/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


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WORST_CASE(NON_POLY, ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(EXP, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 18.8 s]
(4) CpxRelTRS
(5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 8 ms]
(6) TRS for Loop Detection
(7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 1780 ms]
(8) BEST
    (9) proven lower bound
        (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (11) BOUNDS(n^1, INF)
    (12) TRS for Loop Detection
        (13) DecreasingLoopProof [FINISHED, 32.1 s]
        (14) BOUNDS(EXP, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(EXP, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U101(tt, V1, V2) -> U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U102(tt, V1, V2) -> U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U103(tt, V1, V2) -> U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U104(tt, V1, V2) -> U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U105(tt, V2) -> U106(isLNat(activate(V2)))
   U106(tt) -> tt
   U11(tt, N, XS) -> U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U111(tt, V2) -> U112(isLNatKind(activate(V2)))
   U112(tt) -> tt
   U12(tt, N, XS) -> U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U121(tt, V2) -> U122(isLNatKind(activate(V2)))
   U122(tt) -> tt
   U13(tt, N, XS) -> U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U131(tt) -> tt
   U14(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U141(tt) -> tt
   U151(tt) -> tt
   U161(tt) -> tt
   U171(tt, V2) -> U172(isLNatKind(activate(V2)))
   U172(tt) -> tt
   U181(tt, V1) -> U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U182(tt, V1) -> U183(isLNat(activate(V1)))
   U183(tt) -> tt
   U191(tt, V1) -> U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U192(tt, V1) -> U193(isNatural(activate(V1)))
   U193(tt) -> tt
   U201(tt, V1, V2) -> U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U202(tt, V1, V2) -> U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U203(tt, V1, V2) -> U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U204(tt, V1, V2) -> U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U205(tt, V2) -> U206(isLNat(activate(V2)))
   U206(tt) -> tt
   U21(tt, X, Y) -> U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
   U211(tt) -> tt
   U22(tt, X, Y) -> U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
   U221(tt) -> tt
   U23(tt, X, Y) -> U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
   U231(tt, V2) -> U232(isLNatKind(activate(V2)))
   U232(tt) -> tt
   U24(tt, X) -> activate(X)
   U241(tt, V1, V2) -> U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U242(tt, V1, V2) -> U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U243(tt, V1, V2) -> U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U244(tt, V1, V2) -> U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
   U245(tt, V2) -> U246(isLNat(activate(V2)))
   U246(tt) -> tt
   U251(tt, V1, V2) -> U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U252(tt, V1, V2) -> U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U253(tt, V1, V2) -> U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U254(tt, V1, V2) -> U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U255(tt, V2) -> U256(isLNat(activate(V2)))
   U256(tt) -> tt
   U261(tt, V2) -> U262(isLNatKind(activate(V2)))
   U262(tt) -> tt
   U271(tt, V2) -> U272(isLNatKind(activate(V2)))
   U272(tt) -> tt
   U281(tt, N) -> U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
   U282(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
   U291(tt, N, XS) -> U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U292(tt, N, XS) -> U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U293(tt, N, XS) -> U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U294(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
   U301(tt, X, Y) -> U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
   U302(tt, Y) -> U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
   U303(tt, Y) -> U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
   U304(tt, Y) -> activate(Y)
   U31(tt, N, XS) -> U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U311(tt, XS) -> U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U312(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS))
   U32(tt, N, XS) -> U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U321(tt, N, X, XS) -> U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U322(tt, N, X, XS) -> U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U323(tt, N, X, XS) -> U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U324(tt, N, X, XS) -> U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U325(tt, N, X, XS) -> U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U326(tt, N, X, XS) -> U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
   U327(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS)
   U33(tt, N, XS) -> U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
   U331(tt, N, XS) -> U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
   U332(tt, XS) -> U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
   U333(tt, XS) -> U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U334(tt, XS) -> activate(XS)
   U34(tt, N) -> activate(N)
   U341(tt, N, XS) -> U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U342(tt, N, XS) -> U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U343(tt, N, XS) -> U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U344(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U41(tt, V1, V2) -> U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U42(tt, V1, V2) -> U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U43(tt, V1, V2) -> U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U44(tt, V1, V2) -> U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U45(tt, V2) -> U46(isLNat(activate(V2)))
   U46(tt) -> tt
   U51(tt, V1, V2) -> U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U52(tt, V1, V2) -> U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U53(tt, V1, V2) -> U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U54(tt, V1, V2) -> U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U55(tt, V2) -> U56(isLNat(activate(V2)))
   U56(tt) -> tt
   U61(tt, V1) -> U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U62(tt, V1) -> U63(isPLNat(activate(V1)))
   U63(tt) -> tt
   U71(tt, V1) -> U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U72(tt, V1) -> U73(isNatural(activate(V1)))
   U73(tt) -> tt
   U81(tt, V1) -> U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U82(tt, V1) -> U83(isPLNat(activate(V1)))
   U83(tt) -> tt
   U91(tt, V1) -> U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U92(tt, V1) -> U93(isLNat(activate(V1)))
   U93(tt) -> tt
   afterNth(N, XS) -> U11(isNatural(N), N, XS)
   fst(pair(X, Y)) -> U21(isLNat(X), X, Y)
   head(cons(N, XS)) -> U31(isNatural(N), N, activate(XS))
   isLNat(n__nil) -> tt
   isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNatKind(n__nil) -> tt
   isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__tail(V1)) -> U161(isLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isNatural(n__0) -> tt
   isNatural(n__head(V1)) -> U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__s(V1)) -> U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isNaturalKind(n__0) -> tt
   isNaturalKind(n__head(V1)) -> U211(isLNatKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__s(V1)) -> U221(isNaturalKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   natsFrom(N) -> U281(isNatural(N), N)
   sel(N, XS) -> U291(isNatural(N), N, XS)
   snd(pair(X, Y)) -> U301(isLNat(X), X, Y)
   splitAt(0, XS) -> U311(isLNat(XS), XS)
   splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
   tail(cons(N, XS)) -> U331(isNatural(N), N, activate(XS))
   take(N, XS) -> U341(isNatural(N), N, XS)
   natsFrom(X) -> n__natsFrom(X)
   nil -> n__nil
   afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2)
   cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2)
   fst(X) -> n__fst(X)
   snd(X) -> n__snd(X)
   tail(X) -> n__tail(X)
   take(X1, X2) -> n__take(X1, X2)
   0 -> n__0
   head(X) -> n__head(X)
   s(X) -> n__s(X)
   sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2)
   pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2)
   splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2)
   activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X)
   activate(n__nil) -> nil
   activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2)
   activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2)
   activate(n__fst(X)) -> fst(X)
   activate(n__snd(X)) -> snd(X)
   activate(n__tail(X)) -> tail(X)
   activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__head(X)) -> head(X)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2)
   activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2)
   activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2)
   activate(X) -> X

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
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(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1))
   encArg(n__nil) -> n__nil
   encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1))
   encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1))
   encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1))
   encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1))
   encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U131(x_1)) -> U131(encArg(x_1))
   encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U141(x_1)) -> U141(encArg(x_1))
   encArg(cons_U151(x_1)) -> U151(encArg(x_1))
   encArg(cons_U161(x_1)) -> U161(encArg(x_1))
   encArg(cons_U171(x_1, x_2)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U172(x_1)) -> U172(encArg(x_1))
   encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U183(x_1)) -> U183(encArg(x_1))
   encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U192(x_1, x_2)) -> U192(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U193(x_1)) -> U193(encArg(x_1))
   encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U202(x_1, x_2, x_3)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U203(x_1, x_2, x_3)) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U204(x_1, x_2, x_3)) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U205(x_1, x_2)) -> U205(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U206(x_1)) -> U206(encArg(x_1))
   encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U211(x_1)) -> U211(encArg(x_1))
   encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U221(x_1)) -> U221(encArg(x_1))
   encArg(cons_U23(x_1, x_2, x_3)) -> U23(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U231(x_1, x_2)) -> U231(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U232(x_1)) -> U232(encArg(x_1))
   encArg(cons_U24(x_1, x_2)) -> U24(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U241(x_1, x_2, x_3)) -> U241(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U242(x_1, x_2, x_3)) -> U242(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U243(x_1, x_2, x_3)) -> U243(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U244(x_1, x_2, x_3)) -> U244(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U245(x_1, x_2)) -> U245(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U246(x_1)) -> U246(encArg(x_1))
   encArg(cons_U251(x_1, x_2, x_3)) -> U251(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U252(x_1, x_2, x_3)) -> U252(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U253(x_1, x_2, x_3)) -> U253(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
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   encode_U56(x_1) -> U56(encArg(x_1))
   encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1))
   encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1))
   encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1))
   encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U73(x_1) -> U73(encArg(x_1))
   encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U83(x_1) -> U83(encArg(x_1))
   encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U92(x_1, x_2) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U93(x_1) -> U93(encArg(x_1))
   encode_n__nil -> n__nil
   encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1))
   encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1))
   encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1))
   encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U101(tt, V1, V2) -> U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U102(tt, V1, V2) -> U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U103(tt, V1, V2) -> U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U104(tt, V1, V2) -> U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U105(tt, V2) -> U106(isLNat(activate(V2)))
   U106(tt) -> tt
   U11(tt, N, XS) -> U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U111(tt, V2) -> U112(isLNatKind(activate(V2)))
   U112(tt) -> tt
   U12(tt, N, XS) -> U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U121(tt, V2) -> U122(isLNatKind(activate(V2)))
   U122(tt) -> tt
   U13(tt, N, XS) -> U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U131(tt) -> tt
   U14(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U141(tt) -> tt
   U151(tt) -> tt
   U161(tt) -> tt
   U171(tt, V2) -> U172(isLNatKind(activate(V2)))
   U172(tt) -> tt
   U181(tt, V1) -> U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U182(tt, V1) -> U183(isLNat(activate(V1)))
   U183(tt) -> tt
   U191(tt, V1) -> U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U192(tt, V1) -> U193(isNatural(activate(V1)))
   U193(tt) -> tt
   U201(tt, V1, V2) -> U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U202(tt, V1, V2) -> U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U203(tt, V1, V2) -> U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U204(tt, V1, V2) -> U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U205(tt, V2) -> U206(isLNat(activate(V2)))
   U206(tt) -> tt
   U21(tt, X, Y) -> U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
   U211(tt) -> tt
   U22(tt, X, Y) -> U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
   U221(tt) -> tt
   U23(tt, X, Y) -> U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
   U231(tt, V2) -> U232(isLNatKind(activate(V2)))
   U232(tt) -> tt
   U24(tt, X) -> activate(X)
   U241(tt, V1, V2) -> U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U242(tt, V1, V2) -> U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U243(tt, V1, V2) -> U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U244(tt, V1, V2) -> U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
   U245(tt, V2) -> U246(isLNat(activate(V2)))
   U246(tt) -> tt
   U251(tt, V1, V2) -> U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U252(tt, V1, V2) -> U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U253(tt, V1, V2) -> U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U254(tt, V1, V2) -> U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U255(tt, V2) -> U256(isLNat(activate(V2)))
   U256(tt) -> tt
   U261(tt, V2) -> U262(isLNatKind(activate(V2)))
   U262(tt) -> tt
   U271(tt, V2) -> U272(isLNatKind(activate(V2)))
   U272(tt) -> tt
   U281(tt, N) -> U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
   U282(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
   U291(tt, N, XS) -> U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U292(tt, N, XS) -> U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U293(tt, N, XS) -> U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U294(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
   U301(tt, X, Y) -> U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
   U302(tt, Y) -> U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
   U303(tt, Y) -> U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
   U304(tt, Y) -> activate(Y)
   U31(tt, N, XS) -> U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U311(tt, XS) -> U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U312(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS))
   U32(tt, N, XS) -> U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U321(tt, N, X, XS) -> U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U322(tt, N, X, XS) -> U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U323(tt, N, X, XS) -> U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U324(tt, N, X, XS) -> U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U325(tt, N, X, XS) -> U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U326(tt, N, X, XS) -> U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
   U327(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS)
   U33(tt, N, XS) -> U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
   U331(tt, N, XS) -> U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
   U332(tt, XS) -> U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
   U333(tt, XS) -> U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U334(tt, XS) -> activate(XS)
   U34(tt, N) -> activate(N)
   U341(tt, N, XS) -> U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U342(tt, N, XS) -> U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U343(tt, N, XS) -> U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U344(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U41(tt, V1, V2) -> U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U42(tt, V1, V2) -> U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U43(tt, V1, V2) -> U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U44(tt, V1, V2) -> U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U45(tt, V2) -> U46(isLNat(activate(V2)))
   U46(tt) -> tt
   U51(tt, V1, V2) -> U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U52(tt, V1, V2) -> U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U53(tt, V1, V2) -> U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U54(tt, V1, V2) -> U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U55(tt, V2) -> U56(isLNat(activate(V2)))
   U56(tt) -> tt
   U61(tt, V1) -> U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U62(tt, V1) -> U63(isPLNat(activate(V1)))
   U63(tt) -> tt
   U71(tt, V1) -> U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U72(tt, V1) -> U73(isNatural(activate(V1)))
   U73(tt) -> tt
   U81(tt, V1) -> U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U82(tt, V1) -> U83(isPLNat(activate(V1)))
   U83(tt) -> tt
   U91(tt, V1) -> U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U92(tt, V1) -> U93(isLNat(activate(V1)))
   U93(tt) -> tt
   afterNth(N, XS) -> U11(isNatural(N), N, XS)
   fst(pair(X, Y)) -> U21(isLNat(X), X, Y)
   head(cons(N, XS)) -> U31(isNatural(N), N, activate(XS))
   isLNat(n__nil) -> tt
   isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNatKind(n__nil) -> tt
   isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__tail(V1)) -> U161(isLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isNatural(n__0) -> tt
   isNatural(n__head(V1)) -> U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__s(V1)) -> U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isNaturalKind(n__0) -> tt
   isNaturalKind(n__head(V1)) -> U211(isLNatKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__s(V1)) -> U221(isNaturalKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   natsFrom(N) -> U281(isNatural(N), N)
   sel(N, XS) -> U291(isNatural(N), N, XS)
   snd(pair(X, Y)) -> U301(isLNat(X), X, Y)
   splitAt(0, XS) -> U311(isLNat(XS), XS)
   splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
   tail(cons(N, XS)) -> U331(isNatural(N), N, activate(XS))
   take(N, XS) -> U341(isNatural(N), N, XS)
   natsFrom(X) -> n__natsFrom(X)
   nil -> n__nil
   afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2)
   cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2)
   fst(X) -> n__fst(X)
   snd(X) -> n__snd(X)
   tail(X) -> n__tail(X)
   take(X1, X2) -> n__take(X1, X2)
   0 -> n__0
   head(X) -> n__head(X)
   s(X) -> n__s(X)
   sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2)
   pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2)
   splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2)
   activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X)
   activate(n__nil) -> nil
   activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2)
   activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2)
   activate(n__fst(X)) -> fst(X)
   activate(n__snd(X)) -> snd(X)
   activate(n__tail(X)) -> tail(X)
   activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__head(X)) -> head(X)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2)
   activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2)
   activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1))
   encArg(n__nil) -> n__nil
   encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1))
   encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1))
   encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1))
   encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1))
   encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U131(x_1)) -> U131(encArg(x_1))
   encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U141(x_1)) -> U141(encArg(x_1))
   encArg(cons_U151(x_1)) -> U151(encArg(x_1))
   encArg(cons_U161(x_1)) -> U161(encArg(x_1))
   encArg(cons_U171(x_1, x_2)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U172(x_1)) -> U172(encArg(x_1))
   encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U183(x_1)) -> U183(encArg(x_1))
   encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U192(x_1, x_2)) -> U192(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U193(x_1)) -> U193(encArg(x_1))
   encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U202(x_1, x_2, x_3)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U203(x_1, x_2, x_3)) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U204(x_1, x_2, x_3)) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U205(x_1, x_2)) -> U205(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U206(x_1)) -> U206(encArg(x_1))
   encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U211(x_1)) -> U211(encArg(x_1))
   encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U221(x_1)) -> U221(encArg(x_1))
   encArg(cons_U23(x_1, x_2, x_3)) -> U23(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U231(x_1, x_2)) -> U231(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U232(x_1)) -> U232(encArg(x_1))
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   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1))
   encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U52(x_1, x_2, x_3) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U53(x_1, x_2, x_3) -> U53(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U54(x_1, x_2, x_3) -> U54(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U55(x_1, x_2) -> U55(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U56(x_1) -> U56(encArg(x_1))
   encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1))
   encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1))
   encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1))
   encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U73(x_1) -> U73(encArg(x_1))
   encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U83(x_1) -> U83(encArg(x_1))
   encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U92(x_1, x_2) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U93(x_1) -> U93(encArg(x_1))
   encode_n__nil -> n__nil
   encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1))
   encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1))
   encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1))
   encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U101(tt, V1, V2) -> U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U102(tt, V1, V2) -> U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U103(tt, V1, V2) -> U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U104(tt, V1, V2) -> U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U105(tt, V2) -> U106(isLNat(activate(V2)))
   U106(tt) -> tt
   U11(tt, N, XS) -> U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U111(tt, V2) -> U112(isLNatKind(activate(V2)))
   U112(tt) -> tt
   U12(tt, N, XS) -> U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U121(tt, V2) -> U122(isLNatKind(activate(V2)))
   U122(tt) -> tt
   U13(tt, N, XS) -> U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U131(tt) -> tt
   U14(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U141(tt) -> tt
   U151(tt) -> tt
   U161(tt) -> tt
   U171(tt, V2) -> U172(isLNatKind(activate(V2)))
   U172(tt) -> tt
   U181(tt, V1) -> U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U182(tt, V1) -> U183(isLNat(activate(V1)))
   U183(tt) -> tt
   U191(tt, V1) -> U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U192(tt, V1) -> U193(isNatural(activate(V1)))
   U193(tt) -> tt
   U201(tt, V1, V2) -> U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U202(tt, V1, V2) -> U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U203(tt, V1, V2) -> U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U204(tt, V1, V2) -> U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U205(tt, V2) -> U206(isLNat(activate(V2)))
   U206(tt) -> tt
   U21(tt, X, Y) -> U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
   U211(tt) -> tt
   U22(tt, X, Y) -> U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
   U221(tt) -> tt
   U23(tt, X, Y) -> U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
   U231(tt, V2) -> U232(isLNatKind(activate(V2)))
   U232(tt) -> tt
   U24(tt, X) -> activate(X)
   U241(tt, V1, V2) -> U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U242(tt, V1, V2) -> U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U243(tt, V1, V2) -> U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U244(tt, V1, V2) -> U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
   U245(tt, V2) -> U246(isLNat(activate(V2)))
   U246(tt) -> tt
   U251(tt, V1, V2) -> U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U252(tt, V1, V2) -> U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U253(tt, V1, V2) -> U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U254(tt, V1, V2) -> U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U255(tt, V2) -> U256(isLNat(activate(V2)))
   U256(tt) -> tt
   U261(tt, V2) -> U262(isLNatKind(activate(V2)))
   U262(tt) -> tt
   U271(tt, V2) -> U272(isLNatKind(activate(V2)))
   U272(tt) -> tt
   U281(tt, N) -> U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
   U282(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
   U291(tt, N, XS) -> U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U292(tt, N, XS) -> U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U293(tt, N, XS) -> U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U294(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
   U301(tt, X, Y) -> U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
   U302(tt, Y) -> U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
   U303(tt, Y) -> U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
   U304(tt, Y) -> activate(Y)
   U31(tt, N, XS) -> U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U311(tt, XS) -> U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U312(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS))
   U32(tt, N, XS) -> U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U321(tt, N, X, XS) -> U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U322(tt, N, X, XS) -> U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U323(tt, N, X, XS) -> U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U324(tt, N, X, XS) -> U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U325(tt, N, X, XS) -> U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U326(tt, N, X, XS) -> U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
   U327(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS)
   U33(tt, N, XS) -> U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
   U331(tt, N, XS) -> U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
   U332(tt, XS) -> U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
   U333(tt, XS) -> U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U334(tt, XS) -> activate(XS)
   U34(tt, N) -> activate(N)
   U341(tt, N, XS) -> U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U342(tt, N, XS) -> U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U343(tt, N, XS) -> U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U344(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U41(tt, V1, V2) -> U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U42(tt, V1, V2) -> U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U43(tt, V1, V2) -> U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U44(tt, V1, V2) -> U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U45(tt, V2) -> U46(isLNat(activate(V2)))
   U46(tt) -> tt
   U51(tt, V1, V2) -> U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U52(tt, V1, V2) -> U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U53(tt, V1, V2) -> U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U54(tt, V1, V2) -> U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U55(tt, V2) -> U56(isLNat(activate(V2)))
   U56(tt) -> tt
   U61(tt, V1) -> U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U62(tt, V1) -> U63(isPLNat(activate(V1)))
   U63(tt) -> tt
   U71(tt, V1) -> U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U72(tt, V1) -> U73(isNatural(activate(V1)))
   U73(tt) -> tt
   U81(tt, V1) -> U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U82(tt, V1) -> U83(isPLNat(activate(V1)))
   U83(tt) -> tt
   U91(tt, V1) -> U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U92(tt, V1) -> U93(isLNat(activate(V1)))
   U93(tt) -> tt
   afterNth(N, XS) -> U11(isNatural(N), N, XS)
   fst(pair(X, Y)) -> U21(isLNat(X), X, Y)
   head(cons(N, XS)) -> U31(isNatural(N), N, activate(XS))
   isLNat(n__nil) -> tt
   isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNatKind(n__nil) -> tt
   isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__tail(V1)) -> U161(isLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isNatural(n__0) -> tt
   isNatural(n__head(V1)) -> U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__s(V1)) -> U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isNaturalKind(n__0) -> tt
   isNaturalKind(n__head(V1)) -> U211(isLNatKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__s(V1)) -> U221(isNaturalKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   natsFrom(N) -> U281(isNatural(N), N)
   sel(N, XS) -> U291(isNatural(N), N, XS)
   snd(pair(X, Y)) -> U301(isLNat(X), X, Y)
   splitAt(0, XS) -> U311(isLNat(XS), XS)
   splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
   tail(cons(N, XS)) -> U331(isNatural(N), N, activate(XS))
   take(N, XS) -> U341(isNatural(N), N, XS)
   natsFrom(X) -> n__natsFrom(X)
   nil -> n__nil
   afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2)
   cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2)
   fst(X) -> n__fst(X)
   snd(X) -> n__snd(X)
   tail(X) -> n__tail(X)
   take(X1, X2) -> n__take(X1, X2)
   0 -> n__0
   head(X) -> n__head(X)
   s(X) -> n__s(X)
   sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2)
   pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2)
   splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2)
   activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X)
   activate(n__nil) -> nil
   activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2)
   activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2)
   activate(n__fst(X)) -> fst(X)
   activate(n__snd(X)) -> snd(X)
   activate(n__tail(X)) -> tail(X)
   activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__head(X)) -> head(X)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2)
   activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2)
   activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1))
   encArg(n__nil) -> n__nil
   encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1))
   encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1))
   encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1))
   encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1))
   encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U131(x_1)) -> U131(encArg(x_1))
   encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U141(x_1)) -> U141(encArg(x_1))
   encArg(cons_U151(x_1)) -> U151(encArg(x_1))
   encArg(cons_U161(x_1)) -> U161(encArg(x_1))
   encArg(cons_U171(x_1, x_2)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U172(x_1)) -> U172(encArg(x_1))
   encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U183(x_1)) -> U183(encArg(x_1))
   encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U192(x_1, x_2)) -> U192(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U193(x_1)) -> U193(encArg(x_1))
   encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
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   encode_U326(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U326(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U327(x_1, x_2) -> U327(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U34(x_1, x_2) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U331(x_1, x_2, x_3) -> U331(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U332(x_1, x_2) -> U332(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U333(x_1, x_2) -> U333(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U334(x_1, x_2) -> U334(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U341(x_1, x_2, x_3) -> U341(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U342(x_1, x_2, x_3) -> U342(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U343(x_1, x_2, x_3) -> U343(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U344(x_1, x_2, x_3) -> U344(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1))
   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1))
   encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U52(x_1, x_2, x_3) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U53(x_1, x_2, x_3) -> U53(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U54(x_1, x_2, x_3) -> U54(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U55(x_1, x_2) -> U55(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U56(x_1) -> U56(encArg(x_1))
   encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1))
   encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1))
   encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1))
   encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U73(x_1) -> U73(encArg(x_1))
   encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U83(x_1) -> U83(encArg(x_1))
   encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U92(x_1, x_2) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U93(x_1) -> U93(encArg(x_1))
   encode_n__nil -> n__nil
   encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1))
   encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1))
   encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1))
   encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID))
Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Analyzing the following TRS for decreasing loops:

The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U101(tt, V1, V2) -> U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U102(tt, V1, V2) -> U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U103(tt, V1, V2) -> U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U104(tt, V1, V2) -> U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U105(tt, V2) -> U106(isLNat(activate(V2)))
   U106(tt) -> tt
   U11(tt, N, XS) -> U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U111(tt, V2) -> U112(isLNatKind(activate(V2)))
   U112(tt) -> tt
   U12(tt, N, XS) -> U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U121(tt, V2) -> U122(isLNatKind(activate(V2)))
   U122(tt) -> tt
   U13(tt, N, XS) -> U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U131(tt) -> tt
   U14(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U141(tt) -> tt
   U151(tt) -> tt
   U161(tt) -> tt
   U171(tt, V2) -> U172(isLNatKind(activate(V2)))
   U172(tt) -> tt
   U181(tt, V1) -> U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U182(tt, V1) -> U183(isLNat(activate(V1)))
   U183(tt) -> tt
   U191(tt, V1) -> U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U192(tt, V1) -> U193(isNatural(activate(V1)))
   U193(tt) -> tt
   U201(tt, V1, V2) -> U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U202(tt, V1, V2) -> U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U203(tt, V1, V2) -> U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U204(tt, V1, V2) -> U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U205(tt, V2) -> U206(isLNat(activate(V2)))
   U206(tt) -> tt
   U21(tt, X, Y) -> U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
   U211(tt) -> tt
   U22(tt, X, Y) -> U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
   U221(tt) -> tt
   U23(tt, X, Y) -> U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
   U231(tt, V2) -> U232(isLNatKind(activate(V2)))
   U232(tt) -> tt
   U24(tt, X) -> activate(X)
   U241(tt, V1, V2) -> U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U242(tt, V1, V2) -> U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U243(tt, V1, V2) -> U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U244(tt, V1, V2) -> U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
   U245(tt, V2) -> U246(isLNat(activate(V2)))
   U246(tt) -> tt
   U251(tt, V1, V2) -> U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U252(tt, V1, V2) -> U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U253(tt, V1, V2) -> U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U254(tt, V1, V2) -> U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U255(tt, V2) -> U256(isLNat(activate(V2)))
   U256(tt) -> tt
   U261(tt, V2) -> U262(isLNatKind(activate(V2)))
   U262(tt) -> tt
   U271(tt, V2) -> U272(isLNatKind(activate(V2)))
   U272(tt) -> tt
   U281(tt, N) -> U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
   U282(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
   U291(tt, N, XS) -> U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U292(tt, N, XS) -> U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U293(tt, N, XS) -> U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U294(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
   U301(tt, X, Y) -> U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
   U302(tt, Y) -> U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
   U303(tt, Y) -> U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
   U304(tt, Y) -> activate(Y)
   U31(tt, N, XS) -> U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U311(tt, XS) -> U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U312(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS))
   U32(tt, N, XS) -> U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U321(tt, N, X, XS) -> U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U322(tt, N, X, XS) -> U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U323(tt, N, X, XS) -> U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U324(tt, N, X, XS) -> U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U325(tt, N, X, XS) -> U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U326(tt, N, X, XS) -> U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
   U327(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS)
   U33(tt, N, XS) -> U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
   U331(tt, N, XS) -> U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
   U332(tt, XS) -> U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
   U333(tt, XS) -> U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U334(tt, XS) -> activate(XS)
   U34(tt, N) -> activate(N)
   U341(tt, N, XS) -> U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U342(tt, N, XS) -> U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U343(tt, N, XS) -> U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U344(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U41(tt, V1, V2) -> U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U42(tt, V1, V2) -> U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U43(tt, V1, V2) -> U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U44(tt, V1, V2) -> U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U45(tt, V2) -> U46(isLNat(activate(V2)))
   U46(tt) -> tt
   U51(tt, V1, V2) -> U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U52(tt, V1, V2) -> U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U53(tt, V1, V2) -> U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U54(tt, V1, V2) -> U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U55(tt, V2) -> U56(isLNat(activate(V2)))
   U56(tt) -> tt
   U61(tt, V1) -> U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U62(tt, V1) -> U63(isPLNat(activate(V1)))
   U63(tt) -> tt
   U71(tt, V1) -> U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U72(tt, V1) -> U73(isNatural(activate(V1)))
   U73(tt) -> tt
   U81(tt, V1) -> U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U82(tt, V1) -> U83(isPLNat(activate(V1)))
   U83(tt) -> tt
   U91(tt, V1) -> U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U92(tt, V1) -> U93(isLNat(activate(V1)))
   U93(tt) -> tt
   afterNth(N, XS) -> U11(isNatural(N), N, XS)
   fst(pair(X, Y)) -> U21(isLNat(X), X, Y)
   head(cons(N, XS)) -> U31(isNatural(N), N, activate(XS))
   isLNat(n__nil) -> tt
   isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNatKind(n__nil) -> tt
   isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__tail(V1)) -> U161(isLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isNatural(n__0) -> tt
   isNatural(n__head(V1)) -> U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__s(V1)) -> U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isNaturalKind(n__0) -> tt
   isNaturalKind(n__head(V1)) -> U211(isLNatKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__s(V1)) -> U221(isNaturalKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   natsFrom(N) -> U281(isNatural(N), N)
   sel(N, XS) -> U291(isNatural(N), N, XS)
   snd(pair(X, Y)) -> U301(isLNat(X), X, Y)
   splitAt(0, XS) -> U311(isLNat(XS), XS)
   splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
   tail(cons(N, XS)) -> U331(isNatural(N), N, activate(XS))
   take(N, XS) -> U341(isNatural(N), N, XS)
   natsFrom(X) -> n__natsFrom(X)
   nil -> n__nil
   afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2)
   cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2)
   fst(X) -> n__fst(X)
   snd(X) -> n__snd(X)
   tail(X) -> n__tail(X)
   take(X1, X2) -> n__take(X1, X2)
   0 -> n__0
   head(X) -> n__head(X)
   s(X) -> n__s(X)
   sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2)
   pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2)
   splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2)
   activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X)
   activate(n__nil) -> nil
   activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2)
   activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2)
   activate(n__fst(X)) -> fst(X)
   activate(n__snd(X)) -> snd(X)
   activate(n__tail(X)) -> tail(X)
   activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__head(X)) -> head(X)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2)
   activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2)
   activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1))
   encArg(n__nil) -> n__nil
   encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1))
   encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1))
   encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1))
   encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1))
   encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
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   encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U311(x_1, x_2) -> U311(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U312(x_1, x_2) -> U312(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U321(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U321(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U322(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U322(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U323(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U323(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U324(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U324(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U325(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U325(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U326(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U326(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U327(x_1, x_2) -> U327(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U34(x_1, x_2) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U331(x_1, x_2, x_3) -> U331(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U332(x_1, x_2) -> U332(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U333(x_1, x_2) -> U333(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U334(x_1, x_2) -> U334(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U341(x_1, x_2, x_3) -> U341(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U342(x_1, x_2, x_3) -> U342(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U343(x_1, x_2, x_3) -> U343(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U344(x_1, x_2, x_3) -> U344(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1))
   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1))
   encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U52(x_1, x_2, x_3) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U53(x_1, x_2, x_3) -> U53(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U54(x_1, x_2, x_3) -> U54(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U55(x_1, x_2) -> U55(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U56(x_1) -> U56(encArg(x_1))
   encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1))
   encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1))
   encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1))
   encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U73(x_1) -> U73(encArg(x_1))
   encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U83(x_1) -> U83(encArg(x_1))
   encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U92(x_1, x_2) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U93(x_1) -> U93(encArg(x_1))
   encode_n__nil -> n__nil
   encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1))
   encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1))
   encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1))
   encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID))
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1):

The rewrite sequence

isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) ->^+ U231(isNaturalKind(V1), activate(V2))

gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].

The pumping substitution is [V1 / n__sel(V1, V2)].

The result substitution is [ ].




----------------------------------------

(8)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(9)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U101(tt, V1, V2) -> U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U102(tt, V1, V2) -> U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U103(tt, V1, V2) -> U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U104(tt, V1, V2) -> U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U105(tt, V2) -> U106(isLNat(activate(V2)))
   U106(tt) -> tt
   U11(tt, N, XS) -> U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U111(tt, V2) -> U112(isLNatKind(activate(V2)))
   U112(tt) -> tt
   U12(tt, N, XS) -> U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U121(tt, V2) -> U122(isLNatKind(activate(V2)))
   U122(tt) -> tt
   U13(tt, N, XS) -> U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U131(tt) -> tt
   U14(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U141(tt) -> tt
   U151(tt) -> tt
   U161(tt) -> tt
   U171(tt, V2) -> U172(isLNatKind(activate(V2)))
   U172(tt) -> tt
   U181(tt, V1) -> U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U182(tt, V1) -> U183(isLNat(activate(V1)))
   U183(tt) -> tt
   U191(tt, V1) -> U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U192(tt, V1) -> U193(isNatural(activate(V1)))
   U193(tt) -> tt
   U201(tt, V1, V2) -> U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U202(tt, V1, V2) -> U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U203(tt, V1, V2) -> U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U204(tt, V1, V2) -> U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U205(tt, V2) -> U206(isLNat(activate(V2)))
   U206(tt) -> tt
   U21(tt, X, Y) -> U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
   U211(tt) -> tt
   U22(tt, X, Y) -> U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
   U221(tt) -> tt
   U23(tt, X, Y) -> U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
   U231(tt, V2) -> U232(isLNatKind(activate(V2)))
   U232(tt) -> tt
   U24(tt, X) -> activate(X)
   U241(tt, V1, V2) -> U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U242(tt, V1, V2) -> U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U243(tt, V1, V2) -> U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U244(tt, V1, V2) -> U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
   U245(tt, V2) -> U246(isLNat(activate(V2)))
   U246(tt) -> tt
   U251(tt, V1, V2) -> U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U252(tt, V1, V2) -> U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U253(tt, V1, V2) -> U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U254(tt, V1, V2) -> U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U255(tt, V2) -> U256(isLNat(activate(V2)))
   U256(tt) -> tt
   U261(tt, V2) -> U262(isLNatKind(activate(V2)))
   U262(tt) -> tt
   U271(tt, V2) -> U272(isLNatKind(activate(V2)))
   U272(tt) -> tt
   U281(tt, N) -> U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
   U282(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
   U291(tt, N, XS) -> U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U292(tt, N, XS) -> U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U293(tt, N, XS) -> U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U294(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
   U301(tt, X, Y) -> U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
   U302(tt, Y) -> U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
   U303(tt, Y) -> U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
   U304(tt, Y) -> activate(Y)
   U31(tt, N, XS) -> U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U311(tt, XS) -> U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U312(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS))
   U32(tt, N, XS) -> U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U321(tt, N, X, XS) -> U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U322(tt, N, X, XS) -> U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U323(tt, N, X, XS) -> U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U324(tt, N, X, XS) -> U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U325(tt, N, X, XS) -> U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U326(tt, N, X, XS) -> U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
   U327(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS)
   U33(tt, N, XS) -> U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
   U331(tt, N, XS) -> U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
   U332(tt, XS) -> U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
   U333(tt, XS) -> U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U334(tt, XS) -> activate(XS)
   U34(tt, N) -> activate(N)
   U341(tt, N, XS) -> U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U342(tt, N, XS) -> U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U343(tt, N, XS) -> U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U344(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U41(tt, V1, V2) -> U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U42(tt, V1, V2) -> U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U43(tt, V1, V2) -> U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U44(tt, V1, V2) -> U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U45(tt, V2) -> U46(isLNat(activate(V2)))
   U46(tt) -> tt
   U51(tt, V1, V2) -> U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U52(tt, V1, V2) -> U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U53(tt, V1, V2) -> U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U54(tt, V1, V2) -> U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U55(tt, V2) -> U56(isLNat(activate(V2)))
   U56(tt) -> tt
   U61(tt, V1) -> U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U62(tt, V1) -> U63(isPLNat(activate(V1)))
   U63(tt) -> tt
   U71(tt, V1) -> U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U72(tt, V1) -> U73(isNatural(activate(V1)))
   U73(tt) -> tt
   U81(tt, V1) -> U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U82(tt, V1) -> U83(isPLNat(activate(V1)))
   U83(tt) -> tt
   U91(tt, V1) -> U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U92(tt, V1) -> U93(isLNat(activate(V1)))
   U93(tt) -> tt
   afterNth(N, XS) -> U11(isNatural(N), N, XS)
   fst(pair(X, Y)) -> U21(isLNat(X), X, Y)
   head(cons(N, XS)) -> U31(isNatural(N), N, activate(XS))
   isLNat(n__nil) -> tt
   isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNatKind(n__nil) -> tt
   isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__tail(V1)) -> U161(isLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isNatural(n__0) -> tt
   isNatural(n__head(V1)) -> U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__s(V1)) -> U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isNaturalKind(n__0) -> tt
   isNaturalKind(n__head(V1)) -> U211(isLNatKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__s(V1)) -> U221(isNaturalKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   natsFrom(N) -> U281(isNatural(N), N)
   sel(N, XS) -> U291(isNatural(N), N, XS)
   snd(pair(X, Y)) -> U301(isLNat(X), X, Y)
   splitAt(0, XS) -> U311(isLNat(XS), XS)
   splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
   tail(cons(N, XS)) -> U331(isNatural(N), N, activate(XS))
   take(N, XS) -> U341(isNatural(N), N, XS)
   natsFrom(X) -> n__natsFrom(X)
   nil -> n__nil
   afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2)
   cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2)
   fst(X) -> n__fst(X)
   snd(X) -> n__snd(X)
   tail(X) -> n__tail(X)
   take(X1, X2) -> n__take(X1, X2)
   0 -> n__0
   head(X) -> n__head(X)
   s(X) -> n__s(X)
   sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2)
   pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2)
   splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2)
   activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X)
   activate(n__nil) -> nil
   activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2)
   activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2)
   activate(n__fst(X)) -> fst(X)
   activate(n__snd(X)) -> snd(X)
   activate(n__tail(X)) -> tail(X)
   activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__head(X)) -> head(X)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2)
   activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2)
   activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1))
   encArg(n__nil) -> n__nil
   encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1))
   encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1))
   encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1))
   encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
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   encode_U281(x_1, x_2) -> U281(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U282(x_1, x_2) -> U282(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_U291(x_1, x_2, x_3) -> U291(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U292(x_1, x_2, x_3) -> U292(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U293(x_1, x_2, x_3) -> U293(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U294(x_1, x_2, x_3) -> U294(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
   encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U301(x_1, x_2, x_3) -> U301(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U302(x_1, x_2) -> U302(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U303(x_1, x_2) -> U303(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U304(x_1, x_2) -> U304(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U311(x_1, x_2) -> U311(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U312(x_1, x_2) -> U312(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U321(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U321(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U322(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U322(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U323(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U323(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U324(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U324(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U325(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U325(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U326(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U326(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U327(x_1, x_2) -> U327(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U34(x_1, x_2) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U331(x_1, x_2, x_3) -> U331(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U332(x_1, x_2) -> U332(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U333(x_1, x_2) -> U333(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U334(x_1, x_2) -> U334(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U341(x_1, x_2, x_3) -> U341(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U342(x_1, x_2, x_3) -> U342(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U343(x_1, x_2, x_3) -> U343(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U344(x_1, x_2, x_3) -> U344(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1))
   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1))
   encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U52(x_1, x_2, x_3) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U53(x_1, x_2, x_3) -> U53(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U54(x_1, x_2, x_3) -> U54(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U55(x_1, x_2) -> U55(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U56(x_1) -> U56(encArg(x_1))
   encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1))
   encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1))
   encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1))
   encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U73(x_1) -> U73(encArg(x_1))
   encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U83(x_1) -> U83(encArg(x_1))
   encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U92(x_1, x_2) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U93(x_1) -> U93(encArg(x_1))
   encode_n__nil -> n__nil
   encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1))
   encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1))
   encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1))
   encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(11)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Analyzing the following TRS for decreasing loops:

The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   U101(tt, V1, V2) -> U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U102(tt, V1, V2) -> U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U103(tt, V1, V2) -> U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U104(tt, V1, V2) -> U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U105(tt, V2) -> U106(isLNat(activate(V2)))
   U106(tt) -> tt
   U11(tt, N, XS) -> U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U111(tt, V2) -> U112(isLNatKind(activate(V2)))
   U112(tt) -> tt
   U12(tt, N, XS) -> U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U121(tt, V2) -> U122(isLNatKind(activate(V2)))
   U122(tt) -> tt
   U13(tt, N, XS) -> U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U131(tt) -> tt
   U14(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U141(tt) -> tt
   U151(tt) -> tt
   U161(tt) -> tt
   U171(tt, V2) -> U172(isLNatKind(activate(V2)))
   U172(tt) -> tt
   U181(tt, V1) -> U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U182(tt, V1) -> U183(isLNat(activate(V1)))
   U183(tt) -> tt
   U191(tt, V1) -> U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U192(tt, V1) -> U193(isNatural(activate(V1)))
   U193(tt) -> tt
   U201(tt, V1, V2) -> U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U202(tt, V1, V2) -> U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U203(tt, V1, V2) -> U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U204(tt, V1, V2) -> U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U205(tt, V2) -> U206(isLNat(activate(V2)))
   U206(tt) -> tt
   U21(tt, X, Y) -> U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
   U211(tt) -> tt
   U22(tt, X, Y) -> U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
   U221(tt) -> tt
   U23(tt, X, Y) -> U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
   U231(tt, V2) -> U232(isLNatKind(activate(V2)))
   U232(tt) -> tt
   U24(tt, X) -> activate(X)
   U241(tt, V1, V2) -> U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U242(tt, V1, V2) -> U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U243(tt, V1, V2) -> U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U244(tt, V1, V2) -> U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
   U245(tt, V2) -> U246(isLNat(activate(V2)))
   U246(tt) -> tt
   U251(tt, V1, V2) -> U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U252(tt, V1, V2) -> U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U253(tt, V1, V2) -> U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U254(tt, V1, V2) -> U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U255(tt, V2) -> U256(isLNat(activate(V2)))
   U256(tt) -> tt
   U261(tt, V2) -> U262(isLNatKind(activate(V2)))
   U262(tt) -> tt
   U271(tt, V2) -> U272(isLNatKind(activate(V2)))
   U272(tt) -> tt
   U281(tt, N) -> U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
   U282(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
   U291(tt, N, XS) -> U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U292(tt, N, XS) -> U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U293(tt, N, XS) -> U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U294(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
   U301(tt, X, Y) -> U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
   U302(tt, Y) -> U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
   U303(tt, Y) -> U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
   U304(tt, Y) -> activate(Y)
   U31(tt, N, XS) -> U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U311(tt, XS) -> U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U312(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS))
   U32(tt, N, XS) -> U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U321(tt, N, X, XS) -> U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U322(tt, N, X, XS) -> U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U323(tt, N, X, XS) -> U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U324(tt, N, X, XS) -> U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U325(tt, N, X, XS) -> U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
   U326(tt, N, X, XS) -> U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
   U327(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS)
   U33(tt, N, XS) -> U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
   U331(tt, N, XS) -> U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
   U332(tt, XS) -> U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
   U333(tt, XS) -> U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
   U334(tt, XS) -> activate(XS)
   U34(tt, N) -> activate(N)
   U341(tt, N, XS) -> U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
   U342(tt, N, XS) -> U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U343(tt, N, XS) -> U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
   U344(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
   U41(tt, V1, V2) -> U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U42(tt, V1, V2) -> U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U43(tt, V1, V2) -> U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U44(tt, V1, V2) -> U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U45(tt, V2) -> U46(isLNat(activate(V2)))
   U46(tt) -> tt
   U51(tt, V1, V2) -> U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   U52(tt, V1, V2) -> U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U53(tt, V1, V2) -> U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
   U54(tt, V1, V2) -> U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
   U55(tt, V2) -> U56(isLNat(activate(V2)))
   U56(tt) -> tt
   U61(tt, V1) -> U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U62(tt, V1) -> U63(isPLNat(activate(V1)))
   U63(tt) -> tt
   U71(tt, V1) -> U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   U72(tt, V1) -> U73(isNatural(activate(V1)))
   U73(tt) -> tt
   U81(tt, V1) -> U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U82(tt, V1) -> U83(isPLNat(activate(V1)))
   U83(tt) -> tt
   U91(tt, V1) -> U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   U92(tt, V1) -> U93(isLNat(activate(V1)))
   U93(tt) -> tt
   afterNth(N, XS) -> U11(isNatural(N), N, XS)
   fst(pair(X, Y)) -> U21(isLNat(X), X, Y)
   head(cons(N, XS)) -> U31(isNatural(N), N, activate(XS))
   isLNat(n__nil) -> tt
   isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isLNatKind(n__nil) -> tt
   isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isLNatKind(n__fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__tail(V1)) -> U161(isLNatKind(activate(V1)))
   isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isNatural(n__0) -> tt
   isNatural(n__head(V1)) -> U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__s(V1)) -> U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
   isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isNaturalKind(n__0) -> tt
   isNaturalKind(n__head(V1)) -> U211(isLNatKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__s(V1)) -> U221(isNaturalKind(activate(V1)))
   isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
   isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
   isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
   natsFrom(N) -> U281(isNatural(N), N)
   sel(N, XS) -> U291(isNatural(N), N, XS)
   snd(pair(X, Y)) -> U301(isLNat(X), X, Y)
   splitAt(0, XS) -> U311(isLNat(XS), XS)
   splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
   tail(cons(N, XS)) -> U331(isNatural(N), N, activate(XS))
   take(N, XS) -> U341(isNatural(N), N, XS)
   natsFrom(X) -> n__natsFrom(X)
   nil -> n__nil
   afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2)
   cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2)
   fst(X) -> n__fst(X)
   snd(X) -> n__snd(X)
   tail(X) -> n__tail(X)
   take(X1, X2) -> n__take(X1, X2)
   0 -> n__0
   head(X) -> n__head(X)
   s(X) -> n__s(X)
   sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2)
   pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2)
   splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2)
   activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X)
   activate(n__nil) -> nil
   activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2)
   activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2)
   activate(n__fst(X)) -> fst(X)
   activate(n__snd(X)) -> snd(X)
   activate(n__tail(X)) -> tail(X)
   activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__head(X)) -> head(X)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2)
   activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2)
   activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1))
   encArg(n__nil) -> n__nil
   encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1))
   encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1))
   encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1))
   encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1))
   encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1))
   encArg(cons_U13(x_1, x_2, x_3)) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U131(x_1)) -> U131(encArg(x_1))
   encArg(cons_U14(x_1, x_2, x_3)) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U141(x_1)) -> U141(encArg(x_1))
   encArg(cons_U151(x_1)) -> U151(encArg(x_1))
   encArg(cons_U161(x_1)) -> U161(encArg(x_1))
   encArg(cons_U171(x_1, x_2)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U172(x_1)) -> U172(encArg(x_1))
   encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U182(x_1, x_2)) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U183(x_1)) -> U183(encArg(x_1))
   encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U192(x_1, x_2)) -> U192(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U193(x_1)) -> U193(encArg(x_1))
   encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U202(x_1, x_2, x_3)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U203(x_1, x_2, x_3)) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U204(x_1, x_2, x_3)) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U205(x_1, x_2)) -> U205(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U206(x_1)) -> U206(encArg(x_1))
   encArg(cons_U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U211(x_1)) -> U211(encArg(x_1))
   encArg(cons_U22(x_1, x_2, x_3)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U221(x_1)) -> U221(encArg(x_1))
   encArg(cons_U23(x_1, x_2, x_3)) -> U23(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U231(x_1, x_2)) -> U231(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U232(x_1)) -> U232(encArg(x_1))
   encArg(cons_U24(x_1, x_2)) -> U24(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U241(x_1, x_2, x_3)) -> U241(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U242(x_1, x_2, x_3)) -> U242(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U243(x_1, x_2, x_3)) -> U243(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U244(x_1, x_2, x_3)) -> U244(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U245(x_1, x_2)) -> U245(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U246(x_1)) -> U246(encArg(x_1))
   encArg(cons_U251(x_1, x_2, x_3)) -> U251(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U252(x_1, x_2, x_3)) -> U252(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U253(x_1, x_2, x_3)) -> U253(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U254(x_1, x_2, x_3)) -> U254(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U255(x_1, x_2)) -> U255(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U256(x_1)) -> U256(encArg(x_1))
   encArg(cons_U261(x_1, x_2)) -> U261(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U262(x_1)) -> U262(encArg(x_1))
   encArg(cons_U271(x_1, x_2)) -> U271(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U272(x_1)) -> U272(encArg(x_1))
   encArg(cons_U281(x_1, x_2)) -> U281(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U282(x_1, x_2)) -> U282(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U291(x_1, x_2, x_3)) -> U291(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U292(x_1, x_2, x_3)) -> U292(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U293(x_1, x_2, x_3)) -> U293(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U294(x_1, x_2, x_3)) -> U294(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U301(x_1, x_2, x_3)) -> U301(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U302(x_1, x_2)) -> U302(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U303(x_1, x_2)) -> U303(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U304(x_1, x_2)) -> U304(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U31(x_1, x_2, x_3)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U311(x_1, x_2)) -> U311(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U312(x_1, x_2)) -> U312(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U32(x_1, x_2, x_3)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U321(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U321(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_U322(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U322(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_U323(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U323(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_U324(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U324(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_U325(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U325(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_U326(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U326(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_U327(x_1, x_2)) -> U327(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U33(x_1, x_2, x_3)) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U331(x_1, x_2, x_3)) -> U331(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U332(x_1, x_2)) -> U332(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U333(x_1, x_2)) -> U333(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U334(x_1, x_2)) -> U334(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U34(x_1, x_2)) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U341(x_1, x_2, x_3)) -> U341(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U342(x_1, x_2, x_3)) -> U342(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U343(x_1, x_2, x_3)) -> U343(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U344(x_1, x_2, x_3)) -> U344(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1))
   encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U52(x_1, x_2, x_3)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U53(x_1, x_2, x_3)) -> U53(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U54(x_1, x_2, x_3)) -> U54(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U55(x_1, x_2)) -> U55(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U56(x_1)) -> U56(encArg(x_1))
   encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U62(x_1, x_2)) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U63(x_1)) -> U63(encArg(x_1))
   encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U72(x_1, x_2)) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U73(x_1)) -> U73(encArg(x_1))
   encArg(cons_U81(x_1, x_2)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U82(x_1, x_2)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U83(x_1)) -> U83(encArg(x_1))
   encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U92(x_1, x_2)) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U93(x_1)) -> U93(encArg(x_1))
   encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1))
   encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
   encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_isLNatKind(x_1)) -> isLNatKind(encArg(x_1))
   encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1))
   encArg(cons_isNaturalKind(x_1)) -> isNaturalKind(encArg(x_1))
   encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_isPLNatKind(x_1)) -> isPLNatKind(encArg(x_1))
   encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1))
   encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1))
   encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
   encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_nil) -> nil
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_0) -> 0
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_tt -> tt
   encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_isNaturalKind(x_1) -> isNaturalKind(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_isLNatKind(x_1) -> isLNatKind(encArg(x_1))
   encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U105(x_1, x_2) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1))
   encode_U106(x_1) -> U106(encArg(x_1))
   encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U111(x_1, x_2) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U112(x_1) -> U112(encArg(x_1))
   encode_U13(x_1, x_2, x_3) -> U13(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1))
   encode_U14(x_1, x_2, x_3) -> U14(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U131(x_1) -> U131(encArg(x_1))
   encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1))
   encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U141(x_1) -> U141(encArg(x_1))
   encode_U151(x_1) -> U151(encArg(x_1))
   encode_U161(x_1) -> U161(encArg(x_1))
   encode_U171(x_1, x_2) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U172(x_1) -> U172(encArg(x_1))
   encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U182(x_1, x_2) -> U182(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U183(x_1) -> U183(encArg(x_1))
   encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U192(x_1, x_2) -> U192(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U193(x_1) -> U193(encArg(x_1))
   encode_U201(x_1, x_2, x_3) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U202(x_1, x_2, x_3) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U203(x_1, x_2, x_3) -> U203(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U204(x_1, x_2, x_3) -> U204(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U205(x_1, x_2) -> U205(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U206(x_1) -> U206(encArg(x_1))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U22(x_1, x_2, x_3) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U211(x_1) -> U211(encArg(x_1))
   encode_U23(x_1, x_2, x_3) -> U23(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U221(x_1) -> U221(encArg(x_1))
   encode_U24(x_1, x_2) -> U24(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U231(x_1, x_2) -> U231(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U232(x_1) -> U232(encArg(x_1))
   encode_U241(x_1, x_2, x_3) -> U241(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U242(x_1, x_2, x_3) -> U242(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U243(x_1, x_2, x_3) -> U243(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U244(x_1, x_2, x_3) -> U244(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U245(x_1, x_2) -> U245(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U246(x_1) -> U246(encArg(x_1))
   encode_U251(x_1, x_2, x_3) -> U251(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U252(x_1, x_2, x_3) -> U252(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U253(x_1, x_2, x_3) -> U253(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U254(x_1, x_2, x_3) -> U254(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U255(x_1, x_2) -> U255(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U256(x_1) -> U256(encArg(x_1))
   encode_U261(x_1, x_2) -> U261(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U262(x_1) -> U262(encArg(x_1))
   encode_U271(x_1, x_2) -> U271(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U272(x_1) -> U272(encArg(x_1))
   encode_U281(x_1, x_2) -> U281(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U282(x_1, x_2) -> U282(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_U291(x_1, x_2, x_3) -> U291(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U292(x_1, x_2, x_3) -> U292(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U293(x_1, x_2, x_3) -> U293(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U294(x_1, x_2, x_3) -> U294(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
   encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U301(x_1, x_2, x_3) -> U301(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U302(x_1, x_2) -> U302(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U303(x_1, x_2) -> U303(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U304(x_1, x_2) -> U304(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U31(x_1, x_2, x_3) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U32(x_1, x_2, x_3) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U311(x_1, x_2) -> U311(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U312(x_1, x_2) -> U312(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_U33(x_1, x_2, x_3) -> U33(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U321(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U321(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U322(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U322(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U323(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U323(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U324(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U324(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U325(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U325(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U326(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U326(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_U327(x_1, x_2) -> U327(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U34(x_1, x_2) -> U34(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U331(x_1, x_2, x_3) -> U331(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U332(x_1, x_2) -> U332(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U333(x_1, x_2) -> U333(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U334(x_1, x_2) -> U334(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U341(x_1, x_2, x_3) -> U341(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U342(x_1, x_2, x_3) -> U342(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U343(x_1, x_2, x_3) -> U343(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U344(x_1, x_2, x_3) -> U344(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1))
   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1))
   encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U52(x_1, x_2, x_3) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U53(x_1, x_2, x_3) -> U53(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U54(x_1, x_2, x_3) -> U54(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U55(x_1, x_2) -> U55(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U56(x_1) -> U56(encArg(x_1))
   encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1))
   encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1))
   encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1))
   encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U72(x_1, x_2) -> U72(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U73(x_1) -> U73(encArg(x_1))
   encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U83(x_1) -> U83(encArg(x_1))
   encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U92(x_1, x_2) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U93(x_1) -> U93(encArg(x_1))
   encode_n__nil -> n__nil
   encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1))
   encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1))
   encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1))
   encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1))
   encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(13) DecreasingLoopProof (FINISHED)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound EXP:

The rewrite sequence

activate(n__take(n__sel(V11_0, V22_0), X2)) ->^+ U341(U201(isNaturalKind(activate(V11_0)), activate(V11_0), activate(V22_0)), n__sel(V11_0, V22_0), X2)

gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].

The pumping substitution is [V11_0 / n__take(n__sel(V11_0, V22_0), X2)].

The result substitution is [ ].



The rewrite sequence

activate(n__take(n__sel(V11_0, V22_0), X2)) ->^+ U341(U201(isNaturalKind(activate(V11_0)), activate(V11_0), activate(V22_0)), n__sel(V11_0, V22_0), X2)

gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1].

The pumping substitution is [V11_0 / n__take(n__sel(V11_0, V22_0), X2)].

The result substitution is [ ].




----------------------------------------

(14)
BOUNDS(EXP, INF)