/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 309 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 456 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 155 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 114 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 128 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 616 ms] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top __ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encArg :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top hole_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, __, U12, U11, isNePal, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: __ < active U12 < active U11 < active isNePal < active active < top active < encArg __ < proper __ < encArg U12 < proper U12 < encArg U11 < proper U11 < encArg isNePal < proper isNePal < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top __ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encArg :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top hole_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: __, active, U12, U11, isNePal, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: __ < active U12 < active U11 < active isNePal < active active < top active < encArg __ < proper __ < encArg U12 < proper U12 < encArg U11 < proper U11 < encArg isNePal < proper isNePal < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: __(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Induction Base: __(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(b)) Induction Step: __(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n4_0, 1))), gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(__(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(b))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top __ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encArg :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top hole_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: __, active, U12, U11, isNePal, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: __ < active U12 < active U11 < active isNePal < active active < top active < encArg __ < proper __ < encArg U12 < proper U12 < encArg U11 < proper U11 < encArg isNePal < proper isNePal < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top __ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encArg :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top hole_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U12, active, U11, isNePal, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U12 < active U11 < active isNePal < active active < top active < encArg U12 < proper U12 < encArg U11 < proper U11 < encArg isNePal < proper isNePal < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U12(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1538_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1538_0) Induction Base: U12(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: U12(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n1538_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U12(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1538_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top __ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encArg :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top hole_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) U12(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1538_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1538_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U11, active, isNePal, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 < active isNePal < active active < top active < encArg U11 < proper U11 < encArg isNePal < proper isNePal < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U11(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n2257_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2257_0) Induction Base: U11(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: U11(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n2257_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U11(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n2257_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top __ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encArg :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top hole_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) U12(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1538_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1538_0) U11(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n2257_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2257_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isNePal, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: isNePal < active active < top active < encArg isNePal < proper isNePal < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: isNePal(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3077_0))) -> *3_0, rt in Omega(n3077_0) Induction Base: isNePal(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: isNePal(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n3077_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(isNePal(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3077_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt)) -> mark(U12(tt)) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(U11(tt)) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X)) -> U11(active(X)) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(isNePal(X)) -> isNePal(active(X)) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X)) -> mark(U11(X)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) isNePal(mark(X)) -> mark(isNePal(X)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X)) -> U11(proper(X)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X)) -> ok(U11(X)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons___(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1)) -> U11(encArg(x_1)) encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(cons_isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U11(x_1) -> U11(encArg(x_1)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top __ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encArg :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode___ :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U11 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_tt :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_U12 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_isNePal :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top hole_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) U12(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1538_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1538_0) U11(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n2257_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2257_0) isNePal(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3077_0))) -> *3_0, rt in Omega(n3077_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(n6154_0)) -> gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(n6154_0), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(+(n6154_0, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(n6154_0))) ->_IH mark(gen_mark:nil:tt:ok:cons_active:cons___:cons_U11:cons_U12:cons_isNePal:cons_proper:cons_top2_0(c6155_0)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)