/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 273 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 456 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 116 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 126 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 107 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 628 ms] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, from, s, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active 2nd < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, from, s, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active 2nd < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Induction Base: cons(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0)), gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(b)) Induction Step: cons(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n4_0, 1))), gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(b))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, from, s, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active 2nd < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: from, active, s, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: from < active s < active 2nd < active active < top active < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: from(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1201_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1201_0) Induction Base: from(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: from(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n1201_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(from(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1201_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) from(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1201_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1201_0) Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active 2nd < active active < top active < encArg s < proper s < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1848_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1848_0) Induction Base: s(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n1848_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1848_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) from(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1201_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1201_0) s(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1848_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1848_0) Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: 2nd, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 2nd < active active < top active < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: 2nd(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n2596_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2596_0) Induction Base: 2nd(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: 2nd(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n2596_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(2nd(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n2596_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(2nd(cons(X, cons(Y, Z)))) -> mark(Y) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 :: mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) from(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1201_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1201_0) s(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1848_0))) -> *3_0, rt in Omega(n1848_0) 2nd(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n2596_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2596_0) Generator Equations: gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> hole_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top1_0 gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3680_0))) -> *3_0, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n3680_0, 1)))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_mark:ok:cons_active:cons_2nd:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3680_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)