/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 3495 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 2 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U101(tt, V1, V2) -> a__U102(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U102(tt, V1, V2) -> a__U103(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U103(tt, V1, V2) -> a__U104(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U104(tt, V1, V2) -> a__U105(a__isNat(V1), V2) a__U105(tt, V2) -> a__U106(a__isNatIList(V2)) a__U106(tt) -> tt a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatIListKind(V1), V1) a__U111(tt, L, N) -> a__U112(a__isNatIListKind(L), L, N) a__U112(tt, L, N) -> a__U113(a__isNat(N), L, N) a__U113(tt, L, N) -> a__U114(a__isNatKind(N), L) a__U114(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U12(tt, V1) -> a__U13(a__isNatList(V1)) a__U121(tt, IL) -> a__U122(a__isNatIListKind(IL)) a__U122(tt) -> nil a__U13(tt) -> tt a__U131(tt, IL, M, N) -> a__U132(a__isNatIListKind(IL), IL, M, N) a__U132(tt, IL, M, N) -> a__U133(a__isNat(M), IL, M, N) a__U133(tt, IL, M, N) -> a__U134(a__isNatKind(M), IL, M, N) a__U134(tt, IL, M, N) -> a__U135(a__isNat(N), IL, M, N) a__U135(tt, IL, M, N) -> a__U136(a__isNatKind(N), IL, M, N) a__U136(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatIListKind(V), V) a__U32(tt, V) -> a__U33(a__isNatList(V)) a__U33(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U42(tt, V1, V2) -> a__U43(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U43(tt, V1, V2) -> a__U44(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U44(tt, V1, V2) -> a__U45(a__isNat(V1), V2) a__U45(tt, V2) -> a__U46(a__isNatIList(V2)) a__U46(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isNatIListKind(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatIListKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt, V1, V2) -> a__U92(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U92(tt, V1, V2) -> a__U93(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U93(tt, V1, V2) -> a__U94(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U94(tt, V1, V2) -> a__U95(a__isNat(V1), V2) a__U95(tt, V2) -> a__U96(a__isNatList(V2)) a__U96(tt) -> tt a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__U71(a__isNatIListKind(V1)) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U81(a__isNatKind(V1)) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U91(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U111(a__isNatList(L), L, N) a__take(0, IL) -> a__U121(a__isNatIList(IL), IL) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U131(a__isNatIList(IL), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(U105(X1, X2)) -> a__U105(mark(X1), X2) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U106(X)) -> a__U106(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) mark(U111(X1, X2, X3)) -> a__U111(mark(X1), X2, X3) mark(U112(X1, X2, X3)) -> a__U112(mark(X1), X2, X3) mark(U113(X1, X2, X3)) -> a__U113(mark(X1), X2, X3) mark(U114(X1, X2)) -> a__U114(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U121(X1, X2)) -> a__U121(mark(X1), X2) mark(U122(X)) -> a__U122(mark(X)) mark(U131(X1, X2, X3, X4)) -> a__U131(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U132(X1, X2, X3, X4)) -> a__U132(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U133(X1, X2, X3, X4)) -> a__U133(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U134(X1, X2, X3, X4)) -> a__U134(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U135(X1, X2, X3, X4)) -> a__U135(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U136(X1, X2, X3, X4)) -> a__U136(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U33(X)) -> a__U33(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(U43(X1, X2, X3)) -> a__U43(mark(X1), X2, X3) mark(U44(X1, X2, X3)) -> a__U44(mark(X1), X2, X3) mark(U45(X1, X2)) -> a__U45(mark(X1), X2) mark(U46(X)) -> a__U46(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3) mark(U92(X1, X2, X3)) -> a__U92(mark(X1), X2, X3) mark(U93(X1, X2, X3)) -> a__U93(mark(X1), X2, X3) mark(U94(X1, X2, X3)) -> a__U94(mark(X1), X2, X3) mark(U95(X1, X2)) -> a__U95(mark(X1), X2) mark(U96(X)) -> a__U96(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__U105(X1, X2) -> U105(X1, X2) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U106(X) -> U106(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) a__U111(X1, X2, X3) -> U111(X1, X2, X3) a__U112(X1, X2, X3) -> U112(X1, X2, X3) a__U113(X1, X2, X3) -> U113(X1, X2, X3) a__U114(X1, X2) -> U114(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U13(X) -> U13(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U121(X1, X2) -> U121(X1, X2) a__U122(X) -> U122(X) a__U131(X1, X2, X3, X4) -> U131(X1, X2, X3, X4) a__U132(X1, X2, X3, X4) -> U132(X1, X2, X3, X4) a__U133(X1, X2, X3, X4) -> U133(X1, X2, X3, X4) a__U134(X1, X2, X3, X4) -> U134(X1, X2, X3, X4) a__U135(X1, X2, X3, X4) -> U135(X1, X2, X3, X4) a__U136(X1, X2, X3, X4) -> U136(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U33(X) -> U33(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__U43(X1, X2, X3) -> U43(X1, X2, X3) a__U44(X1, X2, X3) -> U44(X1, X2, X3) a__U45(X1, X2) -> U45(X1, X2) a__U46(X) -> U46(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3) -> U91(X1, X2, X3) a__U92(X1, X2, X3) -> U92(X1, X2, X3) a__U93(X1, X2, X3) -> U93(X1, X2, X3) a__U94(X1, X2, X3) -> U94(X1, X2, X3) a__U95(X1, X2) -> U95(X1, X2) a__U96(X) -> U96(X) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U33(x_1)) -> U33(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1, x_2, x_3)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U92(x_1, x_2, x_3)) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U93(x_1, x_2, x_3)) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U94(x_1, x_2, x_3)) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U95(x_1, x_2)) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U96(x_1)) -> U96(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__U101(x_1, x_2, x_3)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U102(x_1, x_2, x_3)) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U103(x_1, x_2, x_3)) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U104(x_1, x_2, x_3)) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U105(x_1, x_2)) -> a__U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U106(x_1)) -> a__U106(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U111(x_1, x_2, x_3)) -> a__U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U112(x_1, x_2, x_3)) -> a__U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U113(x_1, x_2, x_3)) -> a__U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U114(x_1, x_2)) -> a__U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U121(x_1, x_2)) -> a__U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U122(x_1)) -> a__U122(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U13(x_1)) -> a__U13(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U133(encArg(x_1), encArg(x_2), 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The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U101(tt, V1, V2) -> a__U102(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U102(tt, V1, V2) -> a__U103(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U103(tt, V1, V2) -> a__U104(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U104(tt, V1, V2) -> a__U105(a__isNat(V1), V2) a__U105(tt, V2) -> a__U106(a__isNatIList(V2)) a__U106(tt) -> tt a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatIListKind(V1), V1) a__U111(tt, L, N) -> a__U112(a__isNatIListKind(L), L, N) a__U112(tt, L, N) -> a__U113(a__isNat(N), L, N) a__U113(tt, L, N) -> a__U114(a__isNatKind(N), L) a__U114(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U12(tt, V1) -> a__U13(a__isNatList(V1)) a__U121(tt, IL) -> a__U122(a__isNatIListKind(IL)) a__U122(tt) -> nil a__U13(tt) -> tt a__U131(tt, IL, M, N) -> a__U132(a__isNatIListKind(IL), IL, M, N) a__U132(tt, IL, M, N) -> a__U133(a__isNat(M), IL, M, N) a__U133(tt, IL, M, N) -> a__U134(a__isNatKind(M), IL, M, N) a__U134(tt, IL, M, N) -> a__U135(a__isNat(N), IL, M, N) a__U135(tt, IL, M, N) -> a__U136(a__isNatKind(N), IL, M, N) a__U136(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatIListKind(V), V) a__U32(tt, V) -> a__U33(a__isNatList(V)) a__U33(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U42(tt, V1, V2) -> a__U43(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U43(tt, V1, V2) -> a__U44(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U44(tt, V1, V2) -> a__U45(a__isNat(V1), V2) a__U45(tt, V2) -> a__U46(a__isNatIList(V2)) a__U46(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isNatIListKind(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatIListKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt, V1, V2) -> a__U92(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U92(tt, V1, V2) -> a__U93(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U93(tt, V1, V2) -> a__U94(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U94(tt, V1, V2) -> a__U95(a__isNat(V1), V2) a__U95(tt, V2) -> a__U96(a__isNatList(V2)) a__U96(tt) -> tt a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__U71(a__isNatIListKind(V1)) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U81(a__isNatKind(V1)) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U91(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U111(a__isNatList(L), L, N) a__take(0, IL) -> a__U121(a__isNatIList(IL), IL) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U131(a__isNatIList(IL), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(U105(X1, X2)) -> a__U105(mark(X1), X2) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U106(X)) -> a__U106(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) mark(U111(X1, X2, X3)) -> a__U111(mark(X1), X2, X3) mark(U112(X1, X2, X3)) -> a__U112(mark(X1), X2, X3) mark(U113(X1, X2, X3)) -> a__U113(mark(X1), X2, X3) mark(U114(X1, X2)) -> a__U114(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U121(X1, X2)) -> a__U121(mark(X1), X2) mark(U122(X)) -> a__U122(mark(X)) mark(U131(X1, X2, X3, X4)) -> a__U131(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U132(X1, X2, X3, X4)) -> a__U132(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U133(X1, X2, X3, X4)) -> a__U133(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U134(X1, X2, X3, X4)) -> a__U134(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U135(X1, X2, X3, X4)) -> a__U135(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U136(X1, X2, X3, X4)) -> a__U136(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U33(X)) -> a__U33(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(U43(X1, X2, X3)) -> a__U43(mark(X1), X2, X3) mark(U44(X1, X2, X3)) -> a__U44(mark(X1), X2, X3) mark(U45(X1, X2)) -> a__U45(mark(X1), X2) mark(U46(X)) -> a__U46(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3) mark(U92(X1, X2, X3)) -> a__U92(mark(X1), X2, X3) mark(U93(X1, X2, X3)) -> a__U93(mark(X1), X2, X3) mark(U94(X1, X2, X3)) -> a__U94(mark(X1), X2, X3) mark(U95(X1, X2)) -> a__U95(mark(X1), X2) mark(U96(X)) -> a__U96(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__U105(X1, X2) -> U105(X1, X2) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U106(X) -> U106(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) a__U111(X1, X2, X3) -> U111(X1, X2, X3) a__U112(X1, X2, X3) -> U112(X1, X2, X3) a__U113(X1, X2, X3) -> U113(X1, X2, X3) a__U114(X1, X2) -> U114(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U13(X) -> U13(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U121(X1, X2) -> U121(X1, X2) a__U122(X) -> U122(X) a__U131(X1, X2, X3, X4) -> U131(X1, X2, X3, X4) a__U132(X1, X2, X3, X4) -> U132(X1, X2, X3, X4) a__U133(X1, X2, X3, X4) -> U133(X1, X2, X3, X4) a__U134(X1, X2, X3, X4) -> U134(X1, X2, X3, X4) a__U135(X1, X2, X3, X4) -> U135(X1, X2, X3, X4) a__U136(X1, X2, X3, X4) -> U136(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U33(X) -> U33(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__U43(X1, X2, X3) -> U43(X1, X2, X3) a__U44(X1, X2, X3) -> U44(X1, X2, X3) a__U45(X1, X2) -> U45(X1, X2) a__U46(X) -> U46(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3) -> U91(X1, X2, X3) a__U92(X1, X2, X3) -> U92(X1, X2, X3) a__U93(X1, X2, X3) -> U93(X1, X2, X3) a__U94(X1, X2, X3) -> U94(X1, X2, X3) a__U95(X1, X2) -> U95(X1, X2) a__U96(X) -> U96(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U33(x_1)) -> U33(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1, x_2, x_3)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U92(x_1, x_2, x_3)) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U93(x_1, x_2, x_3)) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U94(x_1, x_2, x_3)) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U95(x_1, x_2)) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U96(x_1)) -> U96(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__U101(x_1, x_2, x_3)) -> a__U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U102(x_1, x_2, x_3)) -> a__U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U103(x_1, x_2, x_3)) -> a__U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U104(x_1, x_2, x_3)) -> a__U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U105(x_1, x_2)) -> a__U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) 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encArg(cons_a__U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1, x_2)) -> a__U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U23(x_1)) -> a__U23(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U32(x_1, x_2)) -> a__U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U33(x_1)) -> a__U33(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2, x_3)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U42(x_1, x_2, x_3)) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U43(x_1, x_2, x_3)) -> a__U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U44(x_1, x_2, x_3)) -> a__U44(encArg(x_1), encArg(x_2), 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The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U101(tt, V1, V2) -> a__U102(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U102(tt, V1, V2) -> a__U103(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U103(tt, V1, V2) -> a__U104(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U104(tt, V1, V2) -> a__U105(a__isNat(V1), V2) a__U105(tt, V2) -> a__U106(a__isNatIList(V2)) a__U106(tt) -> tt a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatIListKind(V1), V1) a__U111(tt, L, N) -> a__U112(a__isNatIListKind(L), L, N) a__U112(tt, L, N) -> a__U113(a__isNat(N), L, N) a__U113(tt, L, N) -> a__U114(a__isNatKind(N), L) a__U114(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U12(tt, V1) -> a__U13(a__isNatList(V1)) a__U121(tt, IL) -> a__U122(a__isNatIListKind(IL)) a__U122(tt) -> nil a__U13(tt) -> tt a__U131(tt, IL, M, N) -> a__U132(a__isNatIListKind(IL), IL, M, N) a__U132(tt, IL, M, N) -> a__U133(a__isNat(M), IL, M, N) a__U133(tt, IL, M, N) -> a__U134(a__isNatKind(M), IL, M, N) a__U134(tt, IL, M, N) -> a__U135(a__isNat(N), IL, M, N) a__U135(tt, IL, M, N) -> a__U136(a__isNatKind(N), IL, M, N) a__U136(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatIListKind(V), V) a__U32(tt, V) -> a__U33(a__isNatList(V)) a__U33(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U42(tt, V1, V2) -> a__U43(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U43(tt, V1, V2) -> a__U44(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U44(tt, V1, V2) -> a__U45(a__isNat(V1), V2) a__U45(tt, V2) -> a__U46(a__isNatIList(V2)) a__U46(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isNatIListKind(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatIListKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt, V1, V2) -> a__U92(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U92(tt, V1, V2) -> a__U93(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U93(tt, V1, V2) -> a__U94(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U94(tt, V1, V2) -> a__U95(a__isNat(V1), V2) a__U95(tt, V2) -> 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mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(U105(X1, X2)) -> a__U105(mark(X1), X2) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U106(X)) -> a__U106(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) mark(U111(X1, X2, X3)) -> a__U111(mark(X1), X2, X3) mark(U112(X1, X2, X3)) -> a__U112(mark(X1), X2, X3) mark(U113(X1, X2, X3)) -> a__U113(mark(X1), X2, X3) mark(U114(X1, X2)) -> a__U114(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U121(X1, X2)) -> a__U121(mark(X1), X2) mark(U122(X)) -> a__U122(mark(X)) mark(U131(X1, X2, X3, X4)) -> a__U131(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U132(X1, X2, X3, X4)) -> a__U132(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U133(X1, X2, X3, X4)) -> a__U133(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U134(X1, X2, X3, X4)) -> a__U134(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U135(X1, X2, X3, X4)) -> a__U135(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U136(X1, X2, X3, X4)) -> a__U136(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U33(X)) -> a__U33(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(U43(X1, X2, X3)) -> a__U43(mark(X1), X2, X3) mark(U44(X1, X2, X3)) -> a__U44(mark(X1), X2, X3) mark(U45(X1, X2)) -> a__U45(mark(X1), X2) mark(U46(X)) -> a__U46(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3) mark(U92(X1, X2, X3)) -> a__U92(mark(X1), X2, X3) mark(U93(X1, X2, X3)) -> a__U93(mark(X1), X2, X3) mark(U94(X1, X2, X3)) -> a__U94(mark(X1), X2, X3) mark(U95(X1, X2)) -> a__U95(mark(X1), X2) mark(U96(X)) -> a__U96(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__U105(X1, X2) -> U105(X1, X2) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U106(X) -> U106(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) a__U111(X1, X2, X3) -> U111(X1, X2, X3) a__U112(X1, X2, X3) -> U112(X1, X2, X3) a__U113(X1, X2, X3) -> U113(X1, X2, X3) a__U114(X1, X2) -> U114(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U13(X) -> U13(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U121(X1, X2) -> U121(X1, X2) a__U122(X) -> U122(X) a__U131(X1, X2, X3, X4) -> U131(X1, X2, X3, X4) a__U132(X1, X2, X3, X4) -> U132(X1, X2, X3, X4) a__U133(X1, X2, X3, X4) -> U133(X1, X2, X3, X4) a__U134(X1, X2, X3, X4) -> U134(X1, X2, X3, X4) a__U135(X1, X2, X3, X4) -> U135(X1, X2, X3, X4) a__U136(X1, X2, X3, X4) -> U136(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X1, X2) -> U22(X1, X2) a__U23(X) -> U23(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X1, X2) -> U32(X1, X2) a__U33(X) -> U33(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2, X3) -> U42(X1, X2, X3) a__U43(X1, X2, X3) -> U43(X1, X2, X3) a__U44(X1, X2, X3) -> U44(X1, X2, X3) a__U45(X1, X2) -> U45(X1, X2) a__U46(X) -> U46(X) a__U51(X1, X2) -> U51(X1, X2) a__U52(X) -> U52(X) a__U61(X1, X2) -> U61(X1, X2) a__U62(X) -> U62(X) a__U71(X) -> U71(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3) -> U91(X1, X2, X3) a__U92(X1, X2, X3) -> U92(X1, X2, X3) a__U93(X1, X2, X3) -> U93(X1, X2, X3) a__U94(X1, X2, X3) -> U94(X1, X2, X3) a__U95(X1, X2) -> U95(X1, X2) a__U96(X) -> U96(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U33(x_1)) -> U33(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) 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encArg(cons_a__U106(x_1)) -> a__U106(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U111(x_1, x_2, x_3)) -> a__U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U112(x_1, x_2, x_3)) -> a__U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U113(x_1, x_2, x_3)) -> a__U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U114(x_1, x_2)) -> a__U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U121(x_1, x_2)) -> a__U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U122(x_1)) -> a__U122(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U13(x_1)) -> a__U13(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) 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encode_a__U96(x_1) -> a__U96(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U105(x_1, x_2) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U106(x_1) -> U106(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2, x_3) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U112(x_1, x_2, x_3) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U113(x_1, x_2, x_3) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U114(x_1, x_2) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U13(x_1) -> U13(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U132(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U133(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U134(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U135(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U136(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U33(x_1) -> U33(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U92(x_1, x_2, x_3) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U93(x_1, x_2, x_3) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U94(x_1, x_2, x_3) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U95(x_1, x_2) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U96(x_1) -> U96(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U101(tt, V1, V2) -> a__U102(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U102(tt, V1, V2) -> a__U103(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U103(tt, V1, V2) -> a__U104(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U104(tt, V1, V2) -> a__U105(a__isNat(V1), V2) a__U105(tt, V2) -> a__U106(a__isNatIList(V2)) a__U106(tt) -> tt a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatIListKind(V1), V1) a__U111(tt, L, N) -> a__U112(a__isNatIListKind(L), L, N) a__U112(tt, L, N) -> a__U113(a__isNat(N), L, N) a__U113(tt, L, N) -> a__U114(a__isNatKind(N), L) a__U114(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U12(tt, V1) -> a__U13(a__isNatList(V1)) a__U121(tt, IL) -> a__U122(a__isNatIListKind(IL)) a__U122(tt) -> nil a__U13(tt) -> tt a__U131(tt, IL, M, N) -> a__U132(a__isNatIListKind(IL), IL, M, N) a__U132(tt, IL, M, N) -> a__U133(a__isNat(M), IL, M, N) a__U133(tt, IL, M, N) -> a__U134(a__isNatKind(M), IL, M, N) a__U134(tt, IL, M, N) -> a__U135(a__isNat(N), IL, M, N) a__U135(tt, IL, M, N) -> a__U136(a__isNatKind(N), IL, M, N) a__U136(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatIListKind(V), V) a__U32(tt, V) -> a__U33(a__isNatList(V)) a__U33(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U42(tt, V1, V2) -> a__U43(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U43(tt, V1, V2) -> a__U44(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U44(tt, V1, V2) -> a__U45(a__isNat(V1), V2) a__U45(tt, V2) -> a__U46(a__isNatIList(V2)) a__U46(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isNatIListKind(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatIListKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt, V1, V2) -> a__U92(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U92(tt, V1, V2) -> a__U93(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U93(tt, V1, V2) -> a__U94(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U94(tt, V1, V2) -> a__U95(a__isNat(V1), V2) a__U95(tt, V2) -> 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X3) a__U92(X1, X2, X3) -> U92(X1, X2, X3) a__U93(X1, X2, X3) -> U93(X1, X2, X3) a__U94(X1, X2, X3) -> U94(X1, X2, X3) a__U95(X1, X2) -> U95(X1, X2) a__U96(X) -> U96(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) 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encode_a__U96(x_1) -> a__U96(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U105(x_1, x_2) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U106(x_1) -> U106(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2, x_3) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U112(x_1, x_2, x_3) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) 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U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U33(x_1) -> U33(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U92(x_1, x_2, x_3) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U93(x_1, x_2, x_3) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U94(x_1, x_2, x_3) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U95(x_1, x_2) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U96(x_1) -> U96(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence mark(U71(X)) ->^+ a__U71(mark(X)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [X / U71(X)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U101(tt, V1, V2) -> a__U102(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U102(tt, V1, V2) -> a__U103(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U103(tt, V1, V2) -> a__U104(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U104(tt, V1, V2) -> a__U105(a__isNat(V1), V2) a__U105(tt, V2) -> a__U106(a__isNatIList(V2)) a__U106(tt) -> tt a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatIListKind(V1), V1) a__U111(tt, L, N) -> a__U112(a__isNatIListKind(L), L, N) a__U112(tt, L, N) -> a__U113(a__isNat(N), L, N) a__U113(tt, L, N) -> a__U114(a__isNatKind(N), L) a__U114(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U12(tt, V1) -> a__U13(a__isNatList(V1)) a__U121(tt, IL) -> a__U122(a__isNatIListKind(IL)) a__U122(tt) -> nil a__U13(tt) -> tt a__U131(tt, IL, M, N) -> a__U132(a__isNatIListKind(IL), IL, M, N) a__U132(tt, IL, M, N) -> a__U133(a__isNat(M), IL, M, N) a__U133(tt, IL, M, N) -> a__U134(a__isNatKind(M), IL, M, N) a__U134(tt, IL, M, N) -> a__U135(a__isNat(N), IL, M, N) a__U135(tt, IL, M, N) -> a__U136(a__isNatKind(N), IL, M, N) a__U136(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatIListKind(V), V) a__U32(tt, V) -> a__U33(a__isNatList(V)) a__U33(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U42(tt, V1, V2) -> a__U43(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U43(tt, V1, V2) -> a__U44(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U44(tt, V1, V2) -> a__U45(a__isNat(V1), V2) a__U45(tt, V2) -> a__U46(a__isNatIList(V2)) a__U46(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isNatIListKind(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatIListKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt, V1, V2) -> a__U92(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U92(tt, V1, V2) -> a__U93(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U93(tt, V1, V2) -> a__U94(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U94(tt, V1, V2) -> a__U95(a__isNat(V1), V2) a__U95(tt, V2) -> a__U96(a__isNatList(V2)) a__U96(tt) -> tt a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__U71(a__isNatIListKind(V1)) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U81(a__isNatKind(V1)) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U91(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U111(a__isNatList(L), L, N) a__take(0, IL) -> a__U121(a__isNatIList(IL), IL) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U131(a__isNatIList(IL), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros 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-> a__U132(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U133(X1, X2, X3, X4)) -> a__U133(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U134(X1, X2, X3, X4)) -> a__U134(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U135(X1, X2, X3, X4)) -> a__U135(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U136(X1, X2, X3, X4)) -> a__U136(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U33(X)) -> a__U33(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(U43(X1, X2, X3)) -> a__U43(mark(X1), X2, X3) mark(U44(X1, X2, X3)) -> a__U44(mark(X1), X2, X3) mark(U45(X1, X2)) -> a__U45(mark(X1), X2) mark(U46(X)) -> a__U46(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X)) -> 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X3) a__U92(X1, X2, X3) -> U92(X1, X2, X3) a__U93(X1, X2, X3) -> U93(X1, X2, X3) a__U94(X1, X2, X3) -> U94(X1, X2, X3) a__U95(X1, X2) -> U95(X1, X2) a__U96(X) -> U96(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) 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encode_U113(x_1, x_2, x_3) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U114(x_1, x_2) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U13(x_1) -> U13(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U132(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U133(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U134(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U135(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U136(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U33(x_1) -> U33(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U92(x_1, x_2, x_3) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U93(x_1, x_2, x_3) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U94(x_1, x_2, x_3) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U95(x_1, x_2) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U96(x_1) -> U96(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U101(tt, V1, V2) -> a__U102(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U102(tt, V1, V2) -> a__U103(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U103(tt, V1, V2) -> a__U104(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U104(tt, V1, V2) -> a__U105(a__isNat(V1), V2) a__U105(tt, V2) -> a__U106(a__isNatIList(V2)) a__U106(tt) -> tt a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatIListKind(V1), V1) a__U111(tt, L, N) -> a__U112(a__isNatIListKind(L), L, N) a__U112(tt, L, N) -> a__U113(a__isNat(N), L, N) a__U113(tt, L, N) -> a__U114(a__isNatKind(N), L) a__U114(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U12(tt, V1) -> a__U13(a__isNatList(V1)) a__U121(tt, IL) -> a__U122(a__isNatIListKind(IL)) a__U122(tt) -> nil a__U13(tt) -> tt a__U131(tt, IL, M, N) -> a__U132(a__isNatIListKind(IL), IL, M, N) a__U132(tt, IL, M, N) -> a__U133(a__isNat(M), IL, M, N) a__U133(tt, IL, M, N) -> a__U134(a__isNatKind(M), IL, M, N) a__U134(tt, IL, M, N) -> a__U135(a__isNat(N), IL, M, N) a__U135(tt, IL, M, N) -> a__U136(a__isNatKind(N), IL, M, N) a__U136(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNatKind(V1), V1) a__U22(tt, V1) -> a__U23(a__isNat(V1)) a__U23(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatIListKind(V), V) a__U32(tt, V) -> a__U33(a__isNatList(V)) a__U33(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U42(tt, V1, V2) -> a__U43(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U43(tt, V1, V2) -> a__U44(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U44(tt, V1, V2) -> a__U45(a__isNat(V1), V2) a__U45(tt, V2) -> a__U46(a__isNatIList(V2)) a__U46(tt) -> tt a__U51(tt, V2) -> a__U52(a__isNatIListKind(V2)) a__U52(tt) -> tt a__U61(tt, V2) -> a__U62(a__isNatIListKind(V2)) a__U62(tt) -> tt a__U71(tt) -> tt a__U81(tt) -> tt a__U91(tt, V1, V2) -> a__U92(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__U92(tt, V1, V2) -> a__U93(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U93(tt, V1, V2) -> a__U94(a__isNatIListKind(V2), V1, V2) a__U94(tt, V1, V2) -> a__U95(a__isNat(V1), V2) a__U95(tt, V2) -> a__U96(a__isNatList(V2)) a__U96(tt) -> tt a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__U61(a__isNatKind(V1), V2) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__U71(a__isNatIListKind(V1)) a__isNatKind(s(V1)) -> a__U81(a__isNatKind(V1)) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U91(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U101(a__isNatKind(V1), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U111(a__isNatList(L), L, N) a__take(0, IL) -> a__U121(a__isNatIList(IL), IL) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U131(a__isNatIList(IL), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U101(X1, X2, X3)) -> a__U101(mark(X1), X2, X3) mark(U102(X1, X2, X3)) -> a__U102(mark(X1), X2, X3) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(U103(X1, X2, X3)) -> a__U103(mark(X1), X2, X3) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(U104(X1, X2, X3)) -> a__U104(mark(X1), X2, X3) mark(U105(X1, X2)) -> a__U105(mark(X1), X2) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U106(X)) -> a__U106(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X1, X2)) -> a__U12(mark(X1), X2) mark(U111(X1, X2, X3)) -> a__U111(mark(X1), X2, X3) mark(U112(X1, X2, X3)) -> a__U112(mark(X1), X2, X3) mark(U113(X1, X2, X3)) -> a__U113(mark(X1), X2, X3) mark(U114(X1, X2)) -> a__U114(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U13(X)) -> a__U13(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U121(X1, X2)) -> a__U121(mark(X1), X2) mark(U122(X)) -> a__U122(mark(X)) mark(U131(X1, X2, X3, X4)) -> a__U131(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U132(X1, X2, X3, X4)) -> a__U132(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U133(X1, X2, X3, X4)) -> a__U133(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U134(X1, X2, X3, X4)) -> a__U134(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U135(X1, X2, X3, X4)) -> a__U135(mark(X1), X2, X3, X4) mark(U136(X1, X2, X3, X4)) -> a__U136(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X1, X2)) -> a__U22(mark(X1), X2) mark(U23(X)) -> a__U23(mark(X)) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X1, X2)) -> a__U32(mark(X1), X2) mark(U33(X)) -> a__U33(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2, X3)) -> a__U42(mark(X1), X2, X3) mark(U43(X1, X2, X3)) -> a__U43(mark(X1), X2, X3) mark(U44(X1, X2, X3)) -> a__U44(mark(X1), X2, X3) mark(U45(X1, X2)) -> a__U45(mark(X1), X2) mark(U46(X)) -> a__U46(mark(X)) mark(U51(X1, X2)) -> a__U51(mark(X1), X2) mark(U52(X)) -> a__U52(mark(X)) mark(U61(X1, X2)) -> a__U61(mark(X1), X2) mark(U62(X)) -> a__U62(mark(X)) mark(U71(X)) -> a__U71(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3) mark(U92(X1, X2, X3)) -> a__U92(mark(X1), X2, X3) mark(U93(X1, X2, X3)) -> a__U93(mark(X1), X2, X3) mark(U94(X1, X2, X3)) -> a__U94(mark(X1), X2, X3) mark(U95(X1, X2)) -> a__U95(mark(X1), X2) mark(U96(X)) -> a__U96(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U101(X1, X2, X3) -> U101(X1, X2, X3) a__U102(X1, X2, X3) -> U102(X1, X2, X3) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) a__U103(X1, X2, X3) -> U103(X1, X2, X3) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__U104(X1, X2, X3) -> U104(X1, X2, X3) a__U105(X1, X2) -> U105(X1, X2) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U106(X) -> U106(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X1, X2) -> U12(X1, X2) a__U111(X1, X2, X3) -> U111(X1, X2, X3) a__U112(X1, X2, X3) -> U112(X1, X2, X3) a__U113(X1, X2, X3) -> U113(X1, X2, X3) a__U114(X1, X2) -> 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X3) a__U92(X1, X2, X3) -> U92(X1, X2, X3) a__U93(X1, X2, X3) -> U93(X1, X2, X3) a__U94(X1, X2, X3) -> U94(X1, X2, X3) a__U95(X1, X2) -> U95(X1, X2) a__U96(X) -> U96(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) 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