNat(V1), V2) a__U15(tt, V2) -> a__U16(a__isNat(V2)) a__U16(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V1, V2) -> a__U32(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U32(tt, V1, V2) -> a__U33(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U33(tt, V1, V2) -> a__U34(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U34(tt, V1, V2) -> a__U35(a__isNat(V1), V2) a__U35(tt, V2) -> a__U36(a__isNat(V2)) a__U36(tt) -> tt a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt, N) -> a__U72(a__isNatKind(N), N) a__U72(tt, N) -> mark(N) a__U81(tt, M, N) -> a__U82(a__isNatKind(M), M, N) a__U82(tt, M, N) -> a__U83(a__isNat(N), M, N) a__U83(tt, M, N) -> a__U84(a__isNatKind(N), M, N) a__U84(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__U91(tt, N) -> a__U92(a__isNatKind(N)) a__U92(tt) -> 0 a__isNat(0) -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNat(x(V1, V2)) -> a__U31(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U51(a__isNatKind(V1)) a__isNatKind(x(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__plus(N, 0) -> a__U71(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U81(a__isNat(M), M, N) a__x(N, 0) -> a__U91(a__isNat(N), N) a__x(N, s(M)) -> a__U101(a__isNat(M), M, N) mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U13(X1, X2, X3)) -> a__U13(mark(X1), X2, X3) mark(U14(X1, X2, X3)) -> a__U14(mark(X1), X2, X3) mark(U15(X1, X2)) -> a__U15(mark(X1), X2) mark(U16(X)) -> a__U16(mark(X)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2, X3)) -> a__U32(mark(X1), X2, X3) mark(U33(X1, X2, X3)) -> a__U33(mark(X1), X2, X3) mark(U34(X1, X2, X3)) -> a__U34(mark(X1), X2, X3) mark(U35(X1, X2)) -> a__U35(mark(X1), X2) mark(U36(X)) -> a__U36(mark(X)) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X)) -> a__U51(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(U72(X1, X2)) -> a__U72(mark(X1), X2) mark(U81(X1, X2, X3)) -> a__U81(mark(X1), X2, X3) mark(U82(X1, X2, X3)) -> a__U82(mark(X1), X2, X3) mark(U83(X1, X2, X3)) -> a__U83(mark(X1), X2, X3) mark(U84(X1, X2, X3)) -> a__U84(mark(X1), X2, X3) mark(U91(X1, X2)) -> a__U91(mark(X1), X2) mark(U92(X)) -> a__U92(mark(X)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) a__x(X1, X2) -> x(X1, X2) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U13(X1, X2, X3) -> U13(X1, X2, X3) a__U14(X1, X2, X3) -> U14(X1, X2, X3) a__U15(X1, X2) -> U15(X1, X2) a__U16(X) -> U16(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2, X3) -> U32(X1, X2, X3) a__U33(X1, X2, X3) -> U33(X1, X2, X3) a__U34(X1, X2, X3) -> U34(X1, X2, X3) a__U35(X1, X2) -> U35(X1, X2) a__U36(X) -> U36(X) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X) -> U51(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__U72(X1, X2) -> U72(X1, X2) a__U81(X1, X2, X3) -> U81(X1, X2, X3) a__U82(X1, X2, X3) -> U82(X1, X2, X3) a__U83(X1, X2, X3) -> U83(X1, X2, X3) a__U84(X1, X2, X3) -> U84(X1, X2, X3) a__U91(X1, X2) -> U91(X1, X2) a__U92(X) -> U92(X) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2, x_3)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U102(x_1, x_2, x_3)) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U103(x_1, x_2, x_3)) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U104(x_1, x_2, x_3)) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U13(x_1, x_2, x_3)) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U14(x_1, x_2, x_3)) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U15(x_1, x_2)) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U16(x_1)) -> a__U16(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U23(x_1)) -> a__U23(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2, x_3)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U33(x_1, x_2, x_3)) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U34(x_1, x_2, x_3)) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U35(x_1, x_2)) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U36(x_1)) -> a__U36(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1)) -> a__U51(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U62(x_1)) -> a__U62(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U72(x_1, x_2)) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1, x_2, x_3)) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U82(x_1, x_2, x_3)) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U83(x_1, x_2, x_3)) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U84(x_1, x_2, x_3)) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U92(x_1)) -> a__U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2, x_3) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1, x_2, x_3) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__U103(x_1, x_2, x_3) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U104(x_1, x_2, x_3) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U13(x_1, x_2, x_3) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U14(x_1, x_2, x_3) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U15(x_1, x_2) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U16(x_1) -> a__U16(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U23(x_1) -> a__U23(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2, x_3) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U33(x_1, x_2, x_3) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U34(x_1, x_2, x_3) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U35(x_1, x_2) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U36(x_1) -> a__U36(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1) -> a__U51(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U62(x_1) -> a__U62(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U72(x_1, x_2) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U81(x_1, x_2, x_3) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U82(x_1, x_2, x_3) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U83(x_1, x_2, x_3) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U84(x_1, x_2, x_3) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1, x_2) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U92(x_1) -> a__U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, M, N) -> a__U102(a__isNatKind(M), M, N) a__U102(tt, M, N) -> a__U103(a__isNat(N), M, N) a__U103(tt, M, N) -> a__U104(a__isNatKind(N), M, N) a__U104(tt, M, N) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N)) a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U12(tt, V1, V2) -> a__U13(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U13(tt, V1, V2) -> a__U14(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U14(tt, V1, V2) -> a__U15(a__isNat(V1), V2) a__U15(tt, V2) -> a__U16(a__isNat(V2)) a__U16(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V1, V2) -> a__U32(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U32(tt, V1, V2) -> a__U33(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U33(tt, V1, V2) -> a__U34(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U34(tt, V1, V2) -> a__U35(a__isNat(V1), V2) a__U35(tt, V2) -> a__U36(a__isNat(V2)) a__U36(tt) -> tt a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt, N) -> a__U72(a__isNatKind(N), N) a__U72(tt, N) -> mark(N) a__U81(tt, M, N) -> a__U82(a__isNatKind(M), M, N) a__U82(tt, M, N) -> a__U83(a__isNat(N), M, N) a__U83(tt, M, N) -> a__U84(a__isNatKind(N), M, N) a__U84(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__U91(tt, N) -> a__U92(a__isNatKind(N)) a__U92(tt) -> 0 a__isNat(0) -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNat(x(V1, V2)) -> a__U31(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U51(a__isNatKind(V1)) a__isNatKind(x(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__plus(N, 0) -> a__U71(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U81(a__isNat(M), M, N) a__x(N, 0) -> a__U91(a__isNat(N), N) a__x(N, s(M)) -> a__U101(a__isNat(M), M, N) mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U13(X1, X2, X3)) -> a__U13(mark(X1), X2, X3) mark(U14(X1, X2, X3)) -> a__U14(mark(X1), X2, X3) mark(U15(X1, X2)) -> a__U15(mark(X1), X2) mark(U16(X)) -> a__U16(mark(X)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2, X3)) -> a__U32(mark(X1), X2, X3) mark(U33(X1, X2, X3)) -> a__U33(mark(X1), X2, X3) mark(U34(X1, X2, X3)) -> a__U34(mark(X1), X2, X3) mark(U35(X1, X2)) -> a__U35(mark(X1), X2) mark(U36(X)) -> a__U36(mark(X)) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X)) -> a__U51(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(U72(X1, X2)) -> a__U72(mark(X1), X2) mark(U81(X1, X2, X3)) -> a__U81(mark(X1), X2, X3) mark(U82(X1, X2, X3)) -> a__U82(mark(X1), X2, X3) mark(U83(X1, X2, X3)) -> a__U83(mark(X1), X2, X3) mark(U84(X1, X2, X3)) -> a__U84(mark(X1), X2, X3) mark(U91(X1, X2)) -> a__U91(mark(X1), X2) mark(U92(X)) -> a__U92(mark(X)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) a__x(X1, X2) -> x(X1, X2) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U13(X1, X2, X3) -> U13(X1, X2, X3) a__U14(X1, X2, X3) -> U14(X1, X2, X3) a__U15(X1, X2) -> U15(X1, X2) a__U16(X) -> U16(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2, X3) -> U32(X1, X2, X3) a__U33(X1, X2, X3) -> U33(X1, X2, X3) a__U34(X1, X2, X3) -> U34(X1, X2, X3) a__U35(X1, X2) -> U35(X1, X2) a__U36(X) -> U36(X) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X) -> U51(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__U72(X1, X2) -> U72(X1, X2) a__U81(X1, X2, X3) -> U81(X1, X2, X3) a__U82(X1, X2, X3) -> U82(X1, X2, X3) a__U83(X1, X2, X3) -> U83(X1, X2, X3) a__U84(X1, X2, X3) -> U84(X1, X2, X3) a__U91(X1, X2) -> U91(X1, X2) a__U92(X) -> U92(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2, x_3)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U102(x_1, x_2, x_3)) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U103(x_1, x_2, x_3)) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U104(x_1, x_2, x_3)) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U13(x_1, x_2, x_3)) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U14(x_1, x_2, x_3)) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U15(x_1, x_2)) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U16(x_1)) -> a__U16(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U23(x_1)) -> a__U23(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2, x_3)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U33(x_1, x_2, x_3)) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U34(x_1, x_2, x_3)) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U35(x_1, x_2)) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U36(x_1)) -> a__U36(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1)) -> a__U51(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U62(x_1)) -> a__U62(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U72(x_1, x_2)) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1, x_2, x_3)) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U82(x_1, x_2, x_3)) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U83(x_1, x_2, x_3)) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U84(x_1, x_2, x_3)) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U92(x_1)) -> a__U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2, x_3) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1, x_2, x_3) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__U103(x_1, x_2, x_3) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U104(x_1, x_2, x_3) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U13(x_1, x_2, x_3) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U14(x_1, x_2, x_3) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U15(x_1, x_2) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U16(x_1) -> a__U16(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U23(x_1) -> a__U23(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2, x_3) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U33(x_1, x_2, x_3) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U34(x_1, x_2, x_3) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U35(x_1, x_2) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U36(x_1) -> a__U36(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1) -> a__U51(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U62(x_1) -> a__U62(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U72(x_1, x_2) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U81(x_1, x_2, x_3) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U82(x_1, x_2, x_3) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U83(x_1, x_2, x_3) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U84(x_1, x_2, x_3) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1, x_2) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U92(x_1) -> a__U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, M, N) -> a__U102(a__isNatKind(M), M, N) a__U102(tt, M, N) -> a__U103(a__isNat(N), M, N) a__U103(tt, M, N) -> a__U104(a__isNatKind(N), M, N) a__U104(tt, M, N) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N)) a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U12(tt, V1, V2) -> a__U13(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U13(tt, V1, V2) -> a__U14(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U14(tt, V1, V2) -> a__U15(a__isNat(V1), V2) a__U15(tt, V2) -> a__U16(a__isNat(V2)) a__U16(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V1, V2) -> a__U32(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U32(tt, V1, V2) -> a__U33(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U33(tt, V1, V2) -> a__U34(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U34(tt, V1, V2) -> a__U35(a__isNat(V1), V2) a__U35(tt, V2) -> a__U36(a__isNat(V2)) a__U36(tt) -> tt a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt, N) -> a__U72(a__isNatKind(N), N) a__U72(tt, N) -> mark(N) a__U81(tt, M, N) -> a__U82(a__isNatKind(M), M, N) a__U82(tt, M, N) -> a__U83(a__isNat(N), M, N) a__U83(tt, M, N) -> a__U84(a__isNatKind(N), M, N) a__U84(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__U91(tt, N) -> a__U92(a__isNatKind(N)) a__U92(tt) -> 0 a__isNat(0) -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNat(x(V1, V2)) -> a__U31(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U51(a__isNatKind(V1)) a__isNatKind(x(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__plus(N, 0) -> a__U71(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U81(a__isNat(M), M, N) a__x(N, 0) -> a__U91(a__isNat(N), N) a__x(N, s(M)) -> a__U101(a__isNat(M), M, N) mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U13(X1, X2, X3)) -> a__U13(mark(X1), X2, X3) mark(U14(X1, X2, X3)) -> a__U14(mark(X1), X2, X3) mark(U15(X1, X2)) -> a__U15(mark(X1), X2) mark(U16(X)) -> a__U16(mark(X)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2, X3)) -> a__U32(mark(X1), X2, X3) mark(U33(X1, X2, X3)) -> a__U33(mark(X1), X2, X3) mark(U34(X1, X2, X3)) -> a__U34(mark(X1), X2, X3) mark(U35(X1, X2)) -> a__U35(mark(X1), X2) mark(U36(X)) -> a__U36(mark(X)) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X)) -> a__U51(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(U72(X1, X2)) -> a__U72(mark(X1), X2) mark(U81(X1, X2, X3)) -> a__U81(mark(X1), X2, X3) mark(U82(X1, X2, X3)) -> a__U82(mark(X1), X2, X3) mark(U83(X1, X2, X3)) -> a__U83(mark(X1), X2, X3) mark(U84(X1, X2, X3)) -> a__U84(mark(X1), X2, X3) mark(U91(X1, X2)) -> a__U91(mark(X1), X2) mark(U92(X)) -> a__U92(mark(X)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) a__x(X1, X2) -> x(X1, X2) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U13(X1, X2, X3) -> U13(X1, X2, X3) a__U14(X1, X2, X3) -> U14(X1, X2, X3) a__U15(X1, X2) -> U15(X1, X2) a__U16(X) -> U16(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2, X3) -> U32(X1, X2, X3) a__U33(X1, X2, X3) -> U33(X1, X2, X3) a__U34(X1, X2, X3) -> U34(X1, X2, X3) a__U35(X1, X2) -> U35(X1, X2) a__U36(X) -> U36(X) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X) -> U51(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__U72(X1, X2) -> U72(X1, X2) a__U81(X1, X2, X3) -> U81(X1, X2, X3) a__U82(X1, X2, X3) -> U82(X1, X2, X3) a__U83(X1, X2, X3) -> U83(X1, X2, X3) a__U84(X1, X2, X3) -> U84(X1, X2, X3) a__U91(X1, X2) -> U91(X1, X2) a__U92(X) -> U92(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2, x_3)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U102(x_1, x_2, x_3)) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U103(x_1, x_2, x_3)) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U104(x_1, x_2, x_3)) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U13(x_1, x_2, x_3)) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U14(x_1, x_2, x_3)) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U15(x_1, x_2)) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U16(x_1)) -> a__U16(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U23(x_1)) -> a__U23(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2, x_3)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U33(x_1, x_2, x_3)) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U34(x_1, x_2, x_3)) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U35(x_1, x_2)) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U36(x_1)) -> a__U36(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1)) -> a__U51(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U62(x_1)) -> a__U62(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U72(x_1, x_2)) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1, x_2, x_3)) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U82(x_1, x_2, x_3)) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U83(x_1, x_2, x_3)) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U84(x_1, x_2, x_3)) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U92(x_1)) -> a__U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2, x_3) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1, x_2, x_3) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__U103(x_1, x_2, x_3) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U104(x_1, x_2, x_3) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U13(x_1, x_2, x_3) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U14(x_1, x_2, x_3) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U15(x_1, x_2) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U16(x_1) -> a__U16(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U23(x_1) -> a__U23(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2, x_3) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U33(x_1, x_2, x_3) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U34(x_1, x_2, x_3) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U35(x_1, x_2) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U36(x_1) -> a__U36(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1) -> a__U51(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U62(x_1) -> a__U62(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U72(x_1, x_2) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U81(x_1, x_2, x_3) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U82(x_1, x_2, x_3) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U83(x_1, x_2, x_3) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U84(x_1, x_2, x_3) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1, x_2) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U92(x_1) -> a__U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, M, N) -> a__U102(a__isNatKind(M), M, N) a__U102(tt, M, N) -> a__U103(a__isNat(N), M, N) a__U103(tt, M, N) -> a__U104(a__isNatKind(N), M, N) a__U104(tt, M, N) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N)) a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U12(tt, V1, V2) -> a__U13(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U13(tt, V1, V2) -> a__U14(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U14(tt, V1, V2) -> a__U15(a__isNat(V1), V2) a__U15(tt, V2) -> a__U16(a__isNat(V2)) a__U16(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V1, V2) -> a__U32(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U32(tt, V1, V2) -> a__U33(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U33(tt, V1, V2) -> a__U34(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U34(tt, V1, V2) -> a__U35(a__isNat(V1), V2) a__U35(tt, V2) -> a__U36(a__isNat(V2)) a__U36(tt) -> tt a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt, N) -> a__U72(a__isNatKind(N), N) a__U72(tt, N) -> mark(N) a__U81(tt, M, N) -> a__U82(a__isNatKind(M), M, N) a__U82(tt, M, N) -> a__U83(a__isNat(N), M, N) a__U83(tt, M, N) -> a__U84(a__isNatKind(N), M, N) a__U84(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__U91(tt, N) -> a__U92(a__isNatKind(N)) a__U92(tt) -> 0 a__isNat(0) -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNat(x(V1, V2)) -> a__U31(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U51(a__isNatKind(V1)) a__isNatKind(x(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__plus(N, 0) -> a__U71(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U81(a__isNat(M), M, N) a__x(N, 0) -> a__U91(a__isNat(N), N) a__x(N, s(M)) -> a__U101(a__isNat(M), M, N) mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U13(X1, X2, X3)) -> a__U13(mark(X1), X2, X3) mark(U14(X1, X2, X3)) -> a__U14(mark(X1), X2, X3) mark(U15(X1, X2)) -> a__U15(mark(X1), X2) mark(U16(X)) -> a__U16(mark(X)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2, X3)) -> a__U32(mark(X1), X2, X3) mark(U33(X1, X2, X3)) -> a__U33(mark(X1), X2, X3) mark(U34(X1, X2, X3)) -> a__U34(mark(X1), X2, X3) mark(U35(X1, X2)) -> a__U35(mark(X1), X2) mark(U36(X)) -> a__U36(mark(X)) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X)) -> a__U51(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(U72(X1, X2)) -> a__U72(mark(X1), X2) mark(U81(X1, X2, X3)) -> a__U81(mark(X1), X2, X3) mark(U82(X1, X2, X3)) -> a__U82(mark(X1), X2, X3) mark(U83(X1, X2, X3)) -> a__U83(mark(X1), X2, X3) mark(U84(X1, X2, X3)) -> a__U84(mark(X1), X2, X3) mark(U91(X1, X2)) -> a__U91(mark(X1), X2) mark(U92(X)) -> a__U92(mark(X)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) a__x(X1, X2) -> x(X1, X2) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U13(X1, X2, X3) -> U13(X1, X2, X3) a__U14(X1, X2, X3) -> U14(X1, X2, X3) a__U15(X1, X2) -> U15(X1, X2) a__U16(X) -> U16(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2, X3) -> U32(X1, X2, X3) a__U33(X1, X2, X3) -> U33(X1, X2, X3) a__U34(X1, X2, X3) -> U34(X1, X2, X3) a__U35(X1, X2) -> U35(X1, X2) a__U36(X) -> U36(X) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X) -> U51(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__U72(X1, X2) -> U72(X1, X2) a__U81(X1, X2, X3) -> U81(X1, X2, X3) a__U82(X1, X2, X3) -> U82(X1, X2, X3) a__U83(X1, X2, X3) -> U83(X1, X2, X3) a__U84(X1, X2, X3) -> U84(X1, X2, X3) a__U91(X1, X2) -> U91(X1, X2) a__U92(X) -> U92(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2, x_3)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U102(x_1, x_2, x_3)) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U103(x_1, x_2, x_3)) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U104(x_1, x_2, x_3)) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U13(x_1, x_2, x_3)) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U14(x_1, x_2, x_3)) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U15(x_1, x_2)) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U16(x_1)) -> a__U16(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U23(x_1)) -> a__U23(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2, x_3)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U33(x_1, x_2, x_3)) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U34(x_1, x_2, x_3)) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U35(x_1, x_2)) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U36(x_1)) -> a__U36(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1)) -> a__U51(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U62(x_1)) -> a__U62(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U72(x_1, x_2)) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1, x_2, x_3)) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U82(x_1, x_2, x_3)) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U83(x_1, x_2, x_3)) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U84(x_1, x_2, x_3)) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U92(x_1)) -> a__U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2, x_3) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1, x_2, x_3) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__U103(x_1, x_2, x_3) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U104(x_1, x_2, x_3) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U13(x_1, x_2, x_3) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U14(x_1, x_2, x_3) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U15(x_1, x_2) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U16(x_1) -> a__U16(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U23(x_1) -> a__U23(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2, x_3) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U33(x_1, x_2, x_3) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U34(x_1, x_2, x_3) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U35(x_1, x_2) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U36(x_1) -> a__U36(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1) -> a__U51(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U62(x_1) -> a__U62(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U72(x_1, x_2) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U81(x_1, x_2, x_3) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U82(x_1, x_2, x_3) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U83(x_1, x_2, x_3) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U84(x_1, x_2, x_3) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1, x_2) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U92(x_1) -> a__U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence mark(U15(X1, X2)) ->^+ a__U15(mark(X1), X2) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [X1 / U15(X1, X2)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, M, N) -> a__U102(a__isNatKind(M), M, N) a__U102(tt, M, N) -> a__U103(a__isNat(N), M, N) a__U103(tt, M, N) -> a__U104(a__isNatKind(N), M, N) a__U104(tt, M, N) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N)) a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U12(tt, V1, V2) -> a__U13(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U13(tt, V1, V2) -> a__U14(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U14(tt, V1, V2) -> a__U15(a__isNat(V1), V2) a__U15(tt, V2) -> a__U16(a__isNat(V2)) a__U16(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V1, V2) -> a__U32(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U32(tt, V1, V2) -> a__U33(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U33(tt, V1, V2) -> a__U34(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U34(tt, V1, V2) -> a__U35(a__isNat(V1), V2) a__U35(tt, V2) -> a__U36(a__isNat(V2)) a__U36(tt) -> tt a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt, N) -> a__U72(a__isNatKind(N), N) a__U72(tt, N) -> mark(N) a__U81(tt, M, N) -> a__U82(a__isNatKind(M), M, N) a__U82(tt, M, N) -> a__U83(a__isNat(N), M, N) a__U83(tt, M, N) -> a__U84(a__isNatKind(N), M, N) a__U84(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__U91(tt, N) -> a__U92(a__isNatKind(N)) a__U92(tt) -> 0 a__isNat(0) -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNat(x(V1, V2)) -> a__U31(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U51(a__isNatKind(V1)) a__isNatKind(x(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__plus(N, 0) -> a__U71(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U81(a__isNat(M), M, N) a__x(N, 0) -> a__U91(a__isNat(N), N) a__x(N, s(M)) -> a__U101(a__isNat(M), M, N) mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U13(X1, X2, X3)) -> a__U13(mark(X1), X2, X3) mark(U14(X1, X2, X3)) -> a__U14(mark(X1), X2, X3) mark(U15(X1, X2)) -> a__U15(mark(X1), X2) mark(U16(X)) -> a__U16(mark(X)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2, X3)) -> a__U32(mark(X1), X2, X3) mark(U33(X1, X2, X3)) -> a__U33(mark(X1), X2, X3) mark(U34(X1, X2, X3)) -> a__U34(mark(X1), X2, X3) mark(U35(X1, X2)) -> a__U35(mark(X1), X2) mark(U36(X)) -> a__U36(mark(X)) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X)) -> a__U51(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(U72(X1, X2)) -> a__U72(mark(X1), X2) mark(U81(X1, X2, X3)) -> a__U81(mark(X1), X2, X3) mark(U82(X1, X2, X3)) -> a__U82(mark(X1), X2, X3) mark(U83(X1, X2, X3)) -> a__U83(mark(X1), X2, X3) mark(U84(X1, X2, X3)) -> a__U84(mark(X1), X2, X3) mark(U91(X1, X2)) -> a__U91(mark(X1), X2) mark(U92(X)) -> a__U92(mark(X)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) a__x(X1, X2) -> x(X1, X2) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U13(X1, X2, X3) -> U13(X1, X2, X3) a__U14(X1, X2, X3) -> U14(X1, X2, X3) a__U15(X1, X2) -> U15(X1, X2) a__U16(X) -> U16(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2, X3) -> U32(X1, X2, X3) a__U33(X1, X2, X3) -> U33(X1, X2, X3) a__U34(X1, X2, X3) -> U34(X1, X2, X3) a__U35(X1, X2) -> U35(X1, X2) a__U36(X) -> U36(X) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X) -> U51(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__U72(X1, X2) -> U72(X1, X2) a__U81(X1, X2, X3) -> U81(X1, X2, X3) a__U82(X1, X2, X3) -> U82(X1, X2, X3) a__U83(X1, X2, X3) -> U83(X1, X2, X3) a__U84(X1, X2, X3) -> U84(X1, X2, X3) a__U91(X1, X2) -> U91(X1, X2) a__U92(X) -> U92(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2, x_3)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U102(x_1, x_2, x_3)) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U103(x_1, x_2, x_3)) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U104(x_1, x_2, x_3)) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U13(x_1, x_2, x_3)) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U14(x_1, x_2, x_3)) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U15(x_1, x_2)) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U16(x_1)) -> a__U16(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U23(x_1)) -> a__U23(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2, x_3)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U33(x_1, x_2, x_3)) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U34(x_1, x_2, x_3)) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U35(x_1, x_2)) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U36(x_1)) -> a__U36(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U42(x_1)) -> a__U42(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1)) -> a__U51(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U62(x_1)) -> a__U62(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U72(x_1, x_2)) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1, x_2, x_3)) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U82(x_1, x_2, x_3)) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U83(x_1, x_2, x_3)) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U84(x_1, x_2, x_3)) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U92(x_1)) -> a__U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U101(x_1, x_2, x_3) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U102(x_1, x_2, x_3) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__U103(x_1, x_2, x_3) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U104(x_1, x_2, x_3) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U13(x_1, x_2, x_3) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U14(x_1, x_2, x_3) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U15(x_1, x_2) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U16(x_1) -> a__U16(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1, x_2) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U23(x_1) -> a__U23(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2, x_3) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U32(x_1, x_2, x_3) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U33(x_1, x_2, x_3) -> a__U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U34(x_1, x_2, x_3) -> a__U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U35(x_1, x_2) -> a__U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U36(x_1) -> a__U36(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U42(x_1) -> a__U42(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1) -> a__U51(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U62(x_1) -> a__U62(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U72(x_1, x_2) -> a__U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U81(x_1, x_2, x_3) -> a__U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U82(x_1, x_2, x_3) -> a__U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U83(x_1, x_2, x_3) -> a__U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U84(x_1, x_2, x_3) -> a__U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__U91(x_1, x_2) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U92(x_1) -> a__U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U101(tt, M, N) -> a__U102(a__isNatKind(M), M, N) a__U102(tt, M, N) -> a__U103(a__isNat(N), M, N) a__U103(tt, M, N) -> a__U104(a__isNatKind(N), M, N) a__U104(tt, M, N) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N)) a__U11(tt, V1, V2) -> a__U12(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U12(tt, V1, V2) -> a__U13(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U13(tt, V1, V2) -> a__U14(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U14(tt, V1, V2) -> a__U15(a__isNat(V1), V2) a__U15(tt, V2) -> a__U16(a__isNat(V2)) a__U16(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V1, V2) -> a__U32(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U32(tt, V1, V2) -> a__U33(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U33(tt, V1, V2) -> a__U34(a__isNatKind(V2), V1, V2) a__U34(tt, V1, V2) -> a__U35(a__isNat(V1), V2) a__U35(tt, V2) -> a__U36(a__isNat(V2)) a__U36(tt) -> tt a__U41(tt, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V2)) a__U42(tt) -> tt a__U51(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt, N) -> a__U72(a__isNatKind(N), N) a__U72(tt, N) -> mark(N) a__U81(tt, M, N) -> a__U82(a__isNatKind(M), M, N) a__U82(tt, M, N) -> a__U83(a__isNat(N), M, N) a__U83(tt, M, N) -> a__U84(a__isNatKind(N), M, N) a__U84(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__U91(tt, N) -> a__U92(a__isNatKind(N)) a__U92(tt) -> 0 a__isNat(0) -> tt a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__U11(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNat(x(V1, V2)) -> a__U31(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(plus(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U51(a__isNatKind(V1)) a__isNatKind(x(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__plus(N, 0) -> a__U71(a__isNat(N), N) a__plus(N, s(M)) -> a__U81(a__isNat(M), M, N) a__x(N, 0) -> a__U91(a__isNat(N), N) a__x(N, s(M)) -> a__U101(a__isNat(M), M, N) mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2)) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(U13(X1, X2, X3)) -> a__U13(mark(X1), X2, X3) mark(U14(X1, X2, X3)) -> a__U14(mark(X1), X2, X3) mark(U15(X1, X2)) -> a__U15(mark(X1), X2) mark(U16(X)) -> a__U16(mark(X)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2, X3)) -> a__U31(mark(X1), X2, X3) mark(U32(X1, X2, X3)) -> a__U32(mark(X1), X2, X3) mark(U33(X1, X2, X3)) -> a__U33(mark(X1), X2, X3) mark(U34(X1, X2, X3)) -> a__U34(mark(X1), X2, X3) mark(U35(X1, X2)) -> a__U35(mark(X1), X2) mark(U36(X)) -> a__U36(mark(X)) mark(U41(X1, X2)) -> a__U41(mark(X1), X2) mark(U42(X)) -> a__U42(mark(X)) mark(U51(X)) -> a__U51(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(U72(X1, X2)) -> a__U72(mark(X1), X2) mark(U81(X1, X2, X3)) -> a__U81(mark(X1), X2, X3) mark(U82(X1, X2, X3)) -> a__U82(mark(X1), X2, X3) mark(U83(X1, X2, X3)) -> a__U83(mark(X1), X2, X3) mark(U84(X1, X2, X3)) -> a__U84(mark(X1), X2, X3) mark(U91(X1, X2)) -> a__U91(mark(X1), X2) mark(U92(X)) -> a__U92(mark(X)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) a__x(X1, X2) -> x(X1, X2) a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__U13(X1, X2, X3) -> U13(X1, X2, X3) a__U14(X1, X2, X3) -> U14(X1, X2, X3) a__U15(X1, X2) -> U15(X1, X2) a__U16(X) -> U16(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2, X3) -> U31(X1, X2, X3) a__U32(X1, X2, X3) -> U32(X1, X2, X3) a__U33(X1, X2, X3) -> U33(X1, X2, X3) a__U34(X1, X2, X3) -> U34(X1, X2, X3) a__U35(X1, X2) -> U35(X1, X2) a__U36(X) -> U36(X) a__U41(X1, X2) -> U41(X1, X2) a__U42(X) -> U42(X) a__U51(X) -> U51(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__U72(X1, X2) -> U72(X1, X2) a__U81(X1, X2, X3) -> U81(X1, X2, X3) a__U82(X1, X2, X3) -> U82(X1, X2, X3) a__U83(X1, X2, X3) -> U83(X1, X2, X3) a__U84(X1, X2, X3) -> U84(X1, X2, X3) a__U91(X1, X2) -> U91(X1, X2) a__U92(X) -> U92(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U101(x_1, x_2, x_3)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U102(x_1, x_2, x_3)) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U103(x_1, x_2, x_3)) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U104(x_1, x_2, x_3)) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U13(x_1, x_2, x_3)) -> a__U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U14(x_1, x_2, x_3)) -> a__U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U15(x_1, x_2)) -> a__U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U16(x_1)) -> a__U16(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U23(x_1)) -> a__U23(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2, x_3)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) 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x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), 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-> U92(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (13) DecreasingLoopProof (FINISHED) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound EXP: The rewrite sequence mark(U104(tt, X2, X3)) ->^+ a__plus(a__x(mark(X3), mark(X2)), mark(X3)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0]. The pumping substitution is [X3 / U104(tt, X2, X3)]. The result substitution is [ ]. The rewrite sequence mark(U104(tt, X2, X3)) ->^+ a__plus(a__x(mark(X3), mark(X2)), mark(X3)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1]. The pumping substitution is [X3 / U104(tt, X2, X3)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (14) BOUNDS(EXP, INF)