/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 644 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 363 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 226 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 17 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 5121 ms]
        (22) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__U11(tt, N) -> mark(N)
   a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__isNat(0) -> tt
   a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
   a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
   a__plus(N, 0) -> a__U11(a__isNat(N), N)
   a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
   mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
   mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
   mark(tt) -> tt
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
   a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__isNat(X) -> isNat(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
   encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__U11(tt, N) -> mark(N)
   a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__isNat(0) -> tt
   a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
   a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
   a__plus(N, 0) -> a__U11(a__isNat(N), N)
   a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
   mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
   mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
   mark(tt) -> tt
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
   a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__isNat(X) -> isNat(X)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
   encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__U11(tt, N) -> mark(N)
   a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__isNat(0) -> tt
   a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
   a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
   a__plus(N, 0) -> a__U11(a__isNat(N), N)
   a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
   mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
   mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
   mark(tt) -> tt
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
   a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__isNat(X) -> isNat(X)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
   encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__U11(tt, N) -> mark(N)
   a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__isNat(0') -> tt
   a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
   a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
   a__plus(N, 0') -> a__U11(a__isNat(N), N)
   a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
   mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
   mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
   mark(tt) -> tt
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0') -> 0'
   a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
   a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__isNat(X) -> isNat(X)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0') -> 0'
   encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
   encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0'
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) -> mark(N)
a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__isNat(0') -> tt
a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') -> a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
mark(tt) -> tt
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__isNat(X) -> isNat(X)
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encArg :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, mark, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 < encArg
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
mark < encArg
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__U21 < encArg
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__plus < encArg
a__and = a__isNat
a__and < encArg
a__isNat < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) -> mark(N)
a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__isNat(0') -> tt
a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') -> a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
mark(tt) -> tt
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__isNat(X) -> isNat(X)
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encArg :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark


Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 < encArg
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
mark < encArg
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__U21 < encArg
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__plus < encArg
a__and = a__isNat
a__and < encArg
a__isNat < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n4_4)) -> gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(0)) ->_R^Omega(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n4_4))) ->_IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(c5_4))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) -> mark(N)
a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__isNat(0') -> tt
a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') -> a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
mark(tt) -> tt
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__isNat(X) -> isNat(X)
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encArg :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark


Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 < encArg
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
mark < encArg
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__U21 < encArg
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__plus < encArg
a__and = a__isNat
a__and < encArg
a__isNat < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) -> mark(N)
a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__isNat(0') -> tt
a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') -> a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
mark(tt) -> tt
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__isNat(X) -> isNat(X)
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encArg :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n4_4)) -> gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 < encArg
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
mark < encArg
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__U21 < encArg
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__plus < encArg
a__and = a__isNat
a__and < encArg
a__isNat < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n4919_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4919_4)

Induction Base:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, +(n4919_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n4919_4))) ->_IH
*3_4

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) -> mark(N)
a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__isNat(0') -> tt
a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') -> a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
mark(tt) -> tt
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__isNat(X) -> isNat(X)
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encArg :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n4_4)) -> gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n4919_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4919_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U11, mark, a__U21, a__plus, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 < encArg
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
mark < encArg
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__U21 < encArg
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__plus < encArg
a__and = a__isNat
a__and < encArg
a__isNat < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n6504_4)) -> gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n6504_4), rt in Omega(1 + n6504_4)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(0)) ->_R^Omega(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n6504_4, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n6504_4))) ->_IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(c6505_4))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) -> mark(N)
a__U21(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__isNat(0') -> tt
a__isNat(plus(V1, V2)) -> a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) -> a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') -> a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) -> a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) -> a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) -> a__isNat(X)
mark(tt) -> tt
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) -> U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__isNat(X) -> isNat(X)
encArg(tt) -> tt
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(U21(x_1, x_2, x_3)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__U21(x_1, x_2, x_3)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__U21(x_1, x_2, x_3) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U21(x_1, x_2, x_3) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encArg :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
cons_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
encode_and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n6504_4)) -> gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n6504_4), rt in Omega(1 + n6504_4)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n4919_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4919_4)


Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__plus, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 < encArg
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
mark < encArg
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__U21 < encArg
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__plus < encArg
a__and = a__isNat
a__and < encArg
a__isNat < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n11691_4)) -> gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n11691_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(0)) ->_R^Omega(0)
tt

Induction Step:
encArg(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n11691_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(n11691_4))) ->_IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and:cons_a__U11:cons_a__U21:cons_a__and:cons_a__isNat:cons_a__plus:cons_mark2_4(c11692_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(22)
BOUNDS(1, INF)