/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 422 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 440 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 160 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 163 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 161 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 127 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 167 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 97 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 156 ms] (30) typed CpxTrs (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 58.9 s] (32) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0) active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0)) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0)) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, s, plus, x, and, isNat, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active plus < active x < active and < active isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < top active < encArg s < proper s < encArg plus < proper plus < encArg x < proper x < encArg and < proper and < encArg isNat < proper isNat < encArg U11 < proper U11 < encArg U21 < proper U21 < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, plus, x, and, isNat, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active plus < active x < active and < active isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < top active < encArg s < proper s < encArg plus < proper plus < encArg x < proper x < encArg and < proper and < encArg isNat < proper isNat < encArg U11 < proper U11 < encArg U21 < proper U21 < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4)))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, plus, x, and, isNat, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active plus < active x < active and < active isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < top active < encArg s < proper s < encArg plus < proper plus < encArg x < proper x < encArg and < proper and < encArg isNat < proper isNat < encArg U11 < proper U11 < encArg U21 < proper U21 < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, active, x, and, isNat, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < active x < active and < active isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < top active < encArg plus < proper plus < encArg x < proper x < encArg and < proper and < encArg isNat < proper isNat < encArg U11 < proper U11 < encArg U21 < proper U21 < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n795_4) Induction Base: plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) Induction Step: plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n795_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1) mark(plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n795_4) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: x, active, and, isNat, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: x < active and < active isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < top active < encArg x < proper x < encArg and < proper and < encArg isNat < proper isNat < encArg U11 < proper U11 < encArg U21 < proper U21 < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n3201_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n3201_4) Induction Base: x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) Induction Step: x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n3201_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1) mark(x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n3201_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n795_4) x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n3201_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n3201_4) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: and, active, isNat, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: and < active isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < top active < encArg and < proper and < encArg isNat < proper isNat < encArg U11 < proper U11 < encArg U21 < proper U21 < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5911_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5911_4) Induction Base: and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) Induction Step: and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n5911_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1) mark(and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5911_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n795_4) x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n3201_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n3201_4) and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5911_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5911_4) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isNat, active, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: isNat < active U11 < active U21 < active U31 < active U41 < active active < top active < encArg isNat < proper isNat < encArg U11 < proper U11 < encArg U21 < proper U21 < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8930_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8930_4) Induction Base: U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) Induction Step: U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n8930_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1) mark(U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8930_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n795_4) x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n3201_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n3201_4) and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5911_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5911_4) U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8930_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8930_4) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U21, active, U31, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U21 < active U31 < active U41 < active active < top active < encArg U21 < proper U21 < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n12233_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n12233_4) Induction Base: U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) Induction Step: U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n12233_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) ->_R^Omega(1) mark(U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n12233_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n795_4) x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n3201_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n3201_4) and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5911_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5911_4) U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8930_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8930_4) U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n12233_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n12233_4) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U31, active, U41, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U31 < active U41 < active active < top active < encArg U31 < proper U31 < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n17959_4))) -> *3_4, rt in Omega(n17959_4) Induction Base: U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0))) Induction Step: U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n17959_4, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n17959_4)))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (28) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n795_4) x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n3201_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n3201_4) and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5911_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5911_4) U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8930_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8930_4) U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n12233_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n12233_4) U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n17959_4))) -> *3_4, rt in Omega(n17959_4) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U41, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U41 < active active < top active < encArg U41 < proper U41 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n19650_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n19650_4) Induction Base: U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) Induction Step: U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n19650_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) ->_R^Omega(1) mark(U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n19650_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c))) ->_IH mark(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (30) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(U11(tt, N)) -> mark(N) active(U21(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M))) active(U31(tt)) -> mark(0') active(U41(tt, M, N)) -> mark(plus(x(N, M), N)) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isNat(0')) -> mark(tt) active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(isNat(s(V1))) -> mark(isNat(V1)) active(isNat(x(V1, V2))) -> mark(and(isNat(V1), isNat(V2))) active(plus(N, 0')) -> mark(U11(isNat(N), N)) active(plus(N, s(M))) -> mark(U21(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(x(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N))) active(x(N, s(M))) -> mark(U41(and(isNat(M), isNat(N)), M, N)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(s(X)) -> s(active(X)) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(U31(X)) -> U31(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(x(X1, X2)) -> x(active(X1), X2) active(x(X1, X2)) -> x(X1, active(X2)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) U31(mark(X)) -> mark(U31(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) x(mark(X1), X2) -> mark(x(X1, X2)) x(X1, mark(X2)) -> mark(x(X1, X2)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(U31(X)) -> U31(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(x(X1, X2)) -> x(proper(X1), proper(X2)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) U31(ok(X)) -> ok(U31(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) x(ok(X1), ok(X2)) -> ok(x(X1, X2)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1)) -> U31(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1) -> U31(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_x :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n795_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n795_4) x(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n3201_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n3201_4) and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5911_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5911_4) U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8930_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8930_4) U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n12233_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n12233_4) U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n17959_4))) -> *3_4, rt in Omega(n17959_4) U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n19650_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n19650_4) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(n15702042_4)) -> gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(n15702042_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0)) ->_R^Omega(0) tt Induction Step: encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(n15702042_4, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(n15702042_4))) ->_IH mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U21:cons_s:cons_plus:cons_U31:cons_U41:cons_x:cons_and:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c15702043_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (32) BOUNDS(1, INF)