/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 268 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 314 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 151 ms]
        (18) BEST
            (19) proven lower bound
                (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (21) BOUNDS(n^2, INF)
            (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 38 ms]
                (24) typed CpxTrs
                (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1211 ms]
                (26) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0), s(0)))
   a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
   a__add(0, X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__sel(0, cons(X, XS)) -> mark(X)
   a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
   mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
   mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
   mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
   a__fib(X) -> fib(X)
   a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
   a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
   encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
   encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0), s(0)))
   a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
   a__add(0, X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__sel(0, cons(X, XS)) -> mark(X)
   a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
   mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
   mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
   mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
   a__fib(X) -> fib(X)
   a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
   a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
   encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
   encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0), s(0)))
   a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
   a__add(0, X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__sel(0, cons(X, XS)) -> mark(X)
   a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
   mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
   mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
   mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
   a__fib(X) -> fib(X)
   a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
   a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
   encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
   encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
   a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
   a__add(0', X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
   a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
   mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
   mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
   mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0') -> 0'
   mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
   a__fib(X) -> fib(X)
   a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
   a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0') -> 0'
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
   encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
   encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0'
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encArg :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark1_3 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__fib, a__sel, mark, a__fib1, a__add, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__fib < encArg
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
a__sel < encArg
mark = a__fib1
mark = a__add
mark < encArg
a__fib1 = a__add
a__fib1 < encArg
a__add < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encArg :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark1_3 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__sel, a__fib, mark, a__fib1, a__add, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__fib < encArg
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
a__sel < encArg
mark = a__fib1
mark = a__add
mark < encArg
a__fib1 = a__add
a__fib1 < encArg
a__add < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3), rt in Omega(1 + n26_3)

Induction Base:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(n26_3, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3))) ->_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(c27_3))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encArg :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark1_3 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__fib, a__fib1, a__add, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__fib < encArg
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
a__sel < encArg
mark = a__fib1
mark = a__add
mark < encArg
a__fib1 = a__add
a__fib1 < encArg
a__add < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encArg :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark1_3 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3), rt in Omega(1 + n26_3)


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__fib, a__sel, a__fib1, a__add, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__fib < encArg
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
a__sel < encArg
mark = a__fib1
mark = a__add
mark < encArg
a__fib1 = a__add
a__fib1 < encArg
a__add < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n5133_3), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(n5133_3, b)), rt in Omega(1 + b + b*n5133_3 + n5133_3 + n5133_3^2)

Induction Base:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)) ->_R^Omega(1)
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)) ->_L^Omega(1 + b)
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)

Induction Step:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(n5133_3, 1)), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)) ->_R^Omega(1)
s(a__add(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n5133_3)), mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)))) ->_L^Omega(1 + n5133_3)
s(a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n5133_3), mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)))) ->_L^Omega(1 + b)
s(a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n5133_3), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b))) ->_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(b, c5134_3)))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(18)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(19)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encArg :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark1_3 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3), rt in Omega(1 + n26_3)


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__add, a__sel, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__fib < encArg
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
a__sel < encArg
mark = a__fib1
mark = a__add
mark < encArg
a__fib1 = a__add
a__fib1 < encArg
a__add < encArg

----------------------------------------

(20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(21)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encArg :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark1_3 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n26_3), rt in Omega(1 + n26_3)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n5133_3), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(n5133_3, b)), rt in Omega(1 + b + b*n5133_3 + n5133_3 + n5133_3^2)


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__sel, a__fib, mark, a__fib1, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__fib < encArg
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
a__sel < encArg
mark = a__fib1
mark = a__add
mark < encArg
a__fib1 = a__add
a__fib1 < encArg
a__add < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n7870_3)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n7870_3), rt in Omega(1 + n7870_3)

Induction Base:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(n7870_3, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n7870_3))) ->_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(c7871_3))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1))
encArg(sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fib(x_1)) -> a__fib(encArg(x_1))
encArg(cons_a__fib1(x_1, x_2)) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__sel(x_1, x_2)) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib(x_1) -> a__fib(encArg(x_1))
encode_a__sel(x_1, x_2) -> a__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fib1(x_1, x_2) -> a__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1))
encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encArg :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
cons_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
encode_sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark1_3 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n7870_3)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n7870_3), rt in Omega(1 + n7870_3)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n5133_3), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(b)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(n5133_3, b)), rt in Omega(1 + b + b*n5133_3 + n5133_3 + n5133_3^2)


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__fib, a__fib1, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__fib < encArg
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
a__sel < encArg
mark = a__fib1
mark = a__add
mark < encArg
a__fib1 = a__add
a__fib1 < encArg
a__add < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n12994_3)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n12994_3), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(+(n12994_3, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(n12994_3))) ->_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel:cons_a__fib:cons_a__fib1:cons_a__add:cons_a__sel:cons_mark2_3(c12995_3))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(26)
BOUNDS(1, INF)