/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 1560 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, M, N) -> U102(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U102(tt, M, N) -> U103(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U103(tt, M, N) -> U104(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U104(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N)) U11(tt, V1, V2) -> U12(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U12(tt, V1, V2) -> U13(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U13(tt, V1, V2) -> U14(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U14(tt, V1, V2) -> U15(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U15(tt, V2) -> U16(isNat(activate(V2))) U16(tt) -> tt U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V1, V2) -> U32(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U32(tt, V1, V2) -> U33(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U33(tt, V1, V2) -> U34(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U34(tt, V1, V2) -> U35(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U35(tt, V2) -> U36(isNat(activate(V2))) U36(tt) -> tt U41(tt, V2) -> U42(isNatKind(activate(V2))) U42(tt) -> tt U51(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt, N) -> U72(isNatKind(activate(N)), activate(N)) U72(tt, N) -> activate(N) U81(tt, M, N) -> U82(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U82(tt, M, N) -> U83(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U83(tt, M, N) -> U84(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U84(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) U91(tt, N) -> U92(isNatKind(activate(N))) U92(tt) -> 0 isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__x(V1, V2)) -> U31(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__plus(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__s(V1)) -> U51(isNatKind(activate(V1))) isNatKind(n__x(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) plus(N, 0) -> U71(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U81(isNat(M), M, N) x(N, 0) -> U91(isNat(N), N) x(N, s(M)) -> U101(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) x(X1, X2) -> n__x(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__x(X1, X2)) -> x(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__x(x_1, x_2)) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__x(x_1, x_2) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, M, N) -> U102(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U102(tt, M, N) -> U103(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U103(tt, M, N) -> U104(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U104(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N)) U11(tt, V1, V2) -> U12(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U12(tt, V1, V2) -> U13(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U13(tt, V1, V2) -> U14(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U14(tt, V1, V2) -> U15(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U15(tt, V2) -> U16(isNat(activate(V2))) U16(tt) -> tt U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V1, V2) -> U32(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U32(tt, V1, V2) -> U33(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U33(tt, V1, V2) -> U34(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U34(tt, V1, V2) -> U35(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U35(tt, V2) -> U36(isNat(activate(V2))) U36(tt) -> tt U41(tt, V2) -> U42(isNatKind(activate(V2))) U42(tt) -> tt U51(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt, N) -> U72(isNatKind(activate(N)), activate(N)) U72(tt, N) -> activate(N) U81(tt, M, N) -> U82(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U82(tt, M, N) -> U83(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U83(tt, M, N) -> U84(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U84(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) U91(tt, N) -> U92(isNatKind(activate(N))) U92(tt) -> 0 isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__x(V1, V2)) -> U31(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__plus(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__s(V1)) -> U51(isNatKind(activate(V1))) isNatKind(n__x(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) plus(N, 0) -> U71(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U81(isNat(M), M, N) x(N, 0) -> U91(isNat(N), N) x(N, s(M)) -> U101(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) x(X1, X2) -> n__x(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__x(X1, X2)) -> x(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__x(x_1, x_2)) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__x(x_1, x_2) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, M, N) -> U102(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U102(tt, M, N) -> U103(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U103(tt, M, N) -> U104(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U104(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N)) U11(tt, V1, V2) -> U12(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U12(tt, V1, V2) -> U13(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U13(tt, V1, V2) -> U14(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U14(tt, V1, V2) -> U15(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U15(tt, V2) -> U16(isNat(activate(V2))) U16(tt) -> tt U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V1, V2) -> U32(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U32(tt, V1, V2) -> U33(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U33(tt, V1, V2) -> U34(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U34(tt, V1, V2) -> U35(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U35(tt, V2) -> U36(isNat(activate(V2))) U36(tt) -> tt U41(tt, V2) -> U42(isNatKind(activate(V2))) U42(tt) -> tt U51(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt, N) -> U72(isNatKind(activate(N)), activate(N)) U72(tt, N) -> activate(N) U81(tt, M, N) -> U82(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U82(tt, M, N) -> U83(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U83(tt, M, N) -> U84(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U84(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) U91(tt, N) -> U92(isNatKind(activate(N))) U92(tt) -> 0 isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__x(V1, V2)) -> U31(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__plus(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__s(V1)) -> U51(isNatKind(activate(V1))) isNatKind(n__x(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) plus(N, 0) -> U71(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U81(isNat(M), M, N) x(N, 0) -> U91(isNat(N), N) x(N, s(M)) -> U101(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) x(X1, X2) -> n__x(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__x(X1, X2)) -> x(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__x(x_1, x_2)) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__x(x_1, x_2) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, M, N) -> U102(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U102(tt, M, N) -> U103(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U103(tt, M, N) -> U104(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U104(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N)) U11(tt, V1, V2) -> U12(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U12(tt, V1, V2) -> U13(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U13(tt, V1, V2) -> U14(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U14(tt, V1, V2) -> U15(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U15(tt, V2) -> U16(isNat(activate(V2))) U16(tt) -> tt U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V1, V2) -> U32(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U32(tt, V1, V2) -> U33(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U33(tt, V1, V2) -> U34(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U34(tt, V1, V2) -> U35(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U35(tt, V2) -> U36(isNat(activate(V2))) U36(tt) -> tt U41(tt, V2) -> U42(isNatKind(activate(V2))) U42(tt) -> tt U51(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt, N) -> U72(isNatKind(activate(N)), activate(N)) U72(tt, N) -> activate(N) U81(tt, M, N) -> U82(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U82(tt, M, N) -> U83(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U83(tt, M, N) -> U84(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U84(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) U91(tt, N) -> U92(isNatKind(activate(N))) U92(tt) -> 0 isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__x(V1, V2)) -> U31(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__plus(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__s(V1)) -> U51(isNatKind(activate(V1))) isNatKind(n__x(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) plus(N, 0) -> U71(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U81(isNat(M), M, N) x(N, 0) -> U91(isNat(N), N) x(N, s(M)) -> U101(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) x(X1, X2) -> n__x(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__x(X1, X2)) -> x(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__x(x_1, x_2)) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__x(x_1, x_2) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence activate(n__s(X)) ->^+ s(activate(X)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [X / n__s(X)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, M, N) -> U102(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U102(tt, M, N) -> U103(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U103(tt, M, N) -> U104(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U104(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N)) U11(tt, V1, V2) -> U12(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U12(tt, V1, V2) -> U13(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U13(tt, V1, V2) -> U14(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U14(tt, V1, V2) -> U15(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U15(tt, V2) -> U16(isNat(activate(V2))) U16(tt) -> tt U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V1, V2) -> U32(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U32(tt, V1, V2) -> U33(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U33(tt, V1, V2) -> U34(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U34(tt, V1, V2) -> U35(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U35(tt, V2) -> U36(isNat(activate(V2))) U36(tt) -> tt U41(tt, V2) -> U42(isNatKind(activate(V2))) U42(tt) -> tt U51(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt, N) -> U72(isNatKind(activate(N)), activate(N)) U72(tt, N) -> activate(N) U81(tt, M, N) -> U82(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U82(tt, M, N) -> U83(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U83(tt, M, N) -> U84(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U84(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) U91(tt, N) -> U92(isNatKind(activate(N))) U92(tt) -> 0 isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__x(V1, V2)) -> U31(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__plus(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__s(V1)) -> U51(isNatKind(activate(V1))) isNatKind(n__x(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) plus(N, 0) -> U71(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U81(isNat(M), M, N) x(N, 0) -> U91(isNat(N), N) x(N, s(M)) -> U101(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) x(X1, X2) -> n__x(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__x(X1, X2)) -> x(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__x(x_1, x_2)) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__x(x_1, x_2) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, M, N) -> U102(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U102(tt, M, N) -> U103(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U103(tt, M, N) -> U104(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U104(tt, M, N) -> plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N)) U11(tt, V1, V2) -> U12(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U12(tt, V1, V2) -> U13(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U13(tt, V1, V2) -> U14(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U14(tt, V1, V2) -> U15(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U15(tt, V2) -> U16(isNat(activate(V2))) U16(tt) -> tt U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V1, V2) -> U32(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U32(tt, V1, V2) -> U33(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U33(tt, V1, V2) -> U34(isNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U34(tt, V1, V2) -> U35(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U35(tt, V2) -> U36(isNat(activate(V2))) U36(tt) -> tt U41(tt, V2) -> U42(isNatKind(activate(V2))) U42(tt) -> tt U51(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt, N) -> U72(isNatKind(activate(N)), activate(N)) U72(tt, N) -> activate(N) U81(tt, M, N) -> U82(isNatKind(activate(M)), activate(M), activate(N)) U82(tt, M, N) -> U83(isNat(activate(N)), activate(M), activate(N)) U83(tt, M, N) -> U84(isNatKind(activate(N)), activate(M), activate(N)) U84(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) U91(tt, N) -> U92(isNatKind(activate(N))) U92(tt) -> 0 isNat(n__0) -> tt isNat(n__plus(V1, V2)) -> U11(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__x(V1, V2)) -> U31(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__plus(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__s(V1)) -> U51(isNatKind(activate(V1))) isNatKind(n__x(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) plus(N, 0) -> U71(isNat(N), N) plus(N, s(M)) -> U81(isNat(M), M, N) x(N, 0) -> U91(isNat(N), N) x(N, s(M)) -> U101(isNat(M), M, N) 0 -> n__0 plus(X1, X2) -> n__plus(X1, X2) s(X) -> n__s(X) x(X1, X2) -> n__x(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__plus(X1, X2)) -> plus(activate(X1), activate(X2)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__x(X1, X2)) -> x(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__plus(x_1, x_2)) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__x(x_1, x_2)) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U15(x_1, x_2)) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U16(x_1)) -> U16(encArg(x_1)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U34(x_1, x_2, x_3)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U35(x_1, x_2)) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U36(x_1)) -> U36(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U42(x_1)) -> U42(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1)) -> U51(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U82(x_1, x_2, x_3)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U83(x_1, x_2, x_3)) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U84(x_1, x_2, x_3)) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U15(x_1, x_2) -> U15(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U16(x_1) -> U16(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U34(x_1, x_2, x_3) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U35(x_1, x_2) -> U35(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U36(x_1) -> U36(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U42(x_1) -> U42(encArg(x_1)) encode_U51(x_1) -> U51(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1, x_2, x_3) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U82(x_1, x_2, x_3) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U83(x_1, x_2, x_3) -> U83(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U84(x_1, x_2, x_3) -> U84(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_n__0 -> n__0 encode_n__plus(x_1, x_2) -> n__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__x(x_1, x_2) -> n__x(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST