/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(NON_POLY, ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 2876 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 10 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection (13) DecreasingLoopProof [FINISHED, 806 ms] (14) BOUNDS(EXP, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U102(tt, V2) -> U103(isLNat(activate(V2))) U103(tt) -> tt U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U111(tt, V1) -> U112(isLNat(activate(V1))) U112(tt) -> tt U121(tt, V1) -> U122(isNatural(activate(V1))) U122(tt) -> tt U131(tt, V1, V2) -> U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U132(tt, V2) -> U133(isLNat(activate(V2))) U133(tt) -> tt U141(tt, V1, V2) -> U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2)) U142(tt, V2) -> U143(isLNat(activate(V2))) U143(tt) -> tt U151(tt, V1, V2) -> U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U152(tt, V2) -> U153(isLNat(activate(V2))) U153(tt) -> tt U161(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N)))) U171(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U181(tt, Y) -> activate(Y) U191(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U201(tt, N, X, XS) -> U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U202(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U21(tt, X) -> activate(X) U211(tt, XS) -> activate(XS) U221(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U42(tt, V2) -> U43(isLNat(activate(V2))) U43(tt) -> tt U51(tt, V1, V2) -> U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U52(tt, V2) -> U53(isLNat(activate(V2))) U53(tt) -> tt U61(tt, V1) -> U62(isPLNat(activate(V1))) U62(tt) -> tt U71(tt, V1) -> U72(isNatural(activate(V1))) U72(tt) -> tt U81(tt, V1) -> U82(isPLNat(activate(V1))) U82(tt) -> tt U91(tt, V1) -> U92(isLNat(activate(V1))) U92(tt) -> tt afterNth(N, XS) -> U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNatKind(n__nil) -> tt isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__fst(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isLNatKind(n__snd(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__tail(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isNaturalKind(n__0) -> tt isNaturalKind(n__head(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__s(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) natsFrom(N) -> U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N) sel(N, XS) -> U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y) splitAt(0, XS) -> U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__and(n__isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS)) take(N, XS) -> U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) s(X) -> n__s(X) isNaturalKind(X) -> n__isNaturalKind(X) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) isLNat(X) -> n__isLNat(X) isLNatKind(X) -> n__isLNatKind(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) isNatural(X) -> n__isNatural(X) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__isNaturalKind(X)) -> isNaturalKind(X) activate(n__and(X1, X2)) -> and(activate(X1), X2) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__isLNatKind(X)) -> isLNatKind(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(activate(X1), activate(X2)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(n__fst(X)) -> fst(activate(X)) activate(n__snd(X)) -> snd(activate(X)) activate(n__tail(X)) -> tail(activate(X)) activate(n__take(X1, X2)) -> take(activate(X1), activate(X2)) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(activate(X)) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(activate(X1), activate(X2)) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(activate(X1), activate(X2)) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNatural(X)) -> isNatural(X) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__isNaturalKind(x_1)) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__isLNatKind(x_1)) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNatural(x_1)) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U103(x_1)) -> U103(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U132(x_1, x_2)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U133(x_1)) -> U133(encArg(x_1)) encArg(cons_U141(x_1, x_2, x_3)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U142(x_1, x_2)) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U143(x_1)) -> U143(encArg(x_1)) encArg(cons_U151(x_1, x_2, x_3)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U152(x_1, x_2)) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U153(x_1)) -> U153(encArg(x_1)) encArg(cons_U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U202(x_1, x_2)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1)) -> U72(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1, x_2)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U82(x_1)) -> U82(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNatKind(x_1)) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isNaturalKind(x_1)) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNatKind(x_1)) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1) -> U103(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U112(x_1) -> U112(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2, x_3) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U132(x_1, x_2) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U133(x_1) -> U133(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2, x_3) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U142(x_1, x_2) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U143(x_1) -> U143(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2, x_3) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U152(x_1, x_2) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U153(x_1) -> U153(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1) -> U72(encArg(x_1)) encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U82(x_1) -> U82(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNaturalKind(x_1) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_n__isLNatKind(x_1) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNaturalKind(x_1) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_isLNatKind(x_1) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__isNatural(x_1) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U102(tt, V2) -> U103(isLNat(activate(V2))) U103(tt) -> tt U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U111(tt, V1) -> U112(isLNat(activate(V1))) U112(tt) -> tt U121(tt, V1) -> U122(isNatural(activate(V1))) U122(tt) -> tt U131(tt, V1, V2) -> U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U132(tt, V2) -> U133(isLNat(activate(V2))) U133(tt) -> tt U141(tt, V1, V2) -> U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2)) U142(tt, V2) -> U143(isLNat(activate(V2))) U143(tt) -> tt U151(tt, V1, V2) -> U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U152(tt, V2) -> U153(isLNat(activate(V2))) U153(tt) -> tt U161(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N)))) U171(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U181(tt, Y) -> activate(Y) U191(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U201(tt, N, X, XS) -> U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U202(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U21(tt, X) -> activate(X) U211(tt, XS) -> activate(XS) U221(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U42(tt, V2) -> U43(isLNat(activate(V2))) U43(tt) -> tt U51(tt, V1, V2) -> U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U52(tt, V2) -> U53(isLNat(activate(V2))) U53(tt) -> tt U61(tt, V1) -> U62(isPLNat(activate(V1))) U62(tt) -> tt U71(tt, V1) -> U72(isNatural(activate(V1))) U72(tt) -> tt U81(tt, V1) -> U82(isPLNat(activate(V1))) U82(tt) -> tt U91(tt, V1) -> U92(isLNat(activate(V1))) U92(tt) -> tt afterNth(N, XS) -> U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNatKind(n__nil) -> tt isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__fst(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isLNatKind(n__snd(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__tail(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isNaturalKind(n__0) -> tt isNaturalKind(n__head(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__s(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) natsFrom(N) -> U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N) sel(N, XS) -> U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y) splitAt(0, XS) -> U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__and(n__isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS)) take(N, XS) -> U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) s(X) -> n__s(X) isNaturalKind(X) -> n__isNaturalKind(X) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) isLNat(X) -> n__isLNat(X) isLNatKind(X) -> n__isLNatKind(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) isNatural(X) -> n__isNatural(X) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__isNaturalKind(X)) -> isNaturalKind(X) activate(n__and(X1, X2)) -> and(activate(X1), X2) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__isLNatKind(X)) -> isLNatKind(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(activate(X1), activate(X2)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(n__fst(X)) -> fst(activate(X)) activate(n__snd(X)) -> snd(activate(X)) activate(n__tail(X)) -> tail(activate(X)) activate(n__take(X1, X2)) -> take(activate(X1), activate(X2)) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(activate(X)) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(activate(X1), activate(X2)) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(activate(X1), activate(X2)) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNatural(X)) -> isNatural(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__isNaturalKind(x_1)) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__isLNatKind(x_1)) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNatural(x_1)) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U103(x_1)) -> U103(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U132(x_1, x_2)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U133(x_1)) -> U133(encArg(x_1)) encArg(cons_U141(x_1, x_2, x_3)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U142(x_1, x_2)) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U143(x_1)) -> U143(encArg(x_1)) encArg(cons_U151(x_1, x_2, x_3)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U152(x_1, x_2)) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U153(x_1)) -> U153(encArg(x_1)) encArg(cons_U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U202(x_1, x_2)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1)) -> U72(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1, x_2)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U82(x_1)) -> U82(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNatKind(x_1)) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isNaturalKind(x_1)) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNatKind(x_1)) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1) -> U103(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U112(x_1) -> U112(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2, x_3) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U132(x_1, x_2) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U133(x_1) -> U133(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2, x_3) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U142(x_1, x_2) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U143(x_1) -> U143(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2, x_3) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U152(x_1, x_2) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U153(x_1) -> U153(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1) -> U72(encArg(x_1)) encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U82(x_1) -> U82(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNaturalKind(x_1) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_n__isLNatKind(x_1) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNaturalKind(x_1) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_isLNatKind(x_1) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__isNatural(x_1) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U102(tt, V2) -> U103(isLNat(activate(V2))) U103(tt) -> tt U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U111(tt, V1) -> U112(isLNat(activate(V1))) U112(tt) -> tt U121(tt, V1) -> U122(isNatural(activate(V1))) U122(tt) -> tt U131(tt, V1, V2) -> U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U132(tt, V2) -> U133(isLNat(activate(V2))) U133(tt) -> tt U141(tt, V1, V2) -> U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2)) U142(tt, V2) -> U143(isLNat(activate(V2))) U143(tt) -> tt U151(tt, V1, V2) -> U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U152(tt, V2) -> U153(isLNat(activate(V2))) U153(tt) -> tt U161(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N)))) U171(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U181(tt, Y) -> activate(Y) U191(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U201(tt, N, X, XS) -> U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U202(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U21(tt, X) -> activate(X) U211(tt, XS) -> activate(XS) U221(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U42(tt, V2) -> U43(isLNat(activate(V2))) U43(tt) -> tt U51(tt, V1, V2) -> U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U52(tt, V2) -> U53(isLNat(activate(V2))) U53(tt) -> tt U61(tt, V1) -> U62(isPLNat(activate(V1))) U62(tt) -> tt U71(tt, V1) -> U72(isNatural(activate(V1))) U72(tt) -> tt U81(tt, V1) -> U82(isPLNat(activate(V1))) U82(tt) -> tt U91(tt, V1) -> U92(isLNat(activate(V1))) U92(tt) -> tt afterNth(N, XS) -> U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNatKind(n__nil) -> tt isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__fst(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isLNatKind(n__snd(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__tail(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isNaturalKind(n__0) -> tt isNaturalKind(n__head(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__s(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) natsFrom(N) -> U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N) sel(N, XS) -> U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y) splitAt(0, XS) -> U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__and(n__isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS)) take(N, XS) -> U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) s(X) -> n__s(X) isNaturalKind(X) -> n__isNaturalKind(X) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) isLNat(X) -> n__isLNat(X) isLNatKind(X) -> n__isLNatKind(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) isNatural(X) -> n__isNatural(X) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__isNaturalKind(X)) -> isNaturalKind(X) activate(n__and(X1, X2)) -> and(activate(X1), X2) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__isLNatKind(X)) -> isLNatKind(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(activate(X1), activate(X2)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(n__fst(X)) -> fst(activate(X)) activate(n__snd(X)) -> snd(activate(X)) activate(n__tail(X)) -> tail(activate(X)) activate(n__take(X1, X2)) -> take(activate(X1), activate(X2)) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(activate(X)) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(activate(X1), activate(X2)) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(activate(X1), activate(X2)) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNatural(X)) -> isNatural(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__isNaturalKind(x_1)) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__isLNatKind(x_1)) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNatural(x_1)) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U103(x_1)) -> U103(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U132(x_1, x_2)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U133(x_1)) -> U133(encArg(x_1)) encArg(cons_U141(x_1, x_2, x_3)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U142(x_1, x_2)) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U143(x_1)) -> U143(encArg(x_1)) encArg(cons_U151(x_1, x_2, x_3)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U152(x_1, x_2)) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U153(x_1)) -> U153(encArg(x_1)) encArg(cons_U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U202(x_1, x_2)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1)) -> U72(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1, x_2)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U82(x_1)) -> U82(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNatKind(x_1)) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isNaturalKind(x_1)) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNatKind(x_1)) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1) -> U103(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U112(x_1) -> U112(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2, x_3) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U132(x_1, x_2) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U133(x_1) -> U133(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2, x_3) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U142(x_1, x_2) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U143(x_1) -> U143(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2, x_3) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U152(x_1, x_2) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U153(x_1) -> U153(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1) -> U72(encArg(x_1)) encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U82(x_1) -> U82(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNaturalKind(x_1) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_n__isLNatKind(x_1) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNaturalKind(x_1) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_isLNatKind(x_1) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__isNatural(x_1) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U102(tt, V2) -> U103(isLNat(activate(V2))) U103(tt) -> tt U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U111(tt, V1) -> U112(isLNat(activate(V1))) U112(tt) -> tt U121(tt, V1) -> U122(isNatural(activate(V1))) U122(tt) -> tt U131(tt, V1, V2) -> U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U132(tt, V2) -> U133(isLNat(activate(V2))) U133(tt) -> tt U141(tt, V1, V2) -> U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2)) U142(tt, V2) -> U143(isLNat(activate(V2))) U143(tt) -> tt U151(tt, V1, V2) -> U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U152(tt, V2) -> U153(isLNat(activate(V2))) U153(tt) -> tt U161(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N)))) U171(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U181(tt, Y) -> activate(Y) U191(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U201(tt, N, X, XS) -> U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U202(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U21(tt, X) -> activate(X) U211(tt, XS) -> activate(XS) U221(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U42(tt, V2) -> U43(isLNat(activate(V2))) U43(tt) -> tt U51(tt, V1, V2) -> U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U52(tt, V2) -> U53(isLNat(activate(V2))) U53(tt) -> tt U61(tt, V1) -> U62(isPLNat(activate(V1))) U62(tt) -> tt U71(tt, V1) -> U72(isNatural(activate(V1))) U72(tt) -> tt U81(tt, V1) -> U82(isPLNat(activate(V1))) U82(tt) -> tt U91(tt, V1) -> U92(isLNat(activate(V1))) U92(tt) -> tt afterNth(N, XS) -> U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNatKind(n__nil) -> tt isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__fst(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isLNatKind(n__snd(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__tail(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isNaturalKind(n__0) -> tt isNaturalKind(n__head(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__s(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) natsFrom(N) -> U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N) sel(N, XS) -> U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y) splitAt(0, XS) -> U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__and(n__isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS)) take(N, XS) -> U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) s(X) -> n__s(X) isNaturalKind(X) -> n__isNaturalKind(X) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) isLNat(X) -> n__isLNat(X) isLNatKind(X) -> n__isLNatKind(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) isNatural(X) -> n__isNatural(X) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__isNaturalKind(X)) -> isNaturalKind(X) activate(n__and(X1, X2)) -> and(activate(X1), X2) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__isLNatKind(X)) -> isLNatKind(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(activate(X1), activate(X2)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(n__fst(X)) -> fst(activate(X)) activate(n__snd(X)) -> snd(activate(X)) activate(n__tail(X)) -> tail(activate(X)) activate(n__take(X1, X2)) -> take(activate(X1), activate(X2)) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(activate(X)) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(activate(X1), activate(X2)) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(activate(X1), activate(X2)) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNatural(X)) -> isNatural(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__isNaturalKind(x_1)) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__isLNatKind(x_1)) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNatural(x_1)) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U103(x_1)) -> U103(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U132(x_1, x_2)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U133(x_1)) -> U133(encArg(x_1)) encArg(cons_U141(x_1, x_2, x_3)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U142(x_1, x_2)) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U143(x_1)) -> U143(encArg(x_1)) encArg(cons_U151(x_1, x_2, x_3)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U152(x_1, x_2)) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U153(x_1)) -> U153(encArg(x_1)) encArg(cons_U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U202(x_1, x_2)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1)) -> U72(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1, x_2)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U82(x_1)) -> U82(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNatKind(x_1)) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isNaturalKind(x_1)) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNatKind(x_1)) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1) -> U103(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U112(x_1) -> U112(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2, x_3) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U132(x_1, x_2) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U133(x_1) -> U133(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2, x_3) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U142(x_1, x_2) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U143(x_1) -> U143(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2, x_3) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U152(x_1, x_2) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U153(x_1) -> U153(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1) -> U72(encArg(x_1)) encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U82(x_1) -> U82(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNaturalKind(x_1) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_n__isLNatKind(x_1) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNaturalKind(x_1) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_isLNatKind(x_1) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__isNatural(x_1) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence activate(n__s(X)) ->^+ s(activate(X)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [X / n__s(X)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U102(tt, V2) -> U103(isLNat(activate(V2))) U103(tt) -> tt U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U111(tt, V1) -> U112(isLNat(activate(V1))) U112(tt) -> tt U121(tt, V1) -> U122(isNatural(activate(V1))) U122(tt) -> tt U131(tt, V1, V2) -> U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U132(tt, V2) -> U133(isLNat(activate(V2))) U133(tt) -> tt U141(tt, V1, V2) -> U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2)) U142(tt, V2) -> U143(isLNat(activate(V2))) U143(tt) -> tt U151(tt, V1, V2) -> U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U152(tt, V2) -> U153(isLNat(activate(V2))) U153(tt) -> tt U161(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N)))) U171(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U181(tt, Y) -> activate(Y) U191(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U201(tt, N, X, XS) -> U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U202(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U21(tt, X) -> activate(X) U211(tt, XS) -> activate(XS) U221(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U42(tt, V2) -> U43(isLNat(activate(V2))) U43(tt) -> tt U51(tt, V1, V2) -> U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U52(tt, V2) -> U53(isLNat(activate(V2))) U53(tt) -> tt U61(tt, V1) -> U62(isPLNat(activate(V1))) U62(tt) -> tt U71(tt, V1) -> U72(isNatural(activate(V1))) U72(tt) -> tt U81(tt, V1) -> U82(isPLNat(activate(V1))) U82(tt) -> tt U91(tt, V1) -> U92(isLNat(activate(V1))) U92(tt) -> tt afterNth(N, XS) -> U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNatKind(n__nil) -> tt isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__fst(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isLNatKind(n__snd(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__tail(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isNaturalKind(n__0) -> tt isNaturalKind(n__head(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__s(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) natsFrom(N) -> U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N) sel(N, XS) -> U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y) splitAt(0, XS) -> U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__and(n__isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS)) take(N, XS) -> U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) s(X) -> n__s(X) isNaturalKind(X) -> n__isNaturalKind(X) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) isLNat(X) -> n__isLNat(X) isLNatKind(X) -> n__isLNatKind(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) isNatural(X) -> n__isNatural(X) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__isNaturalKind(X)) -> isNaturalKind(X) activate(n__and(X1, X2)) -> and(activate(X1), X2) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__isLNatKind(X)) -> isLNatKind(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(activate(X1), activate(X2)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(n__fst(X)) -> fst(activate(X)) activate(n__snd(X)) -> snd(activate(X)) activate(n__tail(X)) -> tail(activate(X)) activate(n__take(X1, X2)) -> take(activate(X1), activate(X2)) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(activate(X)) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(activate(X1), activate(X2)) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(activate(X1), activate(X2)) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNatural(X)) -> isNatural(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__isNaturalKind(x_1)) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__isLNatKind(x_1)) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNatural(x_1)) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U103(x_1)) -> U103(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U132(x_1, x_2)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U133(x_1)) -> U133(encArg(x_1)) encArg(cons_U141(x_1, x_2, x_3)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U142(x_1, x_2)) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U143(x_1)) -> U143(encArg(x_1)) encArg(cons_U151(x_1, x_2, x_3)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U152(x_1, x_2)) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U153(x_1)) -> U153(encArg(x_1)) encArg(cons_U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U202(x_1, x_2)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1)) -> U72(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1, x_2)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U82(x_1)) -> U82(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNatKind(x_1)) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isNaturalKind(x_1)) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNatKind(x_1)) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1) -> U103(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U112(x_1) -> U112(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2, x_3) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U132(x_1, x_2) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U133(x_1) -> U133(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2, x_3) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U142(x_1, x_2) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U143(x_1) -> U143(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2, x_3) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U152(x_1, x_2) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U153(x_1) -> U153(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1) -> U72(encArg(x_1)) encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U82(x_1) -> U82(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNaturalKind(x_1) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_n__isLNatKind(x_1) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNaturalKind(x_1) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_isLNatKind(x_1) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__isNatural(x_1) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(EXP, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U102(tt, V2) -> U103(isLNat(activate(V2))) U103(tt) -> tt U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U111(tt, V1) -> U112(isLNat(activate(V1))) U112(tt) -> tt U121(tt, V1) -> U122(isNatural(activate(V1))) U122(tt) -> tt U131(tt, V1, V2) -> U132(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U132(tt, V2) -> U133(isLNat(activate(V2))) U133(tt) -> tt U141(tt, V1, V2) -> U142(isLNat(activate(V1)), activate(V2)) U142(tt, V2) -> U143(isLNat(activate(V2))) U143(tt) -> tt U151(tt, V1, V2) -> U152(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U152(tt, V2) -> U153(isLNat(activate(V2))) U153(tt) -> tt U161(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N)))) U171(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U181(tt, Y) -> activate(Y) U191(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U201(tt, N, X, XS) -> U202(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U202(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U21(tt, X) -> activate(X) U211(tt, XS) -> activate(XS) U221(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U42(tt, V2) -> U43(isLNat(activate(V2))) U43(tt) -> tt U51(tt, V1, V2) -> U52(isNatural(activate(V1)), activate(V2)) U52(tt, V2) -> U53(isLNat(activate(V2))) U53(tt) -> tt U61(tt, V1) -> U62(isPLNat(activate(V1))) U62(tt) -> tt U71(tt, V1) -> U72(isNatural(activate(V1))) U72(tt) -> tt U81(tt, V1) -> U82(isPLNat(activate(V1))) U82(tt) -> tt U91(tt, V1) -> U92(isLNat(activate(V1))) U92(tt) -> tt afterNth(N, XS) -> U11(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> U41(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> U51(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> U101(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isLNatKind(n__nil) -> tt isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__cons(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isLNatKind(n__fst(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isLNatKind(n__snd(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__tail(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isLNatKind(n__take(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> U111(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> U131(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isNaturalKind(n__0) -> tt isNaturalKind(n__head(V1)) -> isLNatKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__s(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1)) isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> U141(and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> U151(and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2)) isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNatKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)), n__isLNatKind(activate(V2))) natsFrom(N) -> U161(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), N) sel(N, XS) -> U171(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U181(and(and(isLNat(X), n__isLNatKind(X)), n__and(n__isLNat(Y), n__isLNatKind(Y))), Y) splitAt(0, XS) -> U191(and(isLNat(XS), n__isLNatKind(XS)), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U201(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__and(n__isNatural(X), n__isNaturalKind(X)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS))))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U211(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(activate(XS)), n__isLNatKind(activate(XS)))), activate(XS)) take(N, XS) -> U221(and(and(isNatural(N), n__isNaturalKind(N)), n__and(n__isLNat(XS), n__isLNatKind(XS))), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) s(X) -> n__s(X) isNaturalKind(X) -> n__isNaturalKind(X) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) isLNat(X) -> n__isLNat(X) isLNatKind(X) -> n__isLNatKind(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) isNatural(X) -> n__isNatural(X) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__isNaturalKind(X)) -> isNaturalKind(X) activate(n__and(X1, X2)) -> and(activate(X1), X2) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__isLNatKind(X)) -> isLNatKind(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(activate(X1), activate(X2)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(n__fst(X)) -> fst(activate(X)) activate(n__snd(X)) -> snd(activate(X)) activate(n__tail(X)) -> tail(activate(X)) activate(n__take(X1, X2)) -> take(activate(X1), activate(X2)) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(activate(X)) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(activate(X1), activate(X2)) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(activate(X1), activate(X2)) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(activate(X1), activate(X2)) activate(n__isNatural(X)) -> isNatural(X) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__isNaturalKind(x_1)) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__isLNatKind(x_1)) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__isNatural(x_1)) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U103(x_1)) -> U103(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U111(x_1, x_2)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U112(x_1)) -> U112(encArg(x_1)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U132(x_1, x_2)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U133(x_1)) -> U133(encArg(x_1)) encArg(cons_U141(x_1, x_2, x_3)) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U142(x_1, x_2)) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U143(x_1)) -> U143(encArg(x_1)) encArg(cons_U151(x_1, x_2, x_3)) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U152(x_1, x_2)) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U153(x_1)) -> U153(encArg(x_1)) encArg(cons_U161(x_1, x_2)) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U171(x_1, x_2, x_3)) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U181(x_1, x_2)) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U191(x_1, x_2)) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U201(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U202(x_1, x_2)) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U211(x_1, x_2)) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U221(x_1, x_2, x_3)) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U72(x_1)) -> U72(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1, x_2)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U82(x_1)) -> U82(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U92(x_1)) -> U92(encArg(x_1)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNatKind(x_1)) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isNaturalKind(x_1)) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNatKind(x_1)) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1) -> U103(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U112(x_1) -> U112(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_U131(x_1, x_2, x_3) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U132(x_1, x_2) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U133(x_1) -> U133(encArg(x_1)) encode_U141(x_1, x_2, x_3) -> U141(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U142(x_1, x_2) -> U142(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U143(x_1) -> U143(encArg(x_1)) encode_U151(x_1, x_2, x_3) -> U151(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U152(x_1, x_2) -> U152(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U153(x_1) -> U153(encArg(x_1)) encode_U161(x_1, x_2) -> U161(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_U171(x_1, x_2, x_3) -> U171(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U181(x_1, x_2) -> U181(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U191(x_1, x_2) -> U191(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U201(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U201(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U202(x_1, x_2) -> U202(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U211(x_1, x_2) -> U211(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U221(x_1, x_2, x_3) -> U221(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U72(x_1) -> U72(encArg(x_1)) encode_U81(x_1, x_2) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U82(x_1) -> U82(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U92(x_1) -> U92(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isNaturalKind(x_1) -> n__isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_n__isLNatKind(x_1) -> n__isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNaturalKind(x_1) -> isNaturalKind(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNatKind(x_1) -> isPLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_isLNatKind(x_1) -> isLNatKind(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__isNatural(x_1) -> n__isNatural(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (13) DecreasingLoopProof (FINISHED) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound EXP: The rewrite sequence activate(n__isNatural(n__head(V11_0))) ->^+ U111(isLNatKind(activate(V11_0)), activate(V11_0)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0]. The pumping substitution is [V11_0 / n__isNatural(n__head(V11_0))]. The result substitution is [ ]. The rewrite sequence activate(n__isNatural(n__head(V11_0))) ->^+ U111(isLNatKind(activate(V11_0)), activate(V11_0)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1]. The pumping substitution is [V11_0 / n__isNatural(n__head(V11_0))]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (14) BOUNDS(EXP, INF)