/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 439 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 464 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 112 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 48 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 105 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 78 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 72 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 8876 ms] (28) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0) -> ok(0) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0 encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0) -> ok(0) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0 encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0) -> ok(0) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0 encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, s, incr, adx, head, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active s < active incr < active adx < active head < active tail < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg s < proper s < encArg incr < proper incr < encArg adx < proper adx < encArg head < proper head < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> nil gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, s, incr, adx, head, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active s < active incr < active adx < active head < active tail < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg s < proper s < encArg incr < proper incr < encArg adx < proper adx < encArg head < proper head < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> nil gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, s, incr, adx, head, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active s < active incr < active adx < active head < active tail < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg s < proper s < encArg incr < proper incr < encArg adx < proper adx < encArg head < proper head < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> nil gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, incr, adx, head, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active incr < active adx < active head < active tail < active active < top active < encArg s < proper s < encArg incr < proper incr < encArg adx < proper adx < encArg head < proper head < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1801_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1801_3) Induction Base: s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n1801_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1801_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1801_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1801_3) Generator Equations: gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> nil gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: incr, active, adx, head, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: incr < active adx < active head < active tail < active active < top active < encArg incr < proper incr < encArg adx < proper adx < encArg head < proper head < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: incr(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2628_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2628_3) Induction Base: incr(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: incr(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n2628_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(incr(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2628_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1801_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1801_3) incr(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2628_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2628_3) Generator Equations: gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> nil gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: adx, active, head, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: adx < active head < active tail < active active < top active < encArg adx < proper adx < encArg head < proper head < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: adx(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3556_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3556_3) Induction Base: adx(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: adx(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n3556_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(adx(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3556_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1801_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1801_3) incr(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2628_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2628_3) adx(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3556_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3556_3) Generator Equations: gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> nil gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: head, active, tail, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: head < active tail < active active < top active < encArg head < proper head < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: head(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4585_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4585_3) Induction Base: head(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: head(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4585_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(head(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4585_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1801_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1801_3) incr(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2628_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2628_3) adx(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3556_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3556_3) head(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4585_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4585_3) Generator Equations: gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> nil gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: tail, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: tail < active active < top active < encArg tail < proper tail < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: tail(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n5715_3))) -> *3_3, rt in Omega(n5715_3) Induction Base: tail(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: tail(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n5715_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(tail(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n5715_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(incr(nil)) -> mark(nil) active(incr(cons(X, L))) -> mark(cons(s(X), incr(L))) active(adx(nil)) -> mark(nil) active(adx(cons(X, L))) -> mark(incr(cons(X, adx(L)))) active(nats) -> mark(adx(zeros)) active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(head(cons(X, L))) -> mark(X) active(tail(cons(X, L))) -> mark(L) active(incr(X)) -> incr(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(adx(X)) -> adx(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(tail(X)) -> tail(active(X)) incr(mark(X)) -> mark(incr(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) adx(mark(X)) -> mark(adx(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) tail(mark(X)) -> mark(tail(X)) proper(incr(X)) -> incr(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(adx(X)) -> adx(proper(X)) proper(nats) -> ok(nats) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(0') -> ok(0') proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(tail(X)) -> tail(proper(X)) incr(ok(X)) -> ok(incr(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) adx(ok(X)) -> ok(adx(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) tail(ok(X)) -> ok(tail(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(zeros) -> zeros encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_adx(x_1)) -> adx(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_adx(x_1) -> adx(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_zeros -> zeros encode_0 -> 0' encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top 0' :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_incr :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_adx :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_nats :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_zeros :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_0 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_head :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_tail :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top1_3 :: nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) s(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1801_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1801_3) incr(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2628_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2628_3) adx(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3556_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3556_3) head(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4585_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4585_3) tail(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n5715_3))) -> *3_3, rt in Omega(n5715_3) Generator Equations: gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> nil gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(n67801_3)) -> gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(n67801_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(+(n67801_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(n67801_3))) ->_IH mark(gen_nil:mark:nats:zeros:0':ok:cons_active:cons_incr:cons_cons:cons_s:cons_adx:cons_head:cons_tail:cons_proper:cons_top2_3(c67802_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (28) BOUNDS(1, INF)